В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Постройте пример функции, определенной на [а,Ь), но не ограниченной на [а,Ь): а) сверху; б) снизу; в) с обеих сторон. Может ли такая функция быть непрерывной на [а...Ь)? Найдите точные грани функции: а) ф(х) =, на (О, фоо); б) ф(х) = хг на [ — 5,10): в) г(х) = агсп82' на ( — оо, +со); г) г(х) = ейпх+ соех иа [О, к); д) ф(х) = 2ОМ '1 на (О, Ц. Достигает ли 1(х) своих точных граней на указанном множествео 112 Гл. 17. Непрерывные и дифференцируемые функции 9.
Приведите пример функции ф(х), у которой: в) вирт(х) =+ж; б) шГ 1(х) = — ос. х х 10. Постройте пример непрерывной и ограниченной на интервале функции, которан на этом интервале: а) достигает зир, но нс достигает 1пт"; б) достигает шй но не достигает епр; в) не достигает ьир и шй 11. Постройте пример ограниченной на сегменте функции, которая на этом сегменте: а) достигает еир, но не достигает 'шй б) достигает шГ, но не достигает эпр; в) не достигает эир и шГ. Может ли такан функция быть непрерывной на сегментеу 12. Постройте пример функции, которая на некотором множестве Х имеет еир и шй но не имеет шах и шш 13. Найдите колебания функции: в) ф(х) = хз на ( — 1,2); б) ф(х) = а1п(1/х) на (О,е), где.
-- произвольное число; в) ф(х) = х е1п(1/х) на (О, Ц; г) ф(х) = х~з1п(1/х)( на (О, 1). 14. Обозначим через гп(() и 61(Г) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани функции ф(х) па множестве Х. Пусть ~~ (х) и уз(х) определены и ограничены на Л. Докажите, что (.те+фа) > (1)+ (Ы и+И < (и+М((') Постройте примеры функций 11 (х) и ф (х), длн которых в указанных соот- ношенинн имеет место: а) знак равенства; б) знак неравенства.
О 2. Равномерная непрерывность функции Основные понятия и теоремы 1. Определение равномерной непрерывности функции. Пусть гиножество Х является промежутком или состоит из нескольких промежутков. Определение. Функция г"(х) называется равномерно непрерывной нв множестве Х, если И > О Л6 = 6(е) > 0 такое, что Чх, х' Е Х, удовлетворяющих неравенству (х — х'( < 6, выполннстси неравенство ~У(х) — У( ')~ <в. 3 а м е ч а н не. Из опрелелении следует, что если функция равномерно непрерывна на множестве Х, то она непрерывна на этом ынолгестве, т. е. непрерывна н каждой его точке.
Отличие равномерной непрерывности функции на множестве Л от 'обычной" непрерывности ва этом множестве (т. с. непрерывности в каекдой его точке) состоит в том, что при равномерной непрерывности Ч > О найдется "нуэкцос" (такое, какое требуетсн по определению) 6(е) > О, общее дли всех х Е Л (6 зависит только от е и не зависит от х), а при "обычной" непрерывности Че > О и Чх Е Х найдетсн "нужное" 6 62. Равномерная непрерывность функции (т. е. 6 зависит и от г, и от т), но для каких-то г может не существовать "нужного" 6(г) > О, общего для всех щ С Х. Ясно, что в этом случае 6 изменяется в зависимости от х так (при указанных фиксированных значениях г), что может принимать сколь угодно малые значения.
2. Геометрическан иллюстрация равномерной непрерывности функции. Если ?'(т) ранномерио непрерывна на Х, то и 'хг > О Лб(г) > О такое, что прямоугольник со сторонами б(г) и е, параллельными осям От и Оу, г можно так переместить вдоль графика (сохраняя параллель- й1 ность сторон осям координат), Й е) что график ие пересечет горизои- Е тальных сторон прямоугольника, а будет пересекать только верти- 6(г) кальные стороны (рис.
5). 3. 'Георемы о равномерной непрерывности функции. Теорема 5 (теорсма Кантора). Непрерывная на сегменте функция равнолгерно непрерывна на этол сегменте. Теорема 6 (достаточное условие равномерной непрерывности функции). Если функция ?'(щ) имеет на промежутке Х ограниченную производную, то?(щ) равномерно непрерывна ка этом промежутке*). Контрольные вопросы и задания 1.
Дайте определение равномерной непрерывности функции. 2. Пользуясь кванторами, сформулируйте отрицание равномерной непре- рывности функции. 3. Справедливы ли следующие утверждении: а) если 7'(х) непрерывна на множестве Х, то она равномерно непрерывна на этом множестве; б) если г(г) равномерно непрерывна на Х, то она непрерывна на Х? 4.
Какова геометрическая иллюстрация равномерной непрерывности функции? 5. Сформулируйте теорему Кантора. 6. Справедлино ли утверждение: аепрерывная на интервале функция рав- номерно непрерывна на этом интервале? 7. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие равномер- ной непрерывности функции. 8. Янляется ли ограниченность производной необходимым условием рав- номерной непрерывности функции? *) Напомним, что дролхеащщком назывветсл любое из следующих множеств: се~мент, интервал, иодуннтереал, иолупрлмав, чнсловал праман. 114 аль 17. Непрерывные и дифферщщируежие функции Примеры решения задач 1.
Исследовать на равномерную непрерывность функцию у = хз на интервале ( — 1,Ц, где 1 > О любое фиксированное число. Ь Докажем, что функция д = хз равномерно непрерывна на интервале ( — П1), причем сделаем ато тремя способами: 1) пользуясь определением равномерной непрерывности; 2) используя теорему Кантора; 3) используя достаточное условие равномерной непрерывности. 1) Составим разность у(х1) — д(хз): д(х~) — у(хз) = хз — хз = (х1 + хз)(хч — хз).
(1) Если хм ха б ( — КЦ, то модуль суммы ~х1+ хз~ ограничен числом 2Е Поэтому модуль разности ~д(хз) — д(хз)~ будет сколь угодно малым для любых хыхз б ( — 1,1), если только модуль разности ~хз — хз~ достаточно мал. Эти качественные рассуждения показывают уже, что функции д = х- равномерно непрерывна на интервале ( — 1,1). Проведем теперь более строгие рассуждения, пользуясь определением равномерной непрерывности. Зададим произвольное с > О и положим б = е/(2Ц. Тогда Чхыхз Е ( — 1, 1), удовлетворяющих неравенству ~х1 — х ~ < б, выполняется неравенство Э(х1) У(хз)~ = ~х~ — хз~ .~х1 + хз~ < б . 21 = с.
Это и означает по определению, что функция д = х- равномерно непрерывна на интервале ( — П)). 2) Рассмотрим функцию у = т,' на сегменте ( — 1, Р]. Она непрерывна на этом сегменте и, следовательно, по теорелле Кантора равномерно непрерывна на нем. Отсюда следует, что функция д = хз равночлерно непрерывна на интервале ( — !.1). В самом деле, ( — П1) С ( — 1,1), и так как неравенство ~д(хч) — д(хз)~ < е выполняется Чхыхз б ( — 1, 1), удовлетворяющих неравенству ~хз — хз~ < б( ), то опо выполняется и для любых хм ха б ( — 1,1), удовлетворяющих тому же неравенству. 3) Производная д'(х) = 2х ограничена на интервале ( — 1,1): ~у'(х)~ = 2~х~ < 2Е Отсюда по теореме б следует, что функция у = хз равномерно непрерывна на ( — 1,1). А 2.
Исследовать на равномерную непрерывность функцию у = хз на всей числовой прямой. бз Из выражения (1) видно, что если хы хз б ( — сс, +ос), то при сколь угодно малом модуле разности ~хь — хз~ модуль разности ~у(хч) — д(х ) ~ не будет мал при достаточно больших х1 и хз из-за множителя (хз + хз). Это качественное рассуждение наводит на мысль, что функция у = х- не является равномерно непрерывной на всей прямой ( — са, +ос). Докажем это, пользуясь отрицанием определения равномерной непрерывности. Нужно доказать, что За > О такое, что Чб > О Лхы тз, удовлетворяющие неравенству ~хь — хз~ < б, для которых ~д(хз) — д(хз)~ > а.
62. Равномерная непрерывность функции Возьмем е = 1 и Ч6 > О положим хь —— 1/6+ б/2, хз = 1/6. Тогда [х~ — хз[ = д/2 < 6, но при этом 6 Г2 6т 6л [у(хь) — у(хх)[ = [хг — хз[[хг + хх[ = — ~- + -[ = 1 + — > 1 = е 2Ь 2) 4 Зто доказывает, что функция у = хз не является равномерно непре- рывной на ( — оо,+ос). д Задачи и упражнения длн самостоятельной работы 15. Пользуясь определением равномерной непрерывности и его отрицанием, докажите, что функция у = 1/х: а) равномерно непрерывна на полупрнмой [1, +ос); б) не нвлнетсн равномерно непрерывной на полупрнмой (О,-~-ос). 16.
Приведите пример функции, которан непрерывна на некотором интервале, но не является ва нем равномерно непрерывной. 17. Докажите равномерную непрерывность следующих функций, пользунсь только определением равномерной непрерывности (т. е. выбирая по заланному произвольному е нужное 6 = 6(е)): а) /(х) = Дх-Р У на ( — со,-рос), к ф 0; б) /(х) = хз на ( — 3,5); в) /(х) = япх на ( — со,-1-эо); г) /(х) = е'" на [О, 10). 18.
Исследуйте на равномерную непрерывность следующие функции (любым способом): а) /(х) = 1п(х) на (О, Ц и на (1,2); б) /(х) = яп(1/х) на (О, Ц и на (0,01; Ц; в) /(х) = агссдх на ( — сю, ч- ю); г) /(х) = агсяп х на ( — 1, Ц; д) /(х) = . 'х на [О, ч-со); е) /(х) = хяп — на (О, Ц; ж) /(х) = е И' на (О Ц; з) 1'(х) = т, яп х на ( — со, -~-оо); и) /(х) = япз х на ( — сю, -~-сю); к) /(х) = яп(х~) на ( — со, +ос); л) /(х) = е *' на (О, фсо). [яох[ 19. Докаьките, что функцин /(х) = равномерно непрерывна на интервалах П = ( — 1 < х < 0) и Хл = (О < х < Ц, но не ввлпетсв равномерно непрерывной на их сумме 1~ + 1з = (О < [х[ < Ц.
20. Докажите, что если фувнцин /(х) равномерно непрерывна на каждоьн из сегментов [а, с) и [с, Ь), то она равномерно непрерывна на сегменте [аь 6). 21. а) Докажите, что если функцин /(х) определена и непрерывна на полупрнмой [о. фоо) и существует Вщ /(х), то /(х) равномерно непрерывна на [и, +~ю). б) Приведите пример функции, равномерно непрерывной на полупрнмой [о, +сю), у которой 1пп /(х) не существует. 22. Приведите пример функции, которан имеет неограниченную производную на множестве Х, но нвлнетсн равномерно непрерывной на этом множестве. 23. Докажите, что равномерно непрерывнан на интервале функция ограничена на этом интервале. Верно ли обратное утверждение? 24. Докажите, что сумма и произведение двух равномерно непрерывных на интервале функций равномерно непрерывны на этом интервале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
