В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Непрерывность элементарных функций. Функции у = = С = сопят, у = х, д = а*, у = !о8, х (а > О, а у': 1), д = япх, у = соех, у = 18х, у = стах, д = агсяпх, д = агссоех, у = агс1ах, у = агсстйт называются простейшими (или основными) элементарными функция ни. Функция называется элементарной, осли она может быть получена с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций над простейшими элементарными функциями.
уЯ. Непрерывность функции Совокупность всех элементарных функций называется классом элементарных функций. Наряду с простейшими элементарными функциями весьма широкое применение имеют так называемые гиперболические функции: гиперболический синус вЬх = (е* — е ь)?2; гиперболический косинус сЬх = (еь + е ь)?2; гиперболический тангенс 1Ь х = аЬх,? сЬ х; гиперболический котангенс стЬх = ейх,? зйх.
Теорема 9. Любая элементарная функция, определенная е окрестности некоторой точки, непрерывна е этой точке. 4. Второй замечательный предел. 1пп (1 + х) и~ь = е - 2,718281828459045... х — >е Отметим, что этот предел является неопределенностью типа 1' 5. Классификация точек разрыва. Пусть а "-. предельная точка области определения функции 7"(х). Точка а называетсн точкой разрыва функции 7(х), если 1(х) в этой точке не является непрерывной. Пусть 7(х) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Тогда а называется: 1) точкой устранилчого разрыва функции г(х), если сушсствуег 1пп 7" (х) = Ь, но либо г" (х) не определена в точке а, либо 7" (а) ф Ь (если з-ьь.
положить ?"(а) = Ь, то функции 7"(х) станет непрерывной в точке а, т. е. разрыв будет устранен); 2) точкой разрыва 1 рода функции г(х), если существуют ? (а+ О) и ?(а — О), но ?(а+ О) ~ 7'(а — О); 3) точкой разрыва 11 рода функции 7"(х), если в точке а не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции 7(х). Контрольные вопросы и задания 1.
Сфоргаулируйте определения: а) непрерывности функции в точке; б) непрерывности функции справа (слева) в точке. 2. Сформулируйте необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке. 3. Исследуйте иа непрерывность функцию ?(х) в произвольной точке а: а) 1(х) = х; )' О, если х иррациоаальное число, 1 1. если х " рациональное число 4. Какие функции называются элементарными? 5. Докажите, что функиия у = сцв х аопрерывпа в любой точке а,.
6. При каких значениях аргумента х функция ?(х) = атса1п(1а х) является непрерывной? 7. Какие точки называются точками разрыва функции'? 8. Дайте определения точки устранимого разрыва и точек разрыва 1и 11 рода. Гл. Пй Предел и непрерььвнветь функции 50 9.
Найдите точки разрыва функции Дирихле. Укажите тип этих точек разрыва. 10. Укажите тип точки разрыва функции ?(х); а) 1(х) = эких; б) Г(х) = = И!" 11. Оформнлируйтс теорему о непрерывности сложной функции. Пользуясь этой теоремой и первым замечательным пределом, вычислите еш х -со х 12. Какие функции называются гиперболическими? Принадлежат ли они классу элементарных функций? При каких значениях аргумента эти функции непрерывны? Примеры решения задач 1. Исследовать на непрерывность функцию г"(х) и указать тип ее точек разрыва, если: а) Г"(х) = — "'; б) Г'(х) = е ь?*; в)?(х) = 2.'ь а) Функпин Г(х) равна х при х ф 0 и нс определена при х = О. Так как Чп !пп х = а, то при а ф 0 1пп ?'(х) = о = 1(а), и, следователье — аа а — аа но, ?(х) непрерывна в любой точке а ф О. В точке х = 0 Г"(х) имеет устранимый разрыв, поскольку сушествует !пп? (х) = !!пь х = О.
е — ае л-ав б) Функция Г(х) = е '?а элементарная, так как она нвляется суперпозицией функций у = — х ~ и Г = е". Функция Г(х) определена при всех х, кроме х = 0; следовательно, по теореме 9 опа непрерывна в любой точке х у': О. Так как Г(х) определена в окрестности точки х = О, а в самой точке нс определена, то х = 0 точка разрыва. Вычислим Г"(0+ 0) и Г(0 — 0), пользуясь определением одностороннего предела функции по Гейне. Рассмотрим произвольную бесконечно малую последовательность (х„) такую, что х„> 0 'оп. Поскольку 11ш ( — 1?хп) = — со, имеем 1пп е '?л" = О. Следоваи — асс и — ь~ тельно, 1пп е ~?* = О.
Рассмотрим теперь произвольную бесконеч' *.— ото по малУю последовательность (хп) такУю, что х'„< 0 аУгь Так как 1пп ( — 1/х'„) = -!-сс, то 1вв е 1''" = -~-со. Поэтому 1пп е и-всю и — асс мо..о = +ос, т, е, ? (Π— 0) = +ос. Таким образом., предел г(х) в точке х = 0 слева не сушествует., и, значит, х = 0 янляется точкой разрыва И рода. в) Докажем непрерывность Г(х) в точке п ~ 1.
Возьмем е < ~а — 1~, е > О. Тогда е-окрестность точки а, не содержит точку х = 1, если е < < ~п — 1~. В этой е-окрестности Г" (х) совпадает либо с функцией ус(х) = = х, если и < 1, либо с функцией ф(х) = 1п(х), если о, > 1. Так как указанные простейшие элементарные функции непрерывны в точке и, то ? (х) непрерывна в любой точке а у': 1. Исследуем на непрерывность функцию? (х) в точке а = 1. Для этого вычислим се односторонние УЯ. Непрерывность функции э! пределы в этой точке, пользуясь непрерывностью функций ф(х) и «р(х) в точке а = 1 и теоремой 6. Получим ~(1 + 0) = 1)ш 1п х = 11ш 1п х = 1п 1 = О, , — ««+о у"(1 — 0) = 1!п«х хх 1пп х = 1.
— «« — о х — «1 Таким образом, Д1+ 0) у! Д(1 — 0), поэтому в точке а = 1 функция у(х) имеет разрыв 1 рода. А 2.,Чоказать, что: а) 1пп — ( — ~хх1; б) !пи о =1па, а>0, ау!1. х — «о х х — «о а) Представим функцию в виде 1п(1+х)ьрх = 1пу, !««(1 -Ь х! х где у = (1+ х)'«'. Так как 1пп(1-ь х)'«х = е, а функция 1пу непрех — «О рывна в точке у = е, то 1пп 1п(1+ х)п~х = 1пе = 1. х — «о б) Рассмотрим функцию у = «р(х) = а' — 1. Она непрерывна в точке х = 0 и у(0) = О.
При этом х = 1о8,(1+ у)« х 1оа (1-!- у) Вычислим 1пп — " —, пользуясь результатом и. а): „- о1оа.(1+у)' 1пп ' = 1пп ' =!па = — = 1па. у1ва 1 1««а У вЂ” «О 1ОРх(1 ф У) У вЂ” «О 1П(1+ У) 1, !««(! ЕУ) 1 у — «о у Рассмотрим теперь функцию ~(х), непрерывную в точке у = 0: е(у) 1оа (1+у) при у~О« 1п а при у = О. Согласно теореме 8 сложная функции 1 а* — ! Д«р(х)) = х 1па при х=О ах — 1 является непрерывной в точке х = О. Поэтому 1пп = 1па. д х — «О х Задачи и упражнения дпя самостоятепьной работы 1б. Исследуйте аа непрерываость функцию т'(х) и укажите тип ее точек разрыва (см.
упр. ! — 4): а) Р(х) = хе!п(1««х); б) Д(х) = в1п(1/х); в) т"(«с) = (х); Гл. ПП Предел и непрерывность функции 52 ( хе, если х иррационалыше число, ~ 1, если х — рациональное число: ) 11 ) = ', ; ) 11*) = 1~ -'; ж) П*) = хг ( х при О ( х < 1, !хжц)х — 3)' ф ~2 — х при 1<х(2; 1 х при 1х! ( (1, ) ( ) )'сое1пх12) при )х! < 1, 11 при (х))11 1(х — Ц при )х!)1. 16. Докажите, что: а) 1пп = 1; б) !пп ' = а; е". — 1 11жх!" — 1 *-~о о х — нх г) !нп '=1; д) 1пп ,— ~о х ', е хе 2 2 3.
Сравнение бесконечно малых функций. Символ но малое" и его свойства Основные понятия и теоремы 1. Сравнение бесконечно малых функций. Функция о(х) называется бесконечно малой при х ь а (в точке а), если 1пп о1х) = О. х — ье Пусть о!х) и 1)(х) две бесконечно малые функции при х — 1 а. Функции о(х) и 31х) называютсн: а) бесконечно льолыл1н одного порядка при х — ! а 1в точке а), осли 11ш — = сф.
О:, о(х) х — ье д(х) б) эквивалентными бесконечно малыльи при х — ~ а 1в точке а), если 1пп = 1 (обозначение; о д при х — 1 а). о1х) е — ьь, Д1х) Если 1пп — = О, то говорят, что о1х) является бесконечно малой о!х) п,З(х) более высокого порядка при х — ь а (в точке а), чем о1х), и пишут о = о!11) при х -+ а!о равно ьо малое" от Д при х -+ а). Например, хз = о(х) при х -+ О. Аналогичные определения имеют место для случаев х — ! а+ О, х — ! а — О, х -+ оо. Следует иметь в виду, что равенства, содержащие символ "о малое", являютсн условными.
Например, равенство хг = о(х) при х — ! О верно, но о(х) = хг неверно, поскольку символ о(х) обозначает не какую-то конкретную функцию, а любую функцию, являющуюся при х — ь О бесконечно малой более высокого порядка, чем х. Таких функций бесконечно много, в частности, любая функция хр (где р ) 1) есть о(х) прн т — ~ О. Таким образом, равенство хз = о(х) при х — ь О означает, что функция хг принадлежит множеству бесконечно малых уЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
