В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 34
Текст из файла (страница 34)
43. Найдите объем "баранки", полученной вращением окружности (х — 2) + уг = 1 вокруг оси Оу. 46. Найдите координаты центра тяжести дуги окружности х = а созга, у = а з1п чг Пф ( тг < л). 47. Найдите координаты центра тяжести фигуры, огравиченной параболамиах=уз, ау=ха (а>0). 48. Найдите координаты центра тяжести однородного полушара ха+уз-1-22 <аз, г > О. 49. Найдите координаты центра тяжести фигуры, огравиченаой кривой т = а11+ сов за).
ГЛАВА 1Х МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА й 1. Мера множества Основные понятия и теоремы 1. Некоторые сведения о множествах. Говорят, что между элементами двух мнолчеств установлено взаимна однаэкичнае соответствие, если каждому элементу первого множества поставлен в соответствие некоторый элемент второго множества так, что при этом каждый элемент второго множества соответствует только одному элементу первого множества. Два множества называются эквивалентнммщ если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Если два множества эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел (иными словами, множество называется счетным, если его элементы можно занумеровать с помощью натуральных чисел).
Например, множество всех рациональных чисел сегмента [0,1] счетно, а множество всех вещественных чисел этого же сегмента несчетно. Если множество эквивалентно множеству всех вещественных чисел сегмента [О, 1], то говорят, что оно имеет мощность континуума. Объединением [суммой) множеств Е,, Еэ, ..., Е„называется мнол жсство Е = [] Еы которое состоит из всех элементов, принадлежал=1 щих хотя бы одному из множеств Еь (У = 1,2,...,п). Объединение множеств Еэ и Еэ будем обозначать также символом Еэ 0Еа или Еэ + Еэ.
Пересечением множеств Еы Еэ, ..., Е„называется множество а С = [] Ел, которое состоит из всех элементов, принадлежащих кажа=1 дому из множеств Еь (к, = 1, 2, ..., .и). Пересечение множеств Е, и Еэ будем обозначать также символом Еэ 0Еа или ЕэЕа. Точно так же определяются объединение [] Еь и пересечение ь=э 178 Гл. 1Х. Мера и интеграл Лелега П Еь счетного числа множеств. Ь=1 Разностью множеств Е1 и Ег назынается множество Е = Е1 1, Ег, которое состоит из всех элементоа множества Е1, не содержащихся а Ег Пусть Е --.
произвольное числовое множество. Точка х называется внутренней точкой Е, если существует окрестность точки х, целиком принадлежащая Е. Множестно Е назынаетсн открытым, если нсе его точки внутренние. Множество Е назынается замкнутым, если оно содержит нсе свои предельные точки. Например, интервал [а.,у) открытое множество, а сегмент [а,о) замкнутое множество. Объединение конечного или счетного числа открытых множеств янляется открытым множеством. Теорегва 1 [о структуре открытых множеств).
Любое открытое множество является ольединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов. 2. Понятие числового ряда. Пусть 1а„) — — числовая последонатсльность. Образуем формально выражение а1 + аг + ... + а, + ... = ~ ~аь Ь=1 и назовем его числовым рядом (или просто рядом). Числа ат называются членами ряда, а число Я„ = ~ ае -- его п-й частичной суммой. Ь=1 Рассмотрим последовательность [5„). Определение. Если существует 11п1 5„= 5, то говорят, что ° ь ь — е~ ряд ~ аь сходится, а число 5 называется сулемой ряда.
Ь.=1 3. Мера множества. Мерой интервала [сн 3) [где д > а) назовем его длину д — а. Пусть С . - ограниченное открытое леножестно. По теореме 1 его можно представить н виде С = [) (ам да), где [спора) попарно непересекающиеся интервалы. Мерой РС открытого ограниченного множества С назовем сумму длин его интервалов: рС = ~ [А — оь). Ь=1 Отметим, что если число интервалов [ам1дь) счетно, то сумма длин интервалов является числовым рядом ~[Де — аь) с положи1=1 тельными членами [рь — ат).
В силу ограниченности множества С этот ряд сходится. 41. Мера множества 179 Пусть Е .-- произвольное ограниченное множество. Рассмотрим всевозможные ограниченные открытые множества С, содержащие Е. Множество 1рС) мер этих множеств ограничено снизу (например, числом 0) и, следовательно, имеет 11П1рС). Число рЕ = 1пг" 1ИС) называется внешней мерой множества Е. Определение.
Множество Е называется игмеримь1л1 (по Лейегр), если эг ) 0 существует открытое множество С, содержащее Е, для которого р(С 1, Е) ( г. При этом внешняя мера множества Е называется его мерой (Лейега) и обозначается рЕ, т. е. РЕ = рЕ. 3 а м е ч а н и е. Для открытого множества Е это определение эквивалентно данному выше (в качестве С достаточно взять санно Е). Понятие меры множества обобщает понятие длины.
Для достаточно простых множеств (интервал, сегмент) мера совпадает с длиной. Для более сложных множеств, не имеющих длины в обычном смысле, роль длины играет мера. Любое замкнутое ограниченное множество измеримо. Если Е .. измеримое множество., причем Е С 1а, 6), то мноя1ество Е = ~а,6] 11 Е 1дополнение множества Е до сегмента 1а, 6)) изьлеримо. Объединение (если оно ограничено) и пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств пвляются измеримыми множествами. При этом мера объединения счетного 1или конечного) числа попарно непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств, т.
е. если Е= )) Ею Е,ПЕ =И (зфу), то Это свойство называется счегпной аддитивностью (или а-адд1зтиа- ностью меры Лебега. Контрольные вопросы н задания 1. Что такое взаимно однозвачное соответствие между элементами двух множеств? 2. Какие множества называются эквивалентными? 3. Какое множества называется счетным? 4. Является лн счетным: а) множество гг всех рациональных чисел; б) множество ль всех вещественных чисел? 5. Что такое множество мощности континуума? Имеет лн множество ль всех вещественных чисел мощность континуума? 6. Что такое объединение множеств? Может ли объединение множеств совпадать с одним из них? Мо7кет ли объединение непустых множеств быть пустым множеством'? 180 Гл. ?Х.
Мера и интеграл Лебега 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Что такое пересечение множеств'? Может ли пересечение множеств совпадать с одним из них? Может ли пересечение непустых множеств быть пустым множествам? Что такое разность двух множеств? Ыогкет ли разность Е~ 1, Ег непустых множеств совпадатги а) с ЕК б) с Ег'? Что такое: а) внутренняя точка множества; б) открытое множество; в) предельная точка множества; г) замкнутое ьшожество? Является ли множество ?„? всех рациональных чисел: а) открытым; б) замкнутым? Является ли множество ль всех вещественных чисел: а) открытым: б) замкнутым'? Докажите, что объединение конечного или счетного числа открытых множеств является открытым множеством.
Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством, а пересечение счетного числа открытых множеств может не быть открытым множеством. Докажите, что пересечение конечного или счетного числа замкнутых множеств являетсн замкнутым множеством. Докажите, что объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым многкеством, а объединение счетного числа замкнутых множеств может це быть замкнутым множеством.
Сформулируйте теорему о структуре открытых множеств. Когда говорят, что числовой ряд сходится? Что такое сумма ряда? Пусть все члены ряда ~ аг неотрицательны. Докажите, что в этом ь=г случае: а) необходимым и достаточным условием сходимости ряда является ограниченность последовательности 15' ) его частичных сумм; б) если переставить члены ряда произвольным образом, то сумма ряда не изменится. Что такое мера: а) ивтервала; б) ограниченного открытого мгюжества? докажите сходимость ряда?лС = ~(Дь — оь), где (ажДь) г=г непересекающиеся интервалы, из которых состоит открытое ограниченное множество С.
Что такое внешняя мера ьнюжества? Всякое ли ш рапичсниое множество имеет ввешнюю меру? Дайте определение измеримого множества и его меры. Пользуясь определением измеримого множества, докажите, что сегмент ~а,Ь) измерим, причем его мера?э[а,Ь) = Ь вЂ” а, 1а < Ь). Пусть измеримое мвожество Е С ?а, Ь).
Докажите, что множество Е = ?и, Ь) 1, Е измеримо, причем рЕ =?г?а, Ь) — рЕ. Докажите, что замкнутое ограниченное множество измеримо. Что такое счетная аддитивность меры? Докажите, что объединение 1если оно ограничено) счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством. 41. Мера множества Примеры решения задач 1. Доказать, что интервал (О,Ц = 1 и числовая прямая Я эквивалентные множества: Я 1. й Чтобы доказать эквивалентность множеств 1 и 1ь, нужно установить между их элементами взаимно однозначное соответствие. Такое соответствие осуществляет функция р= гб(тгх — —, хЕХ. 2/' В самом деле, каждому х Е 1 эта функция ставит в соответствие некоторое у е хь, а так как она непрерывна и возрастает на 1 и, кроме того, 11пв б61ях — — ) = — оо, 1пп си[эх — — ) = +ос, то ам;в ~, 2/ ' а — «ь-о ', 2/ у/р хь существует единственное х Е 1 такое, что у = Фб (ях —— 2/ Это и означает, что между элементами множеств 1 и Я установлено взаимно однозначное соответствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
