В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Сравнение бесконечно малых функций более высокого порядка при х — т О, чем х. Поэтому "в обратную сторону" это равенство 1о(х) = хл) неверно; все множество функций о1х) не сводится к одной функции хг. 2. Свойства символа ео малое". ТеоРема 10. ПУстьог(х) иоз(х) двв пРоизвольные бесконечно малые пРи х + а фУнкции такие, что ог(х) = о((3) и оз(х) = оЯ. Тогда ог(х) + ол(х) = о1(3) при х †а. Эту теорему кратко можно записать так; оЩ + о(3) = о1р). Сформулируем наряду с указанным еше ряд свойств символа "о малое" 1всюду имеется в виду, что о — 1 0 и 3 — 1 0 при х — 1 а).
1'. о13) + о1(т') = о1(1). 2', оС3) — о(3) = оС3). 3'. о(с(3) = о1(1) (((с ~ О. 4'. соЯ = о13) ((с ф. О. 5'. о(3") = о(3ь), п ) 2 (и С Х), Й = 1, 2,...,п — 1. 6'. (о(3))а = о(3Я) 1(п б Ж. 7'. 3"о((3) = о(3"л ~) Чп С Х. 1п 8'. ~~ ) =о(3п ') п)2(пСХ). ) Обозначим любую бесконечно малую при х — ь а функцию символом о®.
Тогда свойство 8' будет справедливо также при и = 1: о(3) 3 ..ф.рь) = .(г), ° . ', ь=! 10', о(о(3)) = о(3(). 11', о((3+ о(г3)) = о((3). 12'. о(3 = о(о), о3 = о(3). 13ь. Если и 3, то о — 3 = о(о) и о — 3 = о(.3). Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определеаие бесконечно малой функции: а) при х — г а; б) при х -( оо. Приведите примеры таких функций. 2. Сформулируйте определение и приведите примеры бесконечно малой функции а(х)( а) одного порядка с функцией 3(х) в точке а; б) эквивалентной функции (3(х) в точке а: в) более высокого порядка при х — г а, чем 3(х).
Что означает символическая запись а = оС3) при х -+ ау Гл. ПД Предел и непрерывность функции 54 3. Приведите примеры функций о(х), для которых справедливы равенства: а) о(х) = о(х) при х — ь 0; б) о(х) = о(Я вЂ” х) при х — > 1 — 0; в) о(х) = о(1ссх ) пРи х 4 оо. 4. Докажите, что хз = о(те) при х — > О. Верно ли равенство хз = о(Д) при х 4 О, если: а) Д(х) =х; б) П(х) =хам?сгх); в) Д(х) =хе Дх); г) Д(х) =х е1пх? 5. Докажите, что (х — 1)е = о(х — 1) при х -ь 1.
Верно ли равенство (х— — 1)д = о(Д) при х — ь 1, если: а) Д(х) = (х — 1); б) Д(х) = сйп(х — 1): в) В(х) = 6. Докажите, что 1?х~ = о(1ссх~) пРи х 4 ос. ВеРно ли Равенство 1?сх~ = = о(Д) при х 4 со, если: — (Й = 1,2); б) Д(х) = —,; в) Д(х) = 4, ) Д(х) = ; д) В(х) = хз есп х (х — 1)4 агськ (1/х) 7. Являются ли функции жпх и х эквивалентными бесконечно малыми при х ь О? Докажите, что жп х — х = о(х) при х ь О. 8. Пользуясь свойствами символа "о малое", запишите длн функции о(х) рапенство вида о(х) = о(хь) при х 4 О, если: о(х) = о(х )-~- о(х ); о(х) = о(х) — о(х); о(х) = 5о(х); сс(х) = о(Зх ); сс(х) = (о(х)); о(х) = хо(х); о(х) = о(х) = о( — х ф 2х 4-хл); о(х) = о(о(х )); о(х) = о(х + о(х)). 9.
Пользуясь свойствами символа "о малое", запишите для функции о(х) равенство вида о(х) = о(1?хь) при х -4 ж, если: о(х) = о( — ) — о( — ): о(х) = 1000о( — ); о(т) = о( ); о(х) — (о( )), о(х) — т о( — ), о(х) — о( —, — — ), о(х) — о(о( — )), сс(т) — о( —, -~- о( —,)). Примеры решения задач 1. Верно ли равенство о(х) = о(х) при х — ь О, если: а) о(х) = 2хз; б) о(х) = Зх; в) о(х) = гсГх(; г) о(х) =; д) о(х) = 1 — сов х? 1и )х! ' 2хе с."ь а) 2хз = о(х), так как 1пп — = О.
х — се х б) Равенство Зх = о(х) неверно, поскольку 1пп — = 3 ~ О. Функции Зх х — ье х Зх и х являются бесконечно малыми одного порядка при х — > О. в), Я ~ о(х), так как 1)пг — '" = ос. ~~~~! х — ье х ВЯ. Сравнение бесконечно малых г) х = о(х), поскольку 1пп ! х: х) = О. !п)х! ' х-ао 11п!х! ' д) 1 — сове = о(х), так как 1пп ' = 1пп — "' (х~ — ) х — ее х — хе х = !! (ЫЫ2'! — * = 1 О = О. а 2. Верно ли равенство а(х) = о(хз) при х з О, если: а) а(х) = вш х; б) а(х) = хз; в) а(х) = 1 — сов х? а ввп х сх а) вш х ~ о(хз), так как 1пп, = 1ш1 ~ — '" ) = 1.
Функции х-ао хх ххоч х яп х и хв эквивалентные бесконечно малые в точке х = О. 2 ,е б) хз = о(хз), поскольку 1пп —, = О. *-хо хе 2 1 — сов х 1 в) 1 — совх ф о(х ), так как !1ш = —. Функции 1— х — ео х' 2 — совх и хз —. бесконечно малые одного порядка в точке х = О. а 3. Используя пределы: япх 1 б) !. 1 — сов х 1 ) !.
1п(1-Ь х) -о х ' -о хх 2' -о х в/~ т г) 1пп " = — (и натуральное число); о х и предстанить функции япх, совх, 1п(1+х),,"/7+ х в виде 1б(х) = ао+а1х~+ о(хь) при х — г О, где й = 1 или 1с = 2; ао и а~ — некоторые числа. Ь Докажем сначала, что если о(х) и В(х) — бесконечно малые од- ного порядка при х — г а, т. е.
1пп --~ = с у': О, то а(х) = с,9(х) + о((1) х — ха 1х(х) при х — г а. В самом деле, так как 1пп ( — — с) =О или 1пп ' =О, /а(х) о(х) — сЗ(х) х — Еа 11(Х) хаа Д(Х) то по определению символа о((1) имеем а(х) — с11(х) = о(Р), или о(х) = с(1(х) + о(О) при х з а,.
(1) Из равенств а) — г), пользуясь формулой (1), получаем яп х = х + о(х) при х — г О, (2) = 1 — — '+ о(,') при 1 в (3) !п(1 + х) = х + о(х) при т — 1 О, (4) ф1ь х = 1+ — х+ о(х) при х — г О. (б) Формулы (2) — (5) называются асимптотичесними формулами, а также асимятотичесними разложениями или асимптотичесними Гл. Пй Предел и непрерыенесть функции аа представлениями функций зшх, соах, 1п(1+ х), фТ+ х при х -+ О. Последнее слагаемое в правой части этих формул (о(х) или о(х-)) называется осгпагпочн л членом асимптотической форлаулы. А 4. Доказать свойства 2', 3', 6', 9', 10' символа ао малое". с Напомним, что символ о(Д), входящий в левую часть формул, означает любую бесконечно малую функцию в точке а более высокого порядка, чем,З(х).
1. Докажем сначала свойства 2', 3', 6', т. е. о(Д) — о(Д) = о(Д), о(сД) = о(Д) Чс ф О, (оЩ)е = о(3") Чп е 1'ч'. (6) (7) (8) Обозначим через а~(х), оз(х), о(х) произвольные бесконечно малые функции в точке а такие, что о1(х) = о(Д), аз(х) = о(Д), о(х) = = о(с!а) при х — ~ а. По определению символа ао малое" эти равенства означают, что *-аа Д(х) !!ш =О, а — аа Д(Х) !пп = 0 (с ф О). а-аа Са(х) (9) (10) (11) аь(х) — оз(х) = о(Д), сх(х) = о(Д), (о1(х))" = о(6е), Г,, = !! "'*' ""' = О, а-аа Д(Х) Ь = !пп — = О, А, = !!ш „ = О. а-аа Д(х) ' ' а-аа Од(х))а Учитывая (9) и (10), получим а.-аа д(Х) а †>а,д(Х) ' а->а Д(х) / С помощью равенства (11) находим Ьз = с !пп = с. 0 = О.
а аа сЗ(х) Итак, справедливость формул (6) — (8) доказана. Для доказательства справедливости равенств (6)-(8) нужно установить, что 1)Я. Сравнение бесконечно малых 2. Докажем теперь свойства 9' и 10', т, е. н ° (~.х) =.х) ). т=! о(о(Д)) = о()3). числа), (12) (13) с)н)='(с,н Р) ) )= )С), с) )= ) )=") ° )Е)), ь=! т. е. 11ш „' =О, с))(х) слбь 1ип — = О., о(х) ;с — са )т(х) 11п! Р = О. х-)о О(Х) (14) (1о) (16) Для доказательства справедливости равенств (12), (13) нужно доказать.
что А! = 1пп " = О, х — )а /3(х) Учитывая (14), (15), (16), получаем П, Е слРл 1! — — 1пп „1пп ) =О.с! — — О, ч)(*) х )о " „ х )о Д(Х) Е 'ь)ть Ел = 1пп — 1пп = О . О = О. ~Ж . о(х) с-оо О(Х) е-оо )!(Х) Таким образом, справедливость формул (12), (13) доказана. д Лз = 1!и! ~ =О ч (х) х-.)а )т(х) Задачи и упражнения для самостоятельной работы 17.
Используя пределы: а) !)пт = 1па (а ) О, а ф 1): б) 1пп о х -~0 е) !ш! -' — '-' — = а; г) 1пп е = 1; -оо :с о х д) 1пп ' =1; е) !пп с-со х ' оо хо 2' выведите асииптотнческие формулы (при х (1+ х)', лЬх, т!) х, ейх. е — 1 х — ) 0) для функций а,, е Обозначим через ф(х), о(х) и р(х) произвольные бесконечно малые функции в точке а такие, что Гл. Пй Предел и непрерывность функции 18.
Дока1ките свойства 1', 4', 5', 7', 8', 11' — 13' символа "о малое". 19. Справедливо ли равенство о(о(х)) = о(х'~') при х — 1 О, если: а) в > О; б) в = О; в) — 1 < в < О? Ответ обоснуйте. 20. Верны ли равенства: а) о(х -~- х") = о(хз) при х †1; б) о(х) = о(хз) при х †1; в) о(х ) = о(х) при х -+ О; г) о(1/х) = о(1/хз) прн х — 1 со; д) о(1/х ) = о(1/л ) при х -1 оо? Ответ обоснуйте. 21. Пользуясь войствами символа "о малое", запишите для функции о(х) равенство вида о(х) = о(Ц или о(х) = оПх — а) ) при х — 1 и (Й натуральное), если: в) о(х) = о( — 5х + хл — хз + о( †5х -~-х — х )) при х ь О; б) о(х) = (х — ЦоДх — Ц -Ь о(х — Ц) при х — 1 1; в) о(х) = — о(Зх Ч-х~) при х — 1 О.
22. Пользуясь свойствами символа "о малое", запишите для функции о(х) равенство вила а(х) = о(Ц или о(х) = о(1/х ) при х †1 (й натуральное), если: а) о(х) = о( — — — +о( — )); б) о(х) — 3 3' в) о(х) = х о( —, +О( — 3)) г) о(х) — х(о( — ) о( — )), д) о(х) — ох о( — +о( — )). 8 4. Вычисление пределов функций с помощью асимптотических формул. Вычисление пределов показательно-степенных функций Основные понятия и формулы 1. Асимптотические формулы. В примерах и задачах 5 3 были получены асимптотические формулы для простейших элементарных функций при х -+ О. Запишем эти формулы в виде таблицы; 1. зьп х = х + о(х). Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
