В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Каков геометрический смысл дифференциала? 7. Каков физический смысл дифференциала? 8. Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала? Докажите, что форма первого дифференциала инвариантна. 9. Как можно использовать дифференциал фу-нкции для приближенных вычислений? 42. Дифференциал функции Примеры решения задач 1. Найти дифференциал функции д = хз — х+ 3 в точке х = 2 двумя способами: а) выделяя линейную относительно Лх часть гад; б) по формуле (2). гг а) лад = /(2+ йзх) — /(2) = [(2+ гзх)з — (2+ глх) + 3) — (2з — 2+ + 3) = Зглх + (Ьх)з. Отсюда следует, что йд = Зглх.
б) /'(х) = 2х — 1., /'(2) = 3. Следовательно, по формуле (2) получаем йд = Зйх = Зг1х. д 2. Найти дифференциал функции д = зш(хз): а) в точке х = хе,. б) в точке х = т/я; в) в точке х = т/л при йх = — 2. аг а) Согласно формуле (2) г/д~ = /'(хо)йх = сов(хез)2хо г1х. б) Полагая в последнем раненстве т = т/7, получаем йд~, = — 2,/я йх. в) Имеем йд', /- = 4т/щ д 3. Заменяя приращение функции ее дифференциалом, найти приближенное значение; а) т/0,98: б) яп31'. а) Рассмотрим функцию д(х) = т/1+ х. Так как д(0) = 1, д( — 0,02) = т/0,98, д'(х) = —,(1+ х) г/з, д'(О) = —, то по формуле (3) получаем д( — 0,02) - д(0) + д'(О)( — 0,02) = 1 — 0,01 = 0,99. Итак, т/П,98 - 0,99.
б) Рассмотрим функцию д = япх. Так как д(30') = яп 30' = 1/2, д'(30') = сов 30' = т/3/2, 1' = 2я/360 (радиан) — 0,0175 (радиан), то по формуле (3), получаем яп31' - — + — — 0,5151. д 1 т/3 22к 2 2 360 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 28. Представьте в виде (Ц приращение фувкцин: а) д = е' в точке х = 0; б) д = яи а в точке х = гг/2; в) д = агс18 х в точке х = О.
Запишите вырагкение дла функции гл(глх). 29. Найдите приращение и дифференциал функции д = хз — хе + 1 в точке х = 1 и вычислите их значения при: а) Ьх=001; б) глх=01; в) Лх=1; г) Ьх=3. 30. Прямолинейное движение точки задано уравнением е = 2ф -Ь г+ 1, где г выражается в секундах, а е — в метрах.
Найдите приращение и дифференциал пути е в момент времени г = 1 си сравните их при: а) глг = 0,1 с; б) глг = 0,2 с: в) глг = 1 с. Рж 1Г Произаодные и дифференциалы 80 31. Найдите дифференциал функции у а точке х, если: а) у=угх; б) у= —; в) у=!п(х+угхз+1)! г) у=!!и х ! ц) у = агсяп —; е) у = — агстй —; ж) у = хс; з) у = т.япх-!-соах.
У !, х 2 а' ' а и' 32. Найдите ду~,. — е и ду! — и если: .3, з а) у = — — †, + х; б) у = !и!! + х); в) у = е*; 3 2 г) у=аш —; Л) у=саг —, ах хх 2 ' 2 ЗЗ. Постройте график функции у = !п(1+ х) и изобразите на графике ду при:а)х=О, дх=1; б)х=1, дх=1; в)х=1, дх=2. 34. Пусть у = япх, гле х = соей Какие из следующих равенств справедливы: а) ду)~,г = 0; б) ду), гз = дх! в) ду), м = — Ж? 35.
Используя формулу (3) и выбирая полхолящее значение ха, найдите приближенные значевия: а) соз151', б) агсзш0,49; а) !511; г) 0з?1,01; л) агс!51,1; е) с"'з 36. Докажите приближенную формулу (Лля малых х) ъ!а фх аф (а > 0). на" С помощью этой формулы найдите приближенные значения: а) ~)9; б) !у!255; в) ~ъ~ТЗО. ЗТ. Функция у = Дх) имеет производную в точке х = а. Вычислите предел последовательности !!г Иа+ 'з)+У(а+ ',)+...+У(а+ "з)-г!1(а)).
'3 3. Производные и дифференциалы высших порядков Основные понятия и формулы 1. Определение производных высших порядков. Коли производнан 1'(х) функции у = 1!х) определена в некоторой окрестности точки хо и имеет в этой точке производну!о, то эта производная от ~'(х) называется второй произаодной (или производной второго порядка) функции у = 1'(х) в точке хо и обозначается одним из следующих символов; ?а(хо), 1!2) (хо), Ун(хо)., 01~1(хо). Третья производная определяется как производная от второй производной и т, д, Коли функция у = ?'(х) имеет )и — 1)-ю производную в окрестности точки хо и если (и — 1)-я производная имеет производную в точке хо, то эта производная называется и-й производной (или производной и-го порядка) функции у = 1"!х) в точке хо и обозначаетсп ~!")(хо) или у!")(хо).
Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивпо по формуле гд. Производные и дифференциалы высших порядков 81 Функция, имеющая и-ю производную в точке хо, называетсн и раз диффвренцируемой в этой точке. Функция, имеющая в точке хо производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке. Производные высших порядков вектор-функции г = г(() также вводятся индуктивно: г('»(г) = [г(о «(г))'. Если г(1) = х(() 1+ у(()д+ х(1) 1с, то г("((1) = х('»(1) 1+ у(о1(1) 1+ х("((1) 1с.
Если функция г = г(1) описывает движение точки (( время), то вторая производная гп(г) есть вектор ускорения в момент времени й 2. Основные правила вычисления и;х производных. ( л )(п( , (п( и (п1 2. Формула Лейбница; (ио)(о1 — ~ г.
~ и(»н(и-О ~=о где н(01=и, и(о(=и С' = . ' ., 01=1. и( (((и — 1)(' 3. Формулы длн и-х производных некоторых функций. 1, (Хи)(п1 = а(а — Ц...(а — и+ 1)Хи " (Х > О, а . ЛЮбОЕ ЧИСЛО). 2, (а*)(о1 = ах(1п а)о (О ( а ф 1); в частности, (е*)(Ф = е*. 3, (гйпх)('» = вш [х+ и 1. 2 / 4.
(СОВ Х)(о1 = СОЗ (Х + — 1. 2 /' 4. Дифференциалы высших порядков. Пусть х — — независимая переменная и функция у = /(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Первый дифференциал ау = г'(х)ах является функцией двух переменных:х и йх. Второй дифференциал йзу функции у = Г" (х) в точке хо определяется как дифференциал функции йу = Гч(х)е(х в точке хо при следующих условиях: 1') а1/ рассматривается как функция только независимой переменной х (иными словами, при вычислении дифференциала от Г"'(х)ах нужно вычислить дифференциал от Г'(х), рассматриван ах как постоянный множитель); 2') прирашение независимой переменной х при вычислении дифференциала от Гч(х) считается равным первоначальному приращению аргумента, т.
е. тому же самому значению йх, которое входит множителем в выражение йу = 1'(х) йх. Пользуясь этин| определением, получаем йзу[ =, = й(йу)[ =, = йу'( Т.=х,йх = = ([("'(х))'[ =х,ах) йх = /фо(' о)(ах), зл. 11з. Производные и дифференциалы или (записывая (Дх)з я виде Дхз) Д'здрав и, = Уи(. о) г(хз. Дифференциал произвольного я-го порядка функции у = 1(х) определяется индуктивно по формуле е1"П = е1(г1и ~у) при таких же двух условиях, что и дифференциал второго порядка.
При этом справедлива формула Дий',,„, = 100(хо) Дхи (г)хв = (г?х)"), (1) откуда ~'0(*) = „',,„" (2) Если х является не независимой переменной, а функцией какой-то переменной К то формулы (1) и (2) становятся неверными (неинвариантность формы дифференциалов высших порядков). В частности, при я = 2 имеем е? у = 1" (л) Нх + 1'(х) г? х. Контрольные вопросы и задания 1.
Дайте определение второй производной функции у = 7"(х) в точке хе. 2. Может ли существовать вторая производная ги(хв), если не существует первая производная 7'(хе)? 3. Приведите пример функции, у которой существует 7~(хе), но не существует ?"(хв). 4. Дайте определение и-й производвой функции у = 1(х) в точке хе.
5. Известна, что п-я производная функции в точке хе существует. Что можно сказать о существовании производных меныпего порядка в точке хе и в окрестности этой точки? 6. Дайте определение и-й производной вектор-функции. Иаков физический смысл второй производной вектор-функции, описывающей движение точки'? 7.
Методом математической индукции докаазите правило вахожлевия и-й производной суммы и разности двух фувкций. 8. Выведите формулу Лейбница. 9. Выведите формулы для я;и производных функций х, а', щих, сов х, 1и х. 10. Докажите, что если 1(х) в раз диффереицируема, то д"7(их ьь) 7< з дх" 11. Вычислите производные и-го порядка: (ее')Ы~, (з1п(Зх+ 2))о'з, ( з?х,е)( ) ЭЖ Производные и дифференциалы высших порядков 12. Дайте определение дифференциала и-га порядка функпии у = Р(х) в точке хо.
13. Докажите справедливость формулы (1) для дифференциала п-го порядка в случае, когда х — независимая переменная. 14. Справедлива ли формула (Ц, если х - — фуакция аекотарой переменной 1? Выведите в этом случае формулы для дгу и дзу. Докажите, чта формула (Ц сохраннется, если х -- линейная функция независимой переменной й т. е. х = о?+ Ь (а и Ь - числа). Примеры решения задач 1. Найти уггагг если у = хзез', 21 Данная функция является произведением двух функций: хг и ез'. Применяя формулу Лейбница, получаем (хэезх)~гаг = хг(езл)йог ф Сг (хг)'(егл)гэг + + Сг ( э)рг1( зл)(81 + + ( з)йаг зк Так как (хг)00 = 0 при п ) 3, (ез')00 = еэхЗь, то (хзез*)йа' = хзезвЗ'а + 10 2хез*З + 45 2е"3 = 3"ез'(3сг Ч- 20т+ 30) Рассмотренный пример показывает, что формулу Лейбница наиболее удобно применять в тех случаях, когда один из сомножителей является многочленом невысокой степени р.
В этом случае все члены формулы Лейбница начинан с (р+ 2)-го равны нулю. х -~-1 2. Найти п-ю производную функции у = хг 2 гт Данную функцию можно представить в виде д = 1+ .г ( 2 хгнг г 2 2 Поэтому у~"~ = 1~"0 + (, ) = (, ) . В свою очередь (. — ) — (,. — ) хг — 1 можно разложить на простейшие дроби: 2 1 1 хз — 1 х — 1 ххц-1' Следовательно ""'=( —.' )'"'-( —.,' )00 Вычислим последовательно первую, вторую и третью производные функции —: х — 1 ( ' ) =((х- Г')'=- (х- Г', ( —.',) =-— кйй — = (-1)( — 2)(х — 1) з = ( — 1)г 2!(х — 1) (з) ( ) = ( — 1) 2!( — 3)(х — 1) ~ = ( — 1)з 3!(х — 1) зл.
1К Производные и дифференииалы Далее по индукции нетрудно доказать, что ( — ) = ( — 1) "и!(х — 1) Аналогично, Итак — 1 еп' 1 1 '(( . 1)поз (, + 1)вез ~' 3. Функция у = г"(х) задана параметрически уравнениями х = = асоз1, р = ояп1, О < 1 < х. Найти )о(х). зз Выведем формулу для второй производной функции у = 1(х), заданной параметрически уравнениями х = д(т), у = из(1), считая, что функции 1о(1) и ф(1) дважды дифференцируемы и ео'(1) ~ О.
В силу инвариантности формы первого дифференциала е(г'(х) = дн е ~з! = го(х)г)х, откуда (о(х) = '" ". Так как г"'(х) = ' ' ), то е(г'(х) = дх р (1)' = (,( )) й. Учитывал, что е)х = ~р'(1)М., получаем 1К'(1) о()=('""~ ' ='"""" '""" (3) 1 'р'(1) ~ и '(1) е ~,) ф (1) 'м) Положив ватой формуле ф = аяп1, из = исоа1, 1о '(х) = атосов(хза), получим е 1 (х)=— ивш 1 е=е ееое1з/о) о(1 — хз1из)зЗз (оз — хо)еЗз В данном примере можно найти явное выражение для 1(х): 1(х) = = ай~зад — хз ( — а < х < а).
Вычислня Го(х), получим, разумеется, то же самое выражение, что и по формуле (3). А 4. Движение точки в пространстве задано уравненинми х = Л соз й у = Вяп1, х = 61з/2, 1 > О. Найти модули векторов скорости и ускорения в момент 1 = 1. з.'з С помощью вектор-функции движение можно задать уравненном м' г = Лсое1 1+ Ляпт л+ — 1с, 1 > О. Дифференцируя, находим г'(1) = — Лешс 1+Лсоат.1+ Ы 1с (скорость), го(1) = — Лсое1. з — Лзшг.з+ 6 )с (ускорение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
