В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Есть ли среди этих последовательностей сходящаяся? 5. Докажите, что сходнщаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом. Верно ли обратное утверждение: если последовательность имеет единственную предельную точку, та она сходится? 6. Дана последовательность )х ).
Известно, что любая окрестность точки о содержит бесконечно много членов последовательности и никакой сегмент, которому не принадлежит точка ос не содержит бесконечао многа членов последовательности. Следует ли отсюда, что 1нв х = о'? — с 7. Пусть !нв х = 4. Может ли последовательность !хи) быть: а) сходящейся !если да, то чему может быть равен ее предел?); б) расходящейсн'? 8. Сформулируйте теорему Больцано.Вейерштрасса. 9.
Верна ли утнерждение: если последонательность пе ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность'? Примеры решения задач 1. Доказать расходимасть последовательности хи = 1-Ци. бл Рассмотрим две падпоследовательнасти этой последовательности: хгл = 1 и хгь-, = — 1 (й = 1,2,...). Очевидно, что 1!нл хгл = 1, ь — лис 11гп хгь .г = — 1. Ь мси Таким образом, последовательность !1 — 1)и) имеет две предельные точки: 1 и — 1, а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную тачку. А 2. Найти; а) все предельные точки последаватольности !з!ив'); б) верхний и нижний пределы этой последовательности.
?1 а) Каждое из чисел О, шз?п1', шяп2', ..., шяп89', ж1 Гл. П. Предел последооотелъпости встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку Мпс р б Х вши' = аш(360'р+ и'). Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности (а1п и'1. Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число а не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки а, не содержащая ни одного члена последовательности.
б) Из указанных в п. а) 181 предельных точек наименьшей является — 1, а наибольшей 1, т. е. 1пп ашп' = 1, !пп ашп' = — 1. а ииси и — с~ 3. Найти; а) все предельные точки последовательности О, 1, 1/2, 1с'Зс 2/3, 1сс4, 3/4, 1сс5, 2сс5, 3/ос, 4/5, 1/6, ...; б) верхний и нижний пределы этой последовательности. й а) Данная последовательность (х„) представляет собой множество всех рациональных чисел сегмента [О, Ц, расположенных в указанном порядке. Так как в любой е-окрестности любого вещественного числа из сегмента [О, Ц содержится бесконечно много рациональных чисел (см. упр, 5 к гл.
1)с то каждая тачка этого сегмента является предельной точкой данной последовательности. Если же а ф [О, Ц, то эта точка не является предельной точкой данной последовательности, поскольку для нее существует окрестность, не содержащая ни одного члена последовательности. б) Очевидно, 1пп х„ = О, 1пп хи = 1. а и оси 4.
Доказать, что бесконечно большая последовательность (хи) не имеет предельной точки. сх Доказательство проведем методом от противного. Пусть некоторая точка а явлнется предельной точкой последовательности (х„1. Тогда существует подпоследовательность (хьи ) такая, что 1пп хьи = а. С и 'с другой стороны, (хьи) не имеет предела, поскольку является бесконечно большой.
Действительно, так как (х„) " бесконечно большая, тосуА>0 йХ: суп >Х [хи[> А. Отсюда., поскольку йи > и и й„ч г > й„„ следует, что дйи > Х [хьи[ > А, т. е. (хьи) бесконечно большая. Полученное противоречие доказывает, что (хи) не имеет предельной точки. а Задачи и упражнения лля самостоятельной работы 37. Докажите, что: а) из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательаостгн б) любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности нвляется бесконечно большой; в) монотонная неограниченная последовательность не имеет предельной точки; г) у каждой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
б 7. Фундаментальные последовательности 38. Известно, чте послелевательнести тх„) и ту„) имеют пе одной предельной точке. Покажите на примерах, что последовательности (х„+ у„) и )х„у ) могут: не иметь предельных точек; иметь одну предеаьную течку; иметь две предельные точки. 39. Найдите все предельные точки последовательности 1х„), а также 1ш) х, 1ш) ха, если: п/ и-)-1 2 в) т„= 1421 — 1)"т' -~-3( — 1)"1" '))~; г) и„= сеэ й -1- 1:1 д) х„= 1-1- п,эш —,; е) х„= -1- ай 1 — 1Ш 11 --1Ь 1 — 11 й 4 ' 'й.)-1 4 .)..= ОТ 2 =».; .)...=... — '."; .),,.=)-))..
.'1 40. Исследуйте на сходиместь последовательность 1 2 3 — )й х„= — — — + — — ... +1 — 1) й й 7) и 3 7. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности Основные понятия и теоремы Определение 1. Последовательность (х„) называется фундаментальной, если )гв > О эЖ такое, что )гп > ))) и любого натурального числа Р выполнаетсн неРавенство 1хй — хйт„~ < в. Это определение эквивалентно следующему.
Определение 2. Последовательность 1хй) называется фундал)витальной, если ))в > О э))г такое, что )дг) > )х' и Чт > Х выполняетсп неравенство 1хй — х ~ < в. Геометрическая интерпретация этих определений состоит в следУющем: если последовательность 1хп) фУндамснтальнан, то )дв > О й))) такое, что расстояние между любыми двумя членами последовательности с номерами, большими, чем 1)), меньше в. Теорема 12 (критерий Коши сходимости последовательности). Длп того )тебы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определения: а) фундаментальной последовательности 1дайте два определения и декажите их эквивалентность); б) нефундаментальней последовательности 1пельзуясь правилом построения отрицаний). Дайте геометрическую интерпретацию этих определений. 2. Сформулируйте критерий Коши сходимести последовательности.
Гл. 11. Предел аоследоеотелънооти 38 Примеры решения задач 1. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последоваи Х Е1ай тельности 1хп), где ха = 7 1=1 Л В силу критерия Коши достаточно доказать, что последовательность (х,„) фундаментальная. Для этого оценим ~хп — х„.ь ~. Имеем пчр а1р (Ха Хп.~-р ~ 1 1 1 1 Так как †, < = — — †, то йе й(й — Ц й — 1 й' 1 1 1 +,+...+, < (и-Ь Цл (и+ 2)е (ил-р)е Ь=аь1 1 1 1 <— Поэтому Ыи, р Е 1ч" имеем ~х„— хпч р~ < ) (и.
Зададим теперь произвольное е > О и положим 11' = ~1Я. Тогда Чи > 1н' выполняется неравенство и > ~1Я + 1 > 1/е, откуда 1/и < е. Следовательно, Чи > Х и любого натурального числа р, используя неравенство (1), получаем ~х„— х„.ьр~ < Цп, < е. Это доказывает фундаментальность последовательности 1хп). А 2. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последоваа тельности тх„), где хп = У " — 2-,й й=1 Ь В силу критерия Коши достаточно доказать., что последовательность (х„) не является фундаментальной. Для этого оценим ~хп— — х„.ьр~. Имеем и-1-р — р(= ~ ~— > Чи, рЕЮ.
Л 'и+я Ь=пэ1 В частности, при р = и получаем ~Ха — ХЗ„,~ > — > — 111. /й 1 (2) у 7. Фундаментальные последоеательности Возьмем е = 1/ъ 2. Тогда Оь найдутся такие и > Кс и натуральное число Р, что ~ха — х„+р~ > е. В самом деле, в силУ неРавенства 12) достаточно взять любое гь > Х и р = п. Это доказывает, что последо- вательность 1ха) не Явлаетсл фУндаментальной. А Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 41. Пользуясь критерием Коши, докажите )х ), если: сходимость последовательности е!и й в)х„= ~ г) х„= ~аьд, где )ц) ( 1 и )аь! ( Л1 111 М > О. ь=о 42. Пользуясь критерием Коши, докажите, что если последовательность х = ~~~ ал сходится, то 1пп а„= О.
ь=ь 43. Пользуясь критерием Коши, докажите расходимость последовательности 1х„), если: а) х„= ~( — 1): ь=1 ГЛАВА 1П ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ й 1. Предел функции. Теоремы о пределах. Бесконечно большие функции Основные понятия и теоремы 1. Предел функции в точке. Пусть х числовая переменная величина, Х вЂ” область ее изменения. Если каждому числу х е Х поставлено в соответствие некоторое число у, то говорат, что на множестве Х определена функция, и пишут у = 1(х). Переменная х называется независимой переменной (или аргументом функции), мнолкество Х областью определения функции 1(х), а число у, соответствующее данному значению аргумента х, частньлм значением функции в точке х.
Совокупность У всех частных значений функции называется множеством значений функции ((х). Точка а (а Е Х или а ф Х) называется предельной точкой множества Х. если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х, отличные от а. В определениях етого параграфа предполагается, что а есть предельная точка ыножества Х области определения функции Г(х). О п р е д е л е н и е 1 (по Коши).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
