В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Говорят, что функция у = г(х) имеет в точке хо локальный маясимуль (лщннмум), если существует такая окрестность точки хо, в которой при х ф хо выполняется неравенство 1(х) ( 1(хо) (соответственно ((х) ) 1(хо)). 41. Графики явных функций Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстрельум (или просто экстремум). Т е о р е м а 2 (необходимое условие экстремума).
Если функция у = = Х(х) ил~еет в точке хо экстремул, то производная Х'(х) в точке хо или равна нулю, или не сущестоует. Значения аргумента функции у = Х(х), при которых либо производная функции равна нулю, либо производная не существует, но сама функция непрерывна, принято называть точками возможного экстремума. Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума).
Пусть функция у = Х(х) дифференцируема в некоторой окрестносспи точки хо возможного экстремума (за исключением, быть может, силой точки хо). Тогда если при переходе через точку хо (в сторону возрастания х) производная Х'(х) меняет знак с плюса на минус (с л~инуса на плюс), то в точке хо функция у = Д(х) имеет локальный максимум (минимум). Если при переходе через точку хо производная функции не меняет знака, то в точке хо функция у = Х(х) не имеет экстрелул1а.
Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке хо возможного экстремума функция у = Д(х) илеет вторую пРоизводнУю. Тогда если ХЯ(хо) ( О (ХЯ(хо) > О), то фУнкциа У = Х(х) имеет в точке хо локальный максимум (минимум). 4.
Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Пусть функция у = Х(х) имеет в каькдой точке интервала (а. Ь) конечную производную. Тогда в каждой точке ЛХ(х, Х(х)), х Е (а, Ь), график функции у = Х(х) имеет касательную, нс параллельную оси Оу. Определение. Говорят, что график функции имеет на интервале (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (а, Ь) график лежит цс ниже (не выше) любой касательной. Тео реля а 5.
Если на интервале (охЬ) существует втор я производная функции у = Х(х) и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график функции у = Дх) имеет на интервале (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх). Определение.
Точка ЬХ(с, Х(с)) графика функции у = Х(х) называется точкой перегиба этого графика, если в этой точке график функции имеет касательную и существует такая окрестность точки с, в пределах которой слева и справа от точки с направления выпуклости графика функции у = Дх) различны. Говорят также, что в точке ХяХ(с, Д(с)) график функции имеет перегиб. Теорема 6 (необходимое условие перегиба). Если график функции у = Х(х) леет перегиб в точке М(с,Х(с)) и вторая производная ХЯ(х) непрерывна в точке с, то ХЯ(с) = О. Теорема 7 (достаточцое условие перегиба). Если в некоторой Гл. $11. Графики функций из а окрестности точки с существует вторая производная функции у = = 1" (х), причем фи(с) = О, и в пределах этой окрестности слева и справа от точки с знаки 1о(х) различны, то график функции имеет перегиб в точке М(с, 1'(с)).
5. Схема построения графика функции у = ф(х). 1'. Найти область определения функции и значения этой функции в точках разрыва и граничных точках области определения. Если в точке с функция имеет разрыв, причем г(с+ 0) или ф(с— — 0) обращастсн в бесконечность, то х = с вертикальная асимптота графика функции у = ф(х), Если функция определена на полупрямой или на всей числовой прямой, то следует установить (с помощью теоремы 1), имеет ли график функции наклонные асимптоты. Если наклонных асимптот нет, то нузкно исследовать, нвляется функция ограниченной при х — з оо или неограниченной (в последнем случае . является ли она бесконечно большой при х †оо и какого знака). 2'. Установить, явлнется ли функция четной, нечетной, периодической. Назначение этого пункта — — сократить выкладки.
Действительно, если функция четная или нечетнан, то вместо всей области определения достаточно рассмотреть лишь ту ее часть, которая принадлежит положительной полуоси абсцисс. На этой части области определения нужно пронести полное исследование функции и построить ее график, а затем, пользуясь симметрией, достроить его на всей области определения. Если функция периодическая, то достаточно провести исследование функции на любом отрезке, длина которого равна периоду функции, а затем, построив график на этом отрезке, распространить ого на всю область определения функции.
3'. Найти нули функции, т. е. решить уравнение ф(х) = О. Эти решения и точки разрыва функции разбивают ее область определения на промежутки знакопостоянства функции. 4'. Найти локальные экстремумы и промежутки возрастания и убывания функции (на графике экстремальные точки будем обозначать символом о). 5'. Найти промежутки сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика функции (на графике точки перегиба будем обозначать символом х или +). Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение и приведите пример вертикальной асимптоты графика функции.
2. Сформулируйте определение и приведите пример наклонной асимптоты графика функции при х — з +со (при х з — сс). 3. Сформулируйте теорему, выражаюп1ую необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты графика функции. 91.
Графики явных функций 1ЗЗ 4. Приведите примеры функции, у которой существуют наклонные асимптоты графика при х — ь +со и при х — ь — сю, причем эти асимптоты: а) совпадают; б) не совпадают. 5. Дайте определение локального экстремума функции. 6. Что такое точки возможного экстремума функции? 7.
Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие экстрегнугка: а) произвольной функции; б) дифференцируомай функции. Покажите на примере, что эта условие ве нвлнетсн достаточным. 8. Сформулируйте теоремы, выражающие достаточные условия экстремума функции. 9. Дайте определение направления ныпуклости графика фувкции. 10. Лайте определение точки перегиба графика функции, 11. Может ли меняться направленно выпуклости графика функции при переходе через точку, не являющуюсн точкой перегиба? Приведите примеры. 12.
Сформулируйте необходимое условие перегиба графика функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным. 13. Сформулируйте достаточное условие перегиба графика функции. 14. Принедите схему построения графика функции у = 7(х). Примеры решения задач 2х 1. Построить график функции д = вгсвш 1 4 хи Ь 1'. Функция определена при тех значениях х, для которых, как 2х следует из определения арксинуса, выполнено неравенство ,, < 1+хи < 1. Оно равносильно неравенству (1 — [х[)з > О.
Последнее верно для 2х любых вещественных х. Итак, Р® = Я. Функция,, непрерыв- 1-~- хз на в любой точке [как частное двух непрерывных функций). Поэтому 2х функция вгсщп з также непрерывна в любой точке (как суперпо1жхе вицин непрерывных функций), и, следовательно, график функции не имеет вертикальных асимптот.
Для нахождения наклонной асимптоты при х — ь со вычислим следующие пределы: 1пи — = 1цп — агсзш, = О, Х(х) . 1 . 2х з — ь-Ьж х я — ь-Ьсо х 1+х 2х 1пп [1 [х) — Ах) = 1пп вгсгйп з = агсзшО = О. ь — ь-Ьгк к-э-ьго 1-Ь хз Отсюда следует, что прямая у = О является асимптотой при х — ь +со [ее правильнее назвать горизонтальной, а не наклонной). Аналогично можно установить, что та же прнмая д = О является асимптотой при х — ь — оо. 2'. Очевидно, что функция непериодичоская и является нечетной.
Поэтому вместо всей области определения достаточно рассмотреть полупрямую [О, +со). Гл. 1г11. Графики функций 134 3'. Имеем у = 0 при х = 0 Других нулей, а также точек разрыва функция не имеет. На полупрямой [О, .+ос) функция является положительной. 4'. Найдем точки возможного экстремума на полупрнмой [О, +ос). Вычислим производную функцию при г, у': 1: 1 2(1 -~- х") — 4ха 1 -~- ха 2(1 — хг) 2 зиг~ (1 — хг) г)з [1 а[ [1 4 г)и 1 Ь л а е а и л 1— (14- ')а Отсюда видно, что производная не обращается в нуль ни в одной точке.
Так как у'(1+ 0) = — 1, у'[1 — 0) = 1, то в точке х = 1 производная не существует. Знак производной при переходе через точку х = 1 меняется с плюса на минус. Поэтому в точке х = 1 функция имеет локальный максимум, причем у[1) = агсаш1 = к/2. Отметим, что в точке х = 1 функция непрерывна, а ее производцан имеет разрыв 1 рода. В таком случае соответстпучошая точка графика (в данном примере точка [1,к/2)) называется угловой точкой. Промежутки монотонности функции определяются знаком производной: у' > 0 при 0<х<1; у'<Оприх>1. 5'.
Так как вторая производная н — 4х зли (1 — х') (1 Ь ха)2 обращается в нуль лишь при х = 0 и при переходе через точку х = 0 уи меняет знак, то в точке [О,у[0)) = [0,0) график функции имеет перегиб. Направление выпуклости определяется знаком второй производной: уи < 0 при 0 < х < 1; уи > 0 при х > 1. Исследование функции закончено. Перед тем как строить график, удобно изобразить на схел4е результаты исследовании, в частности, промежутки знакопостоянства функции, первой проиводной у'и второй производной у": Перегиб У псих О 1 и" и О 1 Теперь, считывая информацию со схемы, строим график функции на промежутке [О, +сс). На отрезке [О, Ц: а) функция возрастает от значения у = 0 при х = 0 до значения у = к/2 при х = 1; б) выпуклость направлена вверх.
Далее, на полупрямой [1, +се): а) функции убывает, оставаясь положительной; б) выпуклость направлена вниз; в) при х 4+со график приближается к асимптоте оси Ох. Отметим, что при переходе через точку х = 1 изменяется направление выпуклости графика, но точка (1, л/2) не является точкой перегиба это угловая точка (рис. б). д!.
Графики явных функций 135 Наконец, используя нечетность функции, достраиваем ее график на всей области определения (рис. 7). А Ркс. 7 Рис. Е 3 а м е ч а а н е. Если кривая задана уравнением Ф(х, у) = 0 н если зта уравнение удается разрешить относительно у илн относительно х, та построение кривой сводится к построению графиков явных функций. 2. Построить кривую, заданную уравнением уа — яшах = О. 21 Это уравнение Чх Е Л имеет два решения относительно у: у = 2 = згп х и у = — зш х, которые являются явными функциями, опре- 2 деленными на всей числовой примой. Графики этих функций симметричны относительно оси Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
