В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 32
Текст из файла (страница 32)
— ! Дайте геометрическую иллюстрацию этих фактов. Справедливы ли эти равенства, если у'(х) — интегрируемая на [ — 1,1[, но не обязательно непрерывная функцият 23. Докажите, что одна из первообразных четной функции есть функции нечетная, а всякая первообразнан нечетной функции есть функция четная. Гл. ЪХ11. Определенный интеграл 27.
Пользуясь формулами Эйлера 1 соех = — (е" + е '"), 2 вычислите интегралы: ,зг а) / сйнг о хсоаг'хах; о н) / соа х сое пх Йх; о 1 ешх = — (е' — е ' ), 2г г зиг пх дх; ып х о о 2 4. Вычисление длин плоских кривых Основные понятия и формулы 1. Длина кривой. Рассмотрим на плоскости кривую Хо заданную параметри чески; х = ~р(1), у = гк(Х), о < 1 < А где цг(1) и га(1) — непрерывные на сегменте [о, Хз) функпии, причем различным значениям 1 Е [о, Хз[ соответствуют различные точки (х, у) (т.
е. нет кратных точек). Такую кривую назовем простой (плоской) незамкнутой кривой. Если точки А(оо(о),ьф(о)) и В(уг(3),гф(® совпадают, а остальные точки не являются кратными, то кривая Х называется простой залгкнутой кривой. Пусть Х, — простая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями (1). Рассмотрим произвольное разбиение сегмента [ск П) точками а = 1о < й < Хг « ... Хп =,9. Ему соответствует разбиение кривой Х, точками А = ЛХо, ЛХы ЛХщ ..., М„= В, где ЛХ; = М(ог(й), ой(й)). Впишем в кривую Х, ломаную ЛМ,Мг...В. Обозначим длину ломаной через 1(ЛХг) и положим 1Л1 = тах (й — й з). 1<г(п Определение.
Число 1 назынается пределом длин ломаных 1(ЛХг) при Ы вЂ” з О, если Чг > О Вд > О такое, что для любого разбиения сегмента [о,(1), у которого ЬХ < д, выполняется неравенство О < <1 — 1(ЛХ,) < в. О п р е дел си не. Если существует предел длин ломаных при охХ вЂ” з О, то кривая Х, называется спрямлявмой, а число 1 длиной кривой Х, (или длиной дуги кривой Х). 2. Длина кривой, заданной параметрически.
Теорема 12. Пусть простая кривая Х, задана параметрическими уравнениями х = у(1), у = ф(Х), о < х < Д, причем функции цг(1) и Ю(1) имеют ка сегменте [о, 3) непрерывные производныв. Тогда кривая Х, 44. Вычисление длин плоских кривых спрлмллема, а ее длина вычисллетсл по формуле (2) Функция ха=) Очс+ччкг а < = /чт+РМ'ч* а (4) 4. Длина кривой в полярных координатах. Если кривая задана уравнением г = г(р), р1 < 1с < рз, причем функция г(р) имеет на сегменте [?гы ~рз~ непрерывную производную, то длина кривой вычислнется по формуле Если кривая задана уравнением сг = «р(г), г, < г < гз, причем функция р(г) имеет на сегменте [гыгг1, непрерывную производную, то длина кривой вычисляется по формуле Контрольные вопросы и задания 1.
Что такое простая незамкнутан (замкнутал) кривая? 2. Дайте определение предела длин ломаных при Л1-~ О. 3. Что такое спрнмляемая кривая? 4. Что такое длина кривой". 5. По каким формулам вычисляетсл длина кривой: а) заданной параметрическн; б) в декартовых координатах: в) а полярных координатах*.' 6. Приведите примеры спрлмллемых кривых. 7. Является ли прямая спрпмляемой кривой'? 8. Является ли скруп~ность простой кривой'? называется переменной дугой. 3. Длина кривой в декартовых координатах. Если кривая задана уравнением у = ? (з), и < л < Ь, причем функция ?(х) имеет на сегменте [и, Ь) непрерывную производную, то длина кривой вычисляется по формуле Гл. Ъ111.
Определенный интеграл 166 Примеры решения задач 1. Найти длину параболы у = хз, О ( х ( 2. Ь По формуле (4) получаем 1 = / Аггее + 4хз йх = угГ7+ — !п(4 + ъ'Г7). д о 2. Найти длину одной "арки" циклоиды х = а(1 — з!п1), = а(1 — соз 6), О < 1 < 2к. Ь По формуле (2) находим зл /У1 — Н) -'; ' 'ОЗ1=8.1 о х у з 3. Найти переменную дугу эллипса — + — = 1 (а ) 6) между аз 6з точкой (О, 6) и любой точкой эллипса в первой четверти. зз Полагая х = а зш1, у = 6 сов 1, О < 1 < л/2, по формуле (3) получаем (считан от верхнего конца малой полуоси) з !з з '!= / -" ' " = /дГ:"-Чз, аз о о где г = х/аг — 6з/а --- эксцентриситет эллипса. Таким образом, переменная дуга эллипса выражается интегралом ЧЕ = (Чт — ~ Ое= еь,~), о который называется эллиптическим интегралом П рода.
Этот интеграл не выражается в элементарных функцинх. Он ши- роко используется в математике. Его название объясннется как раз связью с рассмотренной задачей. Если 1 = л/2, то интеграл выражает 1/4 длины эллипса. В этом случае эллиптический интеграл Е(г,л/2) называют полным эллип- тическим интегралом и обозначают Е(е). д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 28. Найлите длины кривых, задавных уравнениями: а) у = х~1~ (О ( х ( 4); б) х = "— — — !и у (1 ( у ( е); 4 2 в) у =!всозх (О ( х ( а < г/2); г) у = хз/(2а — х) (О < х ( ба/3); д) хзгз Ь узГз агт е) х = созе й у = н!пч й ж) х = а(1 — з!лг), у = а(1 — соз1) (О ( ! ( 8г; обратите внимание ва пределы интегрирования); з) р = аче (О ( Чз ( 2н) (спираль Архимеда); и) р = а(1+сон!е); к) р = аз!п~(Чз/3); л) х = Гр (О ( р ( 5).
85. Вычисление площадей плоских фигур 167 29. Докажите, что длина эллипса х = а э|ига у = Ьсоа1 равна длине синусоиды у = сэ1п1х/Ь), 0 ( х ( 2яЬ, с = н7аг — Ьг. Дайте геометрическую иллюстрацию этого результата, связав длины эллипса н синусоиды с сечением цилиндра х Ь у = Ь плоскостью э = 1с/Ь)х. г " г 8 5. Вычисление площадей плоских фигур Основные понятия и формулы 1. Площадь плоской фигуры. Пщской фигурой будем называть .чюбое ограниченное множество точек плоскости. Пусть в данную фигуру вписана многоугольная фигура и около данной фигуры описана многоугольная фигура, т.
е. фигура, состояШая из конечного числа треугольников. Множество площадей всех вписанных многоугольных фигур ограничено сверху (плошадью любой описанной фигуры), а множество площадей всех описанных многоугольных фигур ограничено снизу 1например, нулем). Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если точная верхняя грань Р множества площадей всех вписанных много- угольных фигур равна точной нижней грани Р ьшожества площадей всех описанных многоугольных фигур. Число Р = Р = Р называется площадью плоской фигуры 1по Жордану).
Теорема 13 1достаточное условие квадрируемости). Для того чтобы плоская фигура бь1ла квадрируемой, достаточно, чтобы ве граница была спрямляемой кривой. 2. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах. Пусть плоская фигура предстанляет собой криволинейную трапецию, ограниченну1о непрерывными кривыми у = ф1 (х), у = 7з(х), а < х < < Ь 1где р1(х) < уз1х)), и двумя отрезками прямых х = а, х = Ь Р= Р1Р) О Рнс. 17 Рас. 18 1рис.
17, а). Отрезки прямых могут вырождаться в точку (рис. 17, б). ?ль Ъ111. Определенный интеарал Тогда площадь фигуры вычисллется по формуле / Ь?2(ш) Л (щ)?г?щ 3. Площадь плоской фигуры в случае параметрического задании ее границы. Пусть граница плоской фигуры С простая замкнутан кривая, заданная параметрически уравнениями х = у?4), р = 6(?), О < 4 < Т, причем точка (у(?),ф(?)) при изменении 1 от О до Т пробегает границу С так, что фигура С остается слева от движущейся точки. Тогда плошадь фигуры С может быть вычислена по любой из следующих формул: (2) 21 е (4) тз (5) Контрольные вопросы и задания 1.
Что такое плоская фигура? 2. Что такое квадрируемая фигура'? 3. Что такое плошадь плоской фигуры? 4. По каким формулам вычисляется площадь фигуры: а) в декартовых координатах; б) в случае параметрического задания границы; в) в поллрных координатах'? 5. Приведите примеры квадрируемых фигур. 6. Является ли плоскость квадрируемой фигурой? 7. Является ли прямая квадрируемой фигурой? 4. Площадь плоской фигуры в полярных координатах. Пусть плоская фигура представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой р = р(Зп), Зчг ~ (~р < Зчз, О < < уз — Зп1 < 2я, и отрезками лучей р = уз и д = дд (рис. 18, а).
Отрезки лучей могут вырождатьсл в точку 0 (рис. 18, б). Тогда площадь фигуры вычисляетсл по формуле 9о. Вычисление площадей плоских фиеур Примеры решения задач 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = [х — 1[, у = 3 — [х[. Данные кривые пересекаются в двух точках (рис. 19). Решив Рнс. 20 Ряс. 19 уравнение 3 — [х[ = [х — 1[, найдем ебсциссы этих точек: 1 = — 1, х = 2. Поэтооиу з Я = / (3 — [х[ — [х — 1[) дх. Разобьем интеграл на три интеграла соответственно по сегментам [ — 1, О), [О, Ц, [1, 2). Получим Я = / [(3+х) — (1 — х)[с(х+ /[(3 —.
) — (1 — х)) ах+ — 1 о з + / [(3 — х) — (х — 1)[ ах = 1 + 2+ 1 = 4. а 1 2. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой хз~з + уз~о = = аз~о (рис. 20). Ь Полагая х = а соло 1, у = а яьнз 1, 0 ( 1 ( 2х, приходим к параметрическим уравнениям астроиды (параметр 1 играет роль полярного угла точки (х,у) на астроиде), По формуле (4) получаем е 5 = — 1(асов~1 Загйп 1сояу+ Засоч 1гйп1 агйпз1) йз = 2 У о Зк = — а ~ гйц 1сов 1Й = — па . А 3 2 Г 3 з 3 2 2,/ 8 о Замечание 1. Симметричная формула (4) привела здесь к более простому интегралу, чем тот, который получился бы в результате применения формул (2) или (3).
Тл. Ъ|ГН. Определенный интеграл 170 Замечание 2. Отметим, что интеграл по сегменту [О, лю|2] л?2 За 1.юг 3 — яп г сон 1дл = — юга 2,) 32 о дает площадь той части фигуры, которая лежит в 1 квадранте [рис. 21), хотя в атом случае вся граница фигуры уже не описывается уравнениями х = з, з = асов й р = аяв й поскольку содержит отрезки асей координат. Почему же получился правильный результат? Дело в толю, что парам|етричоски отрезок [а,О] оси Ор к|ожив задать уравнениями х = О, р = 2а[1 — гююл), я,|2 (1 ( л, а отрезок [О, а] оси Ох уравненинми х = 2а[гююл — 1), у = О, я ( 8 ( Зя,|2. На чтих отрезках параметр 1 не играет роли полярного угла.
Рнс. 21 Рис. 22 Используя теперь полную параметризацию границы фигуры [параметр г изменяется от 0 до Злю|2) и разбиван интеграл по сегменту [0,Злю|2] на три интеграла, соответствующих криволинейному и двум прямолинейным участкам границы, получаем, что интегралы по отрезкам координатных осей обрашаютсн в нуль, так как на кап|дом из них одна координата и ее производная по параметру равны нулю. По той же причине формула [2) остаетсн справедливой для криволинейной трапеции, ограниченной отрезном оси Ох, двуми вертикальными отрезками и кривой, заданной параметрически уравнениями х = ую[г), р = ф[1), 0 ( | ( Т, если при изменении 1 от 0 до Т точка [юр[1), еДг)) пробегает кривую так> что трапеции остается слева от точки.
В противном случае в формуле [2) перед интегралом нужно поставить знак плюс. Зал| е ча вне 3. Найти площадь фигуры, ограниченной циклоидай х = = а[| — яп 1) ю р = а[1 — сов 1), 0 ( | ( 2лю и осью Ох. юл По формуле [2) [где в силу замечания 2 перед интегралом взят знак плюс) имеем зл Я = /а [1 — сов|) Ф = Зла .
А о 3 а м е ч а н и е 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах уравнением р = 2а сов 2|и [лемниската Бернулли). Гу Учитывая неотрицательность р, находим, что — л,|4 ( ую ( я,ю4 и Зя?4 ( ( юр ( 5л|ю4 [рис. 22). По формуле [3) вычислнем плошадь одной из двух равных частей фигуры и удваиваем результат: е?л Н = 2 — 2а ю сов 2|ею)юр = 2а . йю 2 | 2 2 — г?ю рб. Вичивлввив объемов твл 171 Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
