В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пусть 7(х) интегрируема на [а, с) и не интегрируема на [с, Ь). Что можно сказать о ее интагрируемости на [а, Ь)'? ь 10. Известно, что /?(х) дх ) О. Следует ли отсюда, что ?(х) ) 0 ь?х б [а, Ь)? Приведите примеры. ь ь 11. Известно, что ~?(х) дх > ~д(х) дх. Следует ли отсюда, что 7(х) ) д(х) Чх б [а, Ь]? Приведите примеры.
12. Приведите несколько вариантов формулы среднего значения. При каких условиях они справедливы? Примеры решения задач 1. Доказать, что сумма, произведение и частное двух неинтегрируемых функций могут быть интегрируемы. ?1 Пусть 1(х) = 2+ Р(х), д(х) = 2+ Р(х), где )[ О, если х иррациональное число, [ 1, если х рациональное число (т. с. Р(х) -- функция Дирихле).
Напомним, что функция Р(х) пеицтегрируема (см. пример 2 из Ч 1). Функция 1(х) = 2+ Р(х) также пеинтегрируема. В самом деле, Гл. 1111. Определенный интеграл если допустить, что 1(х) интегрируема, то разность двух интегрируемых функций г'(х) — 2 = Р(х) согласно свойству 3' должна быть интегрируемой, но зто противоречит тому, что Р(х) неинтегрируема. Так как д(х) = 1(х), то д(х) неинтегрируема. Рассмотрим функция> 1 ] 1г2, если х .
иррациональное число, д(х) ] 1/3, если х -- рациональное число. Эта функция также пеинтегрируема. Доказательство аналогично доказательству неинтегрируемости функции Дирихле. Составим сумму, произведение и частное неинтегрнруемых функций: Гг(х) = л'(х) + ( — д(х)) = О, Ег(х) = 1(х)Ы(х) = 1, Гз(х) = г(х)г'д(х): — 1. Функции Еы гтз, Рз как постоянные интегрируемы на любом сегменте [аеб].
Таким образом, из интегрируемости суммы или произведения не следует интегрируемость слагаемых или сомножителей. А 2. Доказать, что произведение интегрируемой функции 1(х) на неинтегрируемую функцию д(х) может быть: а) интегрируемой функцией: б) неинтегрируемой функцией. гу а) Рассмотрим, например, интегрируемую функцию г(х) = 0 и не- интегрируемую функцию Дирихле Р(х) на [а, 6]. Так как ) (х)Р(х) = = О, то г(х)Р(х) интегрируемая функция на [а, Ь]. б) Пусть 1"(х) = 2, д(х) = Р(х) на [а, б]. Тогда 1'(х)д(х) = 2Р(х) .— неинтегрируемая на [а,б] функция. А 3. Найти среднее значение функции на заданном сегменте: а) 1(х) = созх на [О,Зл/2]: б) г(х) = зяпх на [ — 1,2].
гл Находим средние значения р, пользуясь формулой (2): зг/з 2 г 2 а) р = — ~ сов хгтх = — —. Отметим, что непрерывная функция Зп,/ Зя о сов х принимает на сегменте [О, Злгг2] значение р = — 2,г(Зл), а именно созе = — 2/(Зя), в точке ( = агссоз( — 2/(Зл)) Е [0,3я[2]. з 1 г 1 б) д = — ~ запхг)х= —. В данном случае разрывная функция зяпх 3/ 3' -1 не принимает на сегменте [ — 1,3] значение р = 1/3. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 5. Докажите, что сумма интегрируемой и неинтегрируемой функций есть функцин веиатегрируемая. 6.
Иятегрируемы лн ва сегменте[0, Ц фуякпия: а) б (х) = х; б) у~(х) = 1/х; в) (~(х) ж дг(х): г) гг(х)дг(х); д) Тг(х) = чгх; е) гг(х)дг(х)? уз. Формула Ньютона — Лейбница 153 7. Пусть 1 при — 2(х(0, 11(х) при О ( х ( 2, ° =( где 11(х) функция Дирихле. Иптегрируема ли функция Д(х) на сегментах [ — 2,2], [ — 2, — Ц, [ — 1, Ц, [1, 2]? ь 8. Пусть существует /[,г'(х)[г?х.
Следует ли отсюла интегрируемость функции [(х) на сегменте [а, Ь]? рассмотрите пример: 1, если х рациональное число., — если х - иррациональное число. 9. Пусть Д(х) = эшх, у(х) = 0,5япх, и пусть: а) 0 ( х ( гп б) 0 ( х ( ( Зл?'2. В каком из этих случаев выполнены условия свойстна 9'? 10. Найдите срелнее значение функции на указанных сегментах: а) ?г(х) = вшх на [О, гг], [О, 2 г], [?го, гае -~-2гг], [?ае; ра+ гг]; б) Д(х) = ьбпх на [ — 2, — Ц, [ — 2, Ц, [ — 1,3], [ — 2,2], [1,2]. Является ли среднее значение функции на кажлом сегменте одним из значений этой функции на этом сегменте? Объясните, почеыу в одних случаях ответ положительный, а в других отрицательный. 11. Найдите среднее значение функции на указанных сегментах: а) Д(х) = /х на [О, Ц, [О, 10], [О, 100]; б) Г(х) = 10 -1- 2 яп х+ 3 сов х на [ — гг, гг]; в) 1(х) = япхяп(х+ уг) на [0,2х].
12. Найдите среднее значение скорости свободно падающего с высоты 6 тела, начальная скорость которого равна оа. 13. Сила переменного тока меняетсн по закону /2лт г = го яп[ —,, -1- у), [,т где ге . амплитуда, 1 . время, Т --- период, уг --. начальная фаза. Найдите среднее значение квадрата силы тока: а) иа промежутке времени [О,Т]; б) на промежутке [О, Т]2] (период функции гз(1)):, в) на произвольном промегкутке [О,аа] и предел этого среднего при го ь ос. 3 3. Формула Ньютона — Лейбница Основные понятия н теоремы 1. Первообразная непрерывной и кусочно непрерывной функции. Пусть функция ?(х) интегрируемв нв сегменте [а,Ь].
Функция Е(х) = /? (ь) гМ (а < х < 6) а называется интегралом с переменным верхним яраг?алом. Гл. Ъ111. Определенный интеграл 154 Теорема 7. Непрерывная на сегменте [а, Ь] функция 1(х) имеет первообрагную на этом сеглгенте. Одной из первообразных лаляется функция 3 а м е ч а н и е. Интеграл с переменным верхним пределом определен для любой интегрируемой на [а, Ь] функции 1(х).
Однако для того чтобы функ- ция Г(х) вида (1) оказалась первообразной для 1(х), существенно, чтобы функцил 1(х) была непрерывна. Приведем пример, показывающий, что интегрируемая функцил может не иметь первообразной. Пусть 1 при х>0, 1(х)=вднх= 0 при х=О, хб[ — 1 Ц. [ -1 при х< 0; Эта функция интегрируема на сегменте [ — 1, Ц, поскольку является кусочно непрерывной, но, как улге отмечалось в гл. Ч, не имеет первообразной. В самом деле, любая функция вида (-х4-С~ при х<0, хжСг при х>0, где Сы Сг произвольные числа, имеет производную, равную едпх, при всех х ~ О.
Но даже "самая хорошан' из этих функций непрерывная функция г (х) = ]х] ж С (если Сг = Сз = С) не имеет праизводной при х = О. Поэтому функция адв х (и вообще всякая кусочно непрерывная функ- ция) не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем течку разрыва. Дадим теперь расширенное определение первообразиой, пригодное и для кусочно непрерывных функций. Определение.
Функция 1г(х) называется первообразной функции 7" (х) на сегменте [а, Ь], .если; 1') Е(х) непрерывна на [а, Ь]; 2') гн(х) = 7'(х) в точках непрерынности 1(х). Замечание. Непрерывная на [а, Ь] функция Т(х) является частным случаем кусочно непрерывной ( "кусок ее непрерывности" совпадает со всем сегментом [а, Ь]). Поэтому длл непрерывной функции расширенное определение первообразной совпадает со старым, так как г (х) = 1(х) ех 6 [а, Ь], а непрерыввость г'(х) следует из се дифференцируемости. Привсделг пример фувкции, имеющей первообразную в "невем" смысле и не имеющей в "старом".
Функция 1(х) = вдп х на [ — 1, Ц в "старом" смысле не имела первообразной. В "новом" смысле ее первообразной является функция Е(х) = ]х], поскольку она непрерывна ва [ — 1, Ц и г" (х) = 1(х) длн х ф- О, т. е. всюду, кроме точки разрыва, х = О. Ценность расширенного определения первообразной ясна из следующего результата, сохраняющего для кусочно непрерывных функций теорему 7 с еновыьге определением первообразной. З Я.
формула Ньютона — Лейбница ьбь Теорема 8. Кусочно непрерывная на сегменте [а, Ь) функция 1(х) имеет первообразную на этом сегменте в смысле расширенного опре- деления. Одной из первообразных явллется функция Е(х) = ~?'(?) Йй 2. Формула Ньютона-Лейбница. Т е о р е м а 9. Для кусочно непрерывных функций справедлиоа форл~ула Ньютона — Лейбница /з(х) йх = К(Ь) — г'(а), а гдв Е(х) — первообразная функции ?'(х) на [а, Ь) в слзысле расширен- ного определения.
2 На~р~м~р, 1 з8пхйх — [х[[, — 2 — 1 — 1 — 1 3. Метод звмены переменной. Т е о р е л1 а 10. Нуппгс 1) 1(х) определена и непрерывна на [а, Ь); 2) х = д(?) определена и непрерывна вместе с производной на [об?з), где д(сг) = а, д(д) = Ь и а ( д(?) ( Ь. ь р Тогда ~~(х) йх = /1(д(?))д'(Ь) й. 4. Метод интегрирования по частям. Теорема 11. Если ?'(х) и д(х) имеют непрерывные производные на [а, Ь), то ь ь ~~(х)д'(х) йх = З'(х)д(х) ! — ~Х'(х)д(х) йх.
а а Контрольные вопросы и задания 1. Что такое интеграл с переменным верхним пределом? Для каких подынтегральных функций он пвляется первообразной? 2. Дайте расширенное определение первообразной, пригодное длл кусочно непрерывных функций. 3. При каких условилх справедлива формула Ньютона-Лейбница? 4. Известао, что функция ?(х) имеет первообразную на [а, Ь). Интегрируема ли ?(х) на [а,Ь)? Рассмотрите пример: ?(х) = Г~(х), где х з|п(1?х) пРи х г- О,, и [О ц О при х=О; 5.
Перечислите условия, при выполнении которых справедливы: а) формула замены переменной; б) формула интегрировании по частям. Гл. 1111. Оиределенныа интелрал 6. С помощью каких подстановок вычисляются интегралы, содержащие: а) дробно-линейные иррациональности; б) квадратичные иррациональности7 7. Длн вычисления каких типов интегралов удобны тригонометрические подстановки7 Приведите примеры. 8. Плн вычисления каких типов интегралов удобен метод интегрированин по частям'? Приведите примеры, Примеры решения задач / соь(1 ) Ж 1. Найти Ппп 'о л.
О х 2у Данный предел представляет собой неопределенность вида О/О. Интеграл с переменным верхним пределом / соэ1бга) г)г есть первооб- Оул разная пепрерынной функции созхз, т, е, ~ / соз1гз)й) = соз(хз). о Поэтому, применяя правило Лопиталя, получим /'' соа (Га) гя' 1пп = 1пп = 1. л — ~0 х л-но 1 Отметим, что первообразнан для сов (хз) нс являетсн элементарной функцией, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
