В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 39
Текст из файла (страница 39)
11. Докажите, что фундаментальность последовательности ЛХл(х,", х.", ... ..., х„, ) эквиналентна фундаментальности пг числовых последователь(сг настей (х, ), (х, 1), ..., (х 8 2. Предел функции Основные понятия и теоремы 1. Понитие функции (и переменных. Пусть (ЛХ) множество точек пространства Е '.
Если каждой точке М(х,,хг,...,х ) С Е (ЛХ) поставлено в соответствие некоторое число и, то говорят, что на множестве (М) определоаа функция т перелсенных, и пишут и = = Х(ЛХ) или и = Х(хг,хз, ...,х„,). Числовые переменные хг,хз, ...,хгл пазываютсн независимыми переменными (или аргументами) функции.
Множестно (ЛХ) называется областью определения функции Х(ЛХ), а число иэ соответствуюшее данной точке ЛХ,. — частным значением функции в точке М. Совокупность (и) всех частных значений функции и = Х(ЛХ) называется множествам значений этой функции. Функции двух и трех переменных часто обозначают так: и = Х(х, д) и и = х" (х, у, г).
2. Предел функции. Теоремы о пределах. Пусть функция и = Х(ЛХ) определена на множестве (ЛХ) и точка А предельная точка множества (ЛХ). У2. Предел функции Определение 1 (по Коши). Число б называется пределом функции Х(ЛХ) в точке А (при М э А), если чг > 0 Зд > 0 такое., что 1ХЛХ, удовлетворяючцей условиям ЛХ е (ЛХ), 0 < р(М, А) < б, выполняется неравенство ~Х(ЛХ) — 6| < г. Определение 2 (по Гейне). Число 6 называется пределом функции Х(ЛХ) в точке А, если для любой сходящейся к .4 последовательности (ЛХ„) такой, что ЛХ„ Е (ЛХ), М„ ф А, соответствующая последовательность значений функции ( Х(Л|е)) сходится к 6.
Обозначение; !пп Х(ЛХ) = Ь или 1ш1 Х(х1,...,хт) = 6, где Мэл е~-эа~ а1, ..., ат . -- КООрдИНатЫ ТОЧКИ А. Теорема 3. Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны. Теорема 4. Пусть функции Х(ЛХ) и у(М) определены ка множестве (ЛХ) и пусть 11п1 Х(ЛХ) = 6, 1ш1 у(М) = с. Тогда Лг- А Лч — ~А' 1пп (Х(ЛХ) + д(М)) = 6+ с, М вЂ” ~А !1п1 (Х(ЛХ) — д(ЛХ)) = 6 — с, Лл-1А 11ш Х(ЛХ)д(ЛХ) = Ьг, Лг- А 1пп ' = — при условии с ф О.
Х(М) Ь Л1 — ~А д(ЛХ) с Функция и = Х(М) называется бесконечно малой при М э А (в точке А), если 1пп Х(ЛХ) = О. Если Х(ЛХ) и д(ЛХ) .— бесконечно малые М вЂ” ~А функции при ЛХ -о А и если 1пп = О, то говорят, что функция м — ~.ч д(Л|) Х(ЛХ) является бесконечно малой более высокого порядка ари ЛХ вЂ” л А (в точке А), чем у(Л|), и пишут Х = о(у) при ЛХ э А. Пусть функция и = Д(ЛХ) определена на множестве (М), которое содержит точки, сколь угодно удаленные от точки 0(0, О, ..., 0).
Определение. Число Ь назынается пределом функции Х(ЛХ) при М вЂ” л оо, если ог > 0 ЛВ > 0 такое, что чЛХ, удовлетворякзщей ус- ловиям ЛХ б (ЛХ), р(Л|,0) > В, выполняется неравенство ~Д(ЛХ)— — 6~ <е. Обозначеаие: 1ш1 1'(ЛХ) = 6 или 1нп Х(х1, ..., х„,) = 6. Мэж е ! — > ес З 3. Повторные пределы. Для функций многих переменных наря- ду с обычным понятием предела вводится понятие повторного преце- ла.
Оно связано с изучением предела функции при изменении только одной независимой переменной и фиксированных значениях осталь- ных. Рассмотрим это понятие на примере функции двух переменных. Пусть функция и = Х(х,у) определена в прямоугольнике ХХ = ((х, у): ~х — хо~ < д1, ~у — уо < дз), кроме, быть может, отрезков прямых х = хо и у = уо. При фиксированном значении переменной у функция Дх, у) становится функцией одной переменной х. Пусть Гл.
Х. Функции нескольких переменных 200 для любого фиксированного значения у, удовлетворяющего условию 0 < ~У вЂ” Уо~ < дз, сУществУет пРедел фУнкции Х(х, У) пРи х У хо (этот предел зависит, вообще говоря, .от у); хйшх„йх, у) = р(у) у — фикс.
Пусть, далее, предел функции Уа(у) при у -У уо существует и равен Ь: 1пп фу) = Ь. У-ауо Тогда говорят, что в точке ЛХо(хо,уо) существует поепаорньай предел функции Х(х,у), и пишут 1пп 1пп Х(х у) = Ь У ~Рос >хо При этом 1пп Х"(х,у) называетсп внутренним пределом е повтори — аха у--фикс. О<~У вЂ” Ус~<за ном. Аналогично определяется друтой повторный предел 1пп 1пп Х(х,у), в котором внутренним нвлиется 1пп Х(х,у). с-иха У вЂ” аао У-а Оа с — фикс. О<(х — хо)<нс Теорема 5. ХХусть е точке Мо(хо,уо) существует предел функции Х(х,у), равный Ь ( 1пп Х(х,у) = Ь), а также внутренние пределы У вЂ” Уо е двух повторных пределах этой функции.
Тогда существуют повторные пределы 1пп 1пп Х(х,у) и 1ш1 1пп Х(х,у), причем каждый из и — ока а — ауо у — ауо к — око них равен о. Отметим, что обратное утверждение неверно (см. примеры 3 и 7). Понятие повторных пределов функции можно ввести и для того случая, когда хо (либо уо, либо хо и уо) равно +се (или — сс, или ос). Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте два определения предела функпии Х(ЛХ) а точке А. Что означает эквивалентность этих определений? 2. Дчя каждого из двух определений предела функции Х(М) а точке А сформулируйте отрицание определения. 3.
Может ли быть так, что 1пп Х(ЛХ) = Ь, 1пп у(ЛХ) = с, где Ь и с числа, но равенство 1пп (Х(ЛХ) + у(ЛХ)) = Ь+ с не выполняется? и л 4. Дайте определение бесконечво малой фувкции при ЛХ а А. Приведите пример пескопечяо малой функции при ЛХ а 0(0, О,...а О). 5. Сформулируйте определение бесконечно малой функции Х(?кХ) более высокого порядка при ЛХ -+ А, чем у(ЛХ). Приведите пример таких функций. 6. Дайте определение предела функции Х(ЛХ) при ЛХ У сю.
Приведите пример непостоннной функции Х(ЛХ), у которой 1ип Х(М) = 1. ха уР. Предел фунннии 201 7. Дайте определение повторного предела функции ?(2Ь д) в точке ЛХа(хо, уа). 8. Известно, что функция?(х, у) имеет в данной точке предел и повторные пределы. Могут ли ьакие-то два из пих быть неравными'? 9. Сформулируйте определение повторного предела: а) 1пв 1пв ?(х, у); б) 1пп 1пв ?(х, у); в) йщ 1сш ?(х, у). -а*а у-ау у у *-ар у-а— Примеры решения задач 1.
Доказать, что функция д (х, у) = (х + у) з1п — зш — является бес- 1, 1 х у конечно малой в точке 0(0,0). ?.'с Согласно определению бесконечно малой функции требуется доказать, что 1пп г"(х, р) = О. Отметим, что фушсция ?" (х, у) не определена х-ае у аз на осях координат, но точка О(0,0) является предельной точкой области определения ?(х,р), и, значит, можно рассмотреть вопрос о пределе функции в точке О.
Воспользуемся определением предела функции по Коши. Зададим произвольное а > 0 и положим 6 = е,?2. Тогда если р(Ы(х, у), 0(0,0)) = = Ь?х2+ у2 < Б, то )х) < б и )у) < б. Следовательно, (Т'(х, у) — О! = ((х + р) з1п — зсп — < )х! + )р! < 2б = ю 1 . 1 х Это и означает, что 1шс Г"(х, р) = О.
д е — ао р — ао 2. Вычислить предел !цп (1+хр) П" ~'р1. :а — со раз лх Представим функцию в виде ((1+ ху)'Пху?)зудеЭР1. Так как 2 = = ху — э 0 при (х ), то 11нс(1+хр)сд'у? = 1пп(1+2)~?' = е. Дав =- е 2у р — а '7 лес, 1пп — = 2 (в силу теоремы 4). Поэтому искомый предел рал — ар х -1-'у р — а2 вен ез. А 3. Существует ли предел 1пп,,хд,? е — ао хе+у р — со ла Пусть точка ЛХ(х, П) стремится к точке 0(0, 0) по прямой д =?сх, проходящей через точку О. Тогда получим 1пп,, = 1пп ху . Пхл е-ао ху '- уу л ао ха Ч духа 1 „'- йа' р- о 1у=ьл) Таким образом, приближаясь к точке 0(0, 0) по различным прямым, соответствующим разным значениям ?с, получаем разные Гл.
Х. Функции нескольких перелсеннисх 202 предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке 0(0,0) не существует. а хц-2У 4. Вычислить предел 1пп -« хх — 2ху Ч- 2ух р — «сс 21 Перейдем к полярным координатам х = рсоа«р«у = ря1п«р. Тогда х ф 2у 1 соя«р ф 2яш«р 1 ?(у«) хе — 2ху + 2ур р соях р — 2 соя сс 01п и«+ 2 и1их р р д(у«) ' О.х ф Ьу'( сх Ч- с?у! = 1пп ( 1шт х — «О Л р-«О 1пп 1пп 1(х, у) = 1пц ( 1пп х — «Ор — «О х — «ОЛ р — «О х — фикс. хко и; — Ьу?х1 .
О и 1 = 11пт — = —. с+с?ут«х/ х — «о с с' х — фикс. хко Ь Аналогично получаем 11пт 1шт ?'(х,у) = —. а р-«Ох. «О ' с? 6. Существуют ли повторные пределы функции ? (х, у) = (х + у) х х 01п — 01п — в точке 0(0«0)? 1 1 х у 21 Рассмотрим внутренний предел !пп 1(х,у) в повторном прех — «О р — фикс. «хФО деле 1пп 1пп г(х, у). Представим фу нкцию г(х, у) в виде су ммы двух р-«Ох — «О слагаемых: г"(х,у) = хя1п — яш — + уя1п — 01п —. При фиксированном 1, 1 . 1,. 1 у У у ф 0 первое слагаемое хяш — яш — стремится к нулю при х — т О. Во 1 1 У а условие ЛФ(х,у) -~ сю эквивалентно условию р т со. При р -л оо первый сомножитель 1?«р стремится к нулю. Докажем ограниченность второго сомножителя -- функции г" (ус)?д(«р) при 0 < «р < 2к.
Отсюда будет следовать, что искомый предел равен нулю. Очевидно, ~?(«р)~ < 3, а для функции д(«р) нетрудно установить, что ее минимальное значение положительно. Это маткно сделать, используя известные методы исследования на экстремум функций одной переменной, а можно и проще« а именно запишем д(«р) в виде д(р) = (соя«р — яш у«)2 + 01п~«р. Ясно, что д(«р) > 0 при 0 < «р < 2к, а так как д(«р) --- непрерывная функция, то она имеет на сегменте (О, 2к] минимальное значение, причем тп = шш д(«р) > О. Итак, д(«р) > т > 10,2х1 > О.
Следовательно, (Д(«р),?д(«р)! < 3,?т, т. е. функция ~(«р)т«д(у«) ограничена при 0 < «р < 2к. а их -1- Ьу 5. Вычислить повторные пределы функции ?(х,у) = ' в тачке О(0, 0) при условии с ф О, т? у= О. сх -1- 0«у 21 Имеем уР. Предел угунлции втором слагаемом произведение у зш — является постоянным, отлич- 1 у ным от нуля, если у ~ — (п б У), а сомнол итель вш — не имеет 1 1 71 71 х предела при х 7 О: в сколь угодно малой окрестности точки х = О функция зш — принимает все значения от — 1 до 1. Следовательно, 1 х второе слагаемое у а!п — аш —. а значит, и вся функция 1 (х, у) не име- 1 1 у ет предела при х 7 О и фиксированном у, не равном О и —. Таким 1 хи образом, указанный внутренний предел не существует, а поэтому не существует повторный предел 1шг 1пп д(х, у). Аналогично можно доу-40 Х вЂ” 10 казать, что не существует другой повторный предел !нп !пп 7(х, у).
д 4:-10 0-10 3 а лг е ч ание. В примере 1 было доказано, что предел функции 7(х, у) = 1 = (х -Ь у) з!в — жв — в точке 0(0, О) существует и равен нулю. Таким обрах у зом, на основании примеров 1 и 6 можно сделать вывод: из существования предела функции в точке не следует существование повторных пределов функции в этой точке (сравните этот вывод с утверждением теоремы 5). 7. Вычислить повторные пределы функции 1(х7 у) =, в точху ке 0(О,О). Ь Имеем !гш !шг)(Х,У) = 1пп( 1шг к 7) = !пп( — г) = О. Х вЂ” 10у — 10 х — 10 у — 10 Х" +Уз) 4-40(717) х — фикс хео Аналогично получаем 1нп 1пп 1(х, у) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
