В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найдите плошадь фигуры, граница которой задана уравнениями в декартовых координатах: .г г а) †, ; — †, = 1, х = хо, х = хг, р > 0 ( — а, < хв < хг < а); аг Ьг б) р=хг, х+р=2; в) р=(х+Цг, х=в1ггх1г, р=О (0<р<Ц; г) рг = хг(вг — хг); д) р = е '~в1пх), р = 0 (х ) 0) (за площадь этой неограниченной фигуры примите препел при А — 1 жсс площадей криволинейных трапеций, соответствующих изменению х ет 0 де А). 31.
Найдите площадь фигуры, граница которой задана параметрически (предварительно нарисуйте эскиз фигуры): а) х = а(севг+гв1пг), р = а(вгпг — гсевг), 0 < 1 < 2ж т, = а, р < 0 (развертка круга); б) х = а(2сев1 — сев 21), 1 = а(2гйпг — вш 21). 32. Найдите плошадь фигуры, .граница потирай задана у-равнением в полярных координатах: а) р = а(1 + сав Вг) (кардиеида); б) р = а, в1п Зэъ (трилистник); в) р=З-Ь2совр; г) р Ч-ьъг=1.
ЗЗ. Перейдя к полярным координатам, найдите площадь фигуры, граница которой задана уравнением: а) хв + рг = Захр (лнст Декарта); б) (х" ж р )г = Загхр (лемниската Бернулли). 3 6. Вычисление объемов тел Основные понятия и формулы 1. Объем тела (по Жердину). Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства.
Пусть в данное тело вписан многогранник и около данного тела описан многогранник, т. е. тело, состоящее из конечного числа треугольных пирамид. Множество объемов всех вписанных многогранников ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество объемов всех описанных многогранников ограничено снизу (паприлгер, нулем). Определение. Тело называется нубирувлгым, если точная верхняя грань Г множества объемов всех вписанных многогранников равна точной нигкней грани Г множества объемов всех описанных многогранников. Число Н = 1' = Г называется объвмож тела (по Жордану). 2.
Объем тела с известными поперечными сечениями. Пусть каждое сечение кубируемого тела плоскостью х = сопвь есть квадрируемая фигура, причем ее площадь Я(х) является непрерывной функцией х (а < х < Ь). Тогда объем этого тела вычисляется по Гл. Ъ111. Определенный интеграл 172 формуле в Ъ' = /о'(х) г1х. Ъ' = х / 1з(х) г1х. а (2) Контрольные вопросы и задания 1. Что называется телом! 2.
Что такое кубируемое тело7 3. Что такое объем тела? 4. По какой формуле вычисляется: а) объем тела с известными поперечными сечениями; б) объем тела вращения? 5. Приведите примеры кубируемых тел. 6. Является ли плоскость кубируемым телом'? 7. Является ли прямая кубируемым телом? Примеры решения задач 1. Найти объем тела, полученного вращением эллипса —, + — = 1 х д аз Ьз вокруг оси Ох.
гз По формуле (2) имеем а Ъ' = .г 1 — (аз — хз) г(х = — зад . д 1 аз 3 2. Найти объем тела, ограниченвого поверхностями хз + дз = а', з=ъЗд, з=0 (д>0). 7з 1 способ. Рассмотрим сечения этого тела плоскостями х = сопят. В сечениях получаются прнмоутольные треугольники с площадями Н(з,) у(х)з(х) —,Я хз тгЗ,,Р ' з,з (аз з,з) 2' 2 2 По формуле (1) находим ь Ъ = — /(а — х)г)х= — а.
,/З г,, Ь/з з 2 1 3 — а П способ. Рассекая это же тело плоскостями д = сопзг, в сечениях получаем прямоугольники с площадями Я(д) = 2х(д) (д) = 2Ъ~ ' — дз Лд В частном случае, когда тело получено вращением вокруг оси Оз: криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией д = Г"(х), а < х < 5, объем тела вращения вычисляется по формуле т 7.
Физические приложения 173 Поэтому )г = 2Л~ р,/Р— рз г)у = аз. Д г 2у73 3 о Задачи и упражнения для самостоятельной работы 34. Найдите объем усеченного конуса, основания которого ограничены эллипсами с полуосями А, В и а, 6, а высота равна Д. 35. Тело предстанлнет собой множество точек М 7х, у, з), где 0 ( з ( 1. При этом 0 ( х ( 1, 0 ( у ( 1, если г — . рациональное число, и — 1 ( х < О, — 1 ( у ( О, если х иррациональное число.
Докажите, что объем этого г тела не существует, хотя ( о1з) г!э = 1. о 30. Найдите объемы тол, поверхности которых заданы уравнениями: хг цг с у' а) — ф †' = 1, э = — х, х = 0; б) †, -~- †, -~- — = 1; аг Ьг а аэ 6г сг 2 3 гг ,2 2 э 2 2 г в) — ', ф — ' — —,=1, э=хо; г)х -ьх =а, у -ьэ =а; аг ьз сг л) х, -!- р -1- з = а, х -1- р = ах )пересечение указанных сферы и цилиндра образует два тела. Найдите объем так называемого тела Вивиани, вырезаемого цилиндром из сферы. Получив ответ, обратите внимание на его структуру: если из полусферы удалить тело Вивиани, то объем оставшейся части выражается через радиус сферы без иррациональных коэффициентов, в частности без л).
37. Найдите объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными вращением следующих кривых: а) у = 6(хгга)г7з )О ( х ( а) вокруг оси Ох: б) р = 2х — хг, р = 0 вокруг оси Ох; в) р = 2х — хз, р = 0 вокруг оси Ойд г) у = сйпх, у = 0 (О ( х ( зг) вокруг оси Ох: д) 17 = з!ггх, у = 0 (О ( х ( л) нокруг оси Орк е) х = а)1 — эбпг), р = а!1 — созг) 1О < 1 ( 2н) вокруг оси Ох; ж) х = а11 — э!ц1), р = а11 — созе) 1О (1 ( 2л) вокруг оси Оу.
3 7. Физические приложения определенного интеграла Основные понятия и формулы 1. Вычисление массы плоской кривой. Пусть простая кривая В задана параметрически уравнениями х = 771!), д = уз!6), о < 6 < )3, и пусть р!х, д) линейная плотность массы в точке 1х, у) Н Т,. Тогда масса кривой Т вычислнется по формуле а = ) г!г!гьч!гэ~ ь к М + Ч%гг.
а Гл. Ъ111. Оиределеьныа интелрал 174 =1" (*,л*ьЛ+7"и * В частности, при р:— 1 числовое значение массы совпадает с длиной кривой. 2. Вычисление моментов и координат центра тяжести плоской кривой. Статические моменты (или моменты первого поридка) кривой Ь относительно координатных осей в случае постоянной линейной плотности р = 1 (геометрические моменты) вычислиютсл по следу юьцим формулам (х = рф, у = ~(1), а <1 <,3,-- уравнения кривой): л,=7ЛХ7ЛЧЛ74ЧЛл г ° - ------- о*>, и,=)ил 'ю Х~-;Р(лл [ .„,--.. -.--.ол.
Если кривая задана в декартовых координатах: у = 1"1х),а < х < < б, то и. = ) 7!..~~77 Я~ л, .юг = 7" ., 177" М л. а 0 Координаты хо и уо центра тяжести кривой Ь вычисляются по формулам хо = Ма/1, Уо = Ил7'1, где 1 длина кривой Ь. Моменты инерции (или моменты второго порядка) кривой Ь относительно координатных осей (р = 1) вычисляются по формулам Ь =, т'Х~7ФлХ+Е'Мл д у =)Х~л,7РьГ-:-лил~ или (в декартовых координатах) ь г=/77 ьлт7чп'а, а (относительно оси Ох), (относительно оси Оу)., х =1*' т77"Фа*.
Пусть простая кривая задана уравнением в декартовых координатах у = Дх), и < т < Ь. Тогда масса кривой Л вычисляется по формуле Ь 7. Физические приложения 175 хо = —, Лре 5 ' (3) где Я --. площадь фигуры С. Моменты инерции фигуры С относительно координатных осей р = 1 вычисляются по формулам Х, = — ~~1, 'ьх) — Хз (х)1 дх ьотносительно оси Ох), а ь Х = /хо~бе(х) — Хз(х)) аьх Ьотносительно оси Оу). а ЛХе уо =— 5 Примеры решения задач 1. Найти статические моменты и координаты центра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной параболой дз = Д(х) = 2рх и прямыми у = Хь(х) = О и х = 1. ь.'з По формулам (1) и Ь2) находим 1 1 ЛХ, = — 1 Х,' 1х) дх = — 2р 1х ьХх = — , о о ь ЛХ /' 7 ~ )Н /2 /' зьз,Х 2.РР 5 о о Вычислим площадь этой криволинейной трапеции: 1 Я = т/2р / х'з ' чХх = 3 о Теперь по формулам (3) находим координаты центра тяжести: ЛХи 3 ЛХ 3 хо = — = -, уо = — = — Ьз2р.
А 5 5' ' Я 8 3. Вычисление моментов и координат центра тяжести плоской фигуры. Статические моменты фигуры С, ограниченной непрерывными кривыми д = Хз(х), у = Хз~х), а ( х ( Ь (где Хь(х) ( ( Хз(х)), и отрезками прямых х = а, х = Ь, .в случае постоянной поверхностной плотности р = 1 вычисляются по формулам ь ЛХе = -~ Ц,'1х) — Хдзьх)) дх (относительно оси Ох)., (1) з . 2 2,/ о ь ЛХи — — / х[Хз(х) — Хз гх)) Нх ьотносительно оси Оу). ь2) Координатья хо и де центра тяжести фигуры вычисляются по формулам Гл.
Ъ111. Определенный интеграл 176 2. Применяя вторую теорему Гульдена 1сы. ниже упр. 44), найти координаты центра тнжести плоской фигуры С, ограниченной одной аркой циклоиды х = а11 — вин б), у = а11 — соз1), 0 < 1 < 2л, и осью Ох. 12 Объем тела, полученного от вращения фигуры вокруг оси 025 равен 2ла зл 1г = л / уз дх = на~~11 — соа1)зтИ = 5ьза . о о Площадь фигуры С равна зла 2л о = / у г)х ла / а 11 — соа1) ЙЬ ла Зла .
Пусть уо ордината центра тяжести. Согласно второй теореме Гульдена 3 2нуо = И, откуда уо = 5а7'6. Из симметрии фигуры С относительно прямой х = на следует, что абсцисса центра тяжести есть хо = тту. А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 38. Найдите статистический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно диаметра этой полуокружности. 39. Найдите статический момент дуги параболы у = 2рх 10 ( х < рг2) относительно прямой х = р/2. 40. Найдите статический момент и момент инерции однородной треугольной пластинки с основанием Ь и высотой Ь относительно основания. 41.
Найдите моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями а и Ь относительно ее главных осей. 42. Найдите момент инерции однородного круга радиуса Н и массы ЛХ относительно его диаметра. 43. Докажите первую теорему Гульдена: площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости кривой, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описываемой центром тяжести кривой. 44. Докажите вторую теерелгу Гульдена: объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг но пересекающей ес оси, лежащей в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры иа длину окружности, описываемой цевтром тяжести этой фигуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
