В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 40
Текст из файла (страница 40)
д у-10 Х-10 3 алге чан не. В примере 3 было доказано, что предел функции 7" (х, у) = ХУ в точке 0(0, О) не существует. Таким образом, на основании при.г ф„г меров 3 и 7 можно сделать вывод: из существовании и равенства повторных пределов функции в данной точке ве следует существование предела функции в этой точке. Задачи и упражнения двя самостоятельной работы 12. Дакагките, что функция 7(х, у) является бесконечно малой в точке О(0,0), если: а) ) (х,у) =,,х,: б) Г(х,у) = сйв(х+ у) !в(хг -Ь уг).
'у 13. Вычислите пределы: а) 11пг ~н-'-*-л; б) !1ш; в) 11ш (1 -!- ху )гд' х'у 0 у у 0 у. з ах -~-Ьу ) . Хг ф уз ) . хг ф уху ф ху ф уу 7 х4 ф '04 7 1ХЗ~ ф уэ) у — 7 у — 7 и — 7 ж) 1ив (хну)с 1 41 1; з) 11ш(хг+у )~ у -4 Гл. Х. Функции нескольких переменных 204 14. Докажите, что слелующие пределы не существуют: х О ху О У2,, !п(х+ у), . 21л ~х — у а х2 ху 1 у2' ~1 у 2 а Гха 4 у2 а -4 а а а х у 15. Докажите, что функиия Х(х,у) = обладает следующими свойствами: 24 ! У2 а) при стремлении точки ЛХ(х,у) к точке 0(0,0) по любой прямой, проходящей через точку 0(0, 0), предел функции равен нулпа; б) предел функции в точке 0 не существует. 16. Вычислите повторные пределы 1цп !1ш Х(х,у) и 1пп !пп Х(х, у), если: .2 . 2 -4 аа аа 2-124 -4 а а)Х(х,у)= 2 ', х =О, у х -~-ху+ у ху У2 б) Х(х,у) =, ха =О, па =0; Ып(х -1- у) 2хеау ' Ып (х( — 2!в (у| 2') Х(х у) = ', ха=О, уа=О; а'ха -~- уа д)Х(ху)=, хо=О, ус=О; бх -1- Зу ха О у2 е) Х(х,у)= ., ха=со, ус=со; х2 |.у4' ак) Х(х у) =; ха = ч-оо, уа = +О; 1 Е ха ' ( +у) з) Х(х У) = 21п,, 2:а = со, уа = ос.
2 ОЗУ' " 1Т. Существуют ли предел и повторные пределы функции Х(х, у) в точке (ха, уа), если: 2, 2 а) Х(х, у) =... ха = О., уа = 0; б) Х(х, у) = 1од (х 4- у), ха = 1, уа = 0; в) Х(х, у) =, ха = О, уа = О? х -~- у О 3. Непрерывность функции Основные понятия и теоремы 1. Определение непрерывности. Пусть функция т, переменных и = Х(ЛХ) определена на множестве (ЛХ) и пусть А предельная точка множества (ЛХ), принадлежащая этому множеству.
Определение. Функция и = Х(ЛХ) называется непрерывкой в точке А, если 1цп Х(ЛХ) = Х(4) м — л Приращением (или полным приращением) функции и = Х(ЛХ) в точке А называется функция Ьи = Х(ЛХ) — Х(А), М е (ЛХ). Пусть точка А имеет координаты (аы ..., а ), а точка М координаты (хы...,х ). Если ввести обозначения х2 — а2 = Ьхы...,х 23. Непрерывность функции 205 — а,„= Ахт, то приращение функции багге можно записать в виде еги = 1(аг +глхг.....,а, +глха,) — Д(аг.....,а„,).
Очевидно, условие непрерывности функции в точке А ( 1шг 1(ЛХ) = м — гл = 1(.4)) эквивалсптноусловию 1гпг гли=О или 1шг гьи=О.Эторам — ыг л, е л венство называется разкостиой форлгой условия непрерывности функции в точке А. Предельные точки области определения функции и = 1(ЛХ), в которых функцил не является непрерывной., называются точками разрыва этой функции. 2.
Непрерывность по отдельным переменным. Зафиксируем все аргументы функции и = 1(хг, ..., х ), кроме одного из них, например, хгэ положив х; = аг (г ф Й). Аргументу хг. дадим произвольное приращение г.'гхь. Функция и = 1(хг, ..., хп,) получит приращение Ьее и = Х (аг, ..., аь — г, ач + Хгхь, аьлг, ..., а„) — Х (а г, ..., а,), которое называется частным приращением функции в точке А, соответствующим приращению глхь аргумента хг..
Отыетим что, глеггг является функцией одной переменной гьхь. Определение 1. Функция и = 1(хг, ...,хп,) называется непрерывкой в точке А(а,, ...,а ) по переменкой хь, если !шг гл„и = О. лле — го Можгю дать другое, эквивалентное определение непрерывности по переменной хь. Определение 2. Функция и = 1(хг,...,х ) называется непрерывной в точке А(аг, ..., а, ) по переменной хгэ если функция 1(аг, ... ..., хь, ..., ат) одной переменной хг непрерывна в точке хь = аг.
В отличие от непрерывности по отдельным переменнылг обычную непрерывность функции (определение и. 1) называют иногда непрерывностью по совокупности перемекньгх. Теорема 6. Есги функция и = 1(хг,...,х ) определена в некоторой окрестности точки А и кепрерьгвна в точке А, то она непрерывна в этой точке по каждой из перелгенных хг, ..., хп,. Обратное утверждение неверно (см, пример 2 на с. 208). 3.
Основные теоремы о непрерывных Функциях. Теорема 7 (об арифметических операциях над непрерывными функциями). Если функции 1(ЛХ) и д(ЛХ) определены ка лгкожестве (ЛХ) и непрерывны в точке А е (ЛХ), то функции 1(М) + д(ЛХ), 1(ЛХ) — д(М), 1(ЛХ)д(Л|) и (частное при условии д(А) ф 0) не- Х(ЛХ) д(ЛХ) прерывны в точке А. Пусть функции хг = 'Рг(Хг, ...,Хь), х = угз(Хг: ..., Ьь), ...~ х = 'Р (1г ":Хь) определены на множестве (Т(Хг, ...,Хь)) С Ег. Тогда каждой точке Т(Хг, ..., Хь) Е (Т) ставится в соответствие точ ка М (хг, ..., хг ) Е Я™. Гл.
Х. Функции нескольких переменных 206 Множество всех таких точек М обозначим (ЛХ). Пусть на множестве (ЛХ) определена функция и = Х(хг....., т,п), Тогда говорят, что на множестве (Т) определена сложная функцип и = Х(уэ~(1м ..., $ь), ... ..., ро,(1„..., 1ь)). Те о рекла 8 (о непрерывности сложной функции).
Пусть функции х1 = со1(1ы...,1ь),...,х,„= ~р (1ы...,1ь) непрерывны в точке А(аы... ...,аь), а функция и = Х(х„...,х„,) непрерывна е точке В(Ь„...,Ь,), где Ь; = р,(аг,...,ав) (1 = 1,...,т). Тогда сложная функция и = = У(ус~(1ы "",1ь), ";д, (1ы ...,Ь„)) непрерывна в точке.4. Функция и = Д(ЛХ) называется непрерывной на множестве (Л|), если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Функция и = Х(ЛХ) называется ограниченной на мнозкестве (ЛХ), если сушествуют числа с и С такие, что ХЛХ Е (ЛХ) выполняются неравенства с < Д(ЛХ) < С. Теорема 9 (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на замкнутом ограниченнолг множестве функция ограничена на этом множестве. Определение. Число Н назыввстсн точной верхней гранью функции и = Х(ЛХ) па множестве (ЛХ), если: 1) ЧЛХ б (ЛХ) выполняется неравенство Х(ЛХ) < Н: 2) ЧГ < Н ВЛХ' Е (ЛХ) такая, что Х(ЛХ') > Г.
Обозначение: 1Х = впр Х(ЛХ). 1му Аналогично определяется точная нижняя грань функции 1пХ Х(ЛХ). 1м1 Теорема 10 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на залтнутом ограниченнолз множестве функция достигает на этом множестве своих точных граней. Пусть каждая точка ЛХ множества (ЛХ) является его предельной точкой и пусть на множестве (ЛХ) определена функция и = ДЛХ). Определение. Функции и = Х(ЛХ) называется равномерно непрерывной на множестве (ЛХ), если Че > 0 Вд = д(е) > 0 такое, что '4ЛХОЛХ2 е (М), удовлетворяппцих неравенству р(ЛХО ЛХг) < д, выполняется неравенство )Х(ЛХ~) — Х (ЫЯ < е.
Теорема 11 (теорема Кантора). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, функция равномерно непрерывна на этом множестве. 3 а м е ч а н и е. Обе теоремы Вейерштрасса и теорема Кантора имеют место для функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве. В случае функций одной переменной эти теоремы были справедливы двя функций, непрерывных на сегменте.
Таким образом, аналогом сегмента в многомерном случае нвлястся замкнутое ограничепноо множество. 40'. Нелрерыенасть функции 207 Контрольные вопросы н задания 1. Дайте определение непрерывности функции в точке. 2. Что такое полное приращение функции и = ?АМ) в точке А? Как за писать условие непрерывности функции в точке А, использун ее приращение в этой точке? Выразите приращение функции и = ху в точке А(1, 2) через приращения елх и ллу ее аргументов. 3.
Какие точки называютсн точками разрыва функции и = )(М)? Приве дите примеры тачек разрыва функций двух и трех переменных. 4. Что называется частным приращением функции и = 7Гхы ..., х ) в данной точке А(оы ..., ож ) 7 Как получить частное приращение функции из ее полного прира~ценин? Напишите частные приращения функции и = ху в точке А(1, 2). 5. Сформулируйте два определении непрерывности функции и = 1(хы ... ..., х„,) в точке А по отдельным переменным и докажите их эквивалентность. 6. Как связаны непрерывность функции в точке по совокупности аргументов и непрерывность в этой точке по отдельным переменным? 7.
Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями. Докаеките эту теорему, опираясь на теорему 4. 8. Сформулируйте понятие сложной функции и теорему о непрерывности сложной функции. 9. Дайте определение непрерывной на данном множестве функции. Является ли функция его(х+ у) + и= хту 1, х Ч- у = О, непрерывной на всей плоскостит 10. Дайте определение ограниченной на данном множестне функции.
Является ли функция еа(х" у) ФО, и= х О, х=О, ограниченной: а) в круге Цлц у): хэ ж уе ( 1); б) на оси Ох? 11. Сформулируйте определение неограниченной на данноен мнолгестве функции. 12. Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса. 13. Справедливо ли утвержление: непрерывная в е-оьрестности точки А функции и = )1М) ограничена в этой е-окрестности? 14. Может ли нсограничепнан на множестве 1М) функция быть непрерыв ной на этом множестве, если: а) 1М) ш-мерпан сфера; б) Р~) = ((х, у): *' + ул < 1)' в) Р~) = Их, у): ' -Ь уе < 1) 15. Дайте определения точной верхней и точной нижней граней функции ху на данном множестве.
Имеет ли функция и =, точные грани на хх , 'увсей плоскости? 16. Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса 17. Справедлива ли утверждение: если функция достигает на множестве (М) своих точных граней, то она непрерывна на этом множестве? 18. Справедливо ли утверждение: непрерывная в параллелепипеде функция имеет в этом параллелепипеде максимальное и минимальное значения? Гл. Х. Функции нескольких керелзенних 208 19.
Дайте определение равномерной непрерывности функпнн. Как связаны между собой непрерывность и равномерная непрерывность функции на данном множестве? 20. Пользуясь кванторамн, сформулируйте отрицание равномерной непрерывности функции. 21. Сформулируйте теорему Каатора. 22.
Верно ли утверждение: непрерывная в е-окрестности точки Л функция и = 7'(ЛХ) равномерно непрерывна в этой е-окрестности? Примеры решения задач х у 1. Найти точки разрыва функции и = х у Ь Данная функция не определена в тех точках, где знаменатечь дроби равен нулю: хз — уз = О, т. с. функция нс определена на прямой у = х. В остальных точках плоскости функция определена, поэтому каждая точка прямой д = х является предельной точкой области определения функции. В любой точке А прямой у = х функция не является непрерывной, так как и(А) не существует. Таким образом, любая точка прямой у = х есть точка разрыва данной функции.
В любой точке В, не лежащей на прямой д = х, функция и = х — у непрерывна. Это следует, например, из теоремы 7, поскольз уз ку функции х, у, х', уз, очевидно, непрерывны в любой точке и хз— — уз ф- 0 в точке В. Итак, множество точек разрыва данной функции есть прямая д = х. Отметим, что в любой точке А(а,а), лежащей на прямой у = х и не совпадающей с точкой 0(0,0) (т. е. а ~ 0), существует предел * — у функции: 1пп , = 1нп лые хз — уз л — 'е хз+ху+уз аз у-эа и "э е Поэтому точки А(а, а) при а ф 0 можно назвать точками устрани- 1 мого разрыва функции; если положить и(а, а) = —, то функция станет аз непрерывной в точке А(а, а).
В точке же 0(0, 0) имеем 1пп в(х, у) = з з- з 1 = 11щ = со, т. е. 0(0,0) точка неустранимого разрыва о хз — ху -~- уз данной функции. д 2. Доказать, что функция х +у фО., и = 1(х, у) = х + у О, ха+уз =О, непрерывна в точке 0(0, 0) по каждой переменной х и у, но не явля- ется непрерывной в этой точке по совокупности переменных. з."з Рассмотрим частное приращение функции 1(х, у) в точке 0(0, 0), соответствующее приращению 2 х аргумента х: Ь,и = ((лзх, 0) — 1(0, 0) = 0 — 0 = О. 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
