В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это означает (согласно определению и — !со предела функции по Гейне), что !ьш(х+ 1) = !пп 1"(х) = 2. я .с — ь! е — ь! нсзжх — 2 3. Вычислить продел 1пп л-ь! х — 1 Ь Этот предел, как и в примере 2, являетси неопределенностью типа О/О. Однако в отличие от примера 2 здесь нельзя непосредственно "сократить" числитель и знаменатель дроби на х — 1. Поэтому предварительно преобразуем функцию, умножив числитель и знаменатель на (~(З+ х -!- 2) — выражение, сопряженное числителю.
Получим х — 1 нсЗ!- х — 2 х — 1 (х — 1)(~/3 -!- х,'- 2) Так как при рассмотрении данного предела аргумент х не принимает значения х = 1, то, сокращая на х — 1, получаем и'3-!-х — 2 . 1 1 1пп = !пп е — ь! х — 1 л — ь! ъсЗ+х+2 4 4. Доказать, что функция Дирихле ( О, если х иррациональное число, Р(х! = ! '( 1, если х рациональное число, не имеет предела ни в одной точке. Ь Докажем, что в произвольной точке а функция Р(х) не удовлетворяет определению предела функции по Гейне. Для этого укажем две последовательности, (хи) и (хи), сходящиеся к а и такие, что 1ш! Р(х,) ф 1пп Р(хи). Сначала рассмотриа! последовательность и-!со и — ~со (;си) рациональных точек, сходящуюся к а. Для нее Р(х„) = 1 !еп, и поэтому 1пп Р(х„) = 1.
Теперь рассмотрим последовательность (х'„) иррациональных точек, сходящуюся к а. Для нее Р(хи) = О Уп, и поэтому 1пп Р(х'„) = О. Таким образом, 1пп Р(х„) ~ !ьш Р(х'„). и — !со и — !со и — ьоо Отсюда следует, что предел функции Р(х) в точке а не существует. А 5. Рассмотрим множество всех иррациональных чисел интервала ( — 1, 1). Обозначим его 1„.
Определим на множестве Г„функцию т(х)! г"(х) = 1, если х Е 1„. Доказать, что !пп т" (х) = 1, где а -- произвольная точка сегмента ( — 1, Ц (рациональная или иррациональная). 41. Предел функции гл Пусть а, е ( — 1, Ц. Точка а является предельной точкой множества !е (см, упр, 5 к гл. 1). Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть 1х„) --. произвольная последовательность точек множества 1„, сходящаяся к точке а (хн ф а). По условию д(х„,) = 1 Мхн Е Т„. Поэтому 11ш ф(хе) = 1 и, следовательно, 1пп Г'(х) = 1. а е-еее л — >а 6. Доказать, что функция з|пх не имеет предела при х — ~ +со. Ь Докажем, что эта функция пе удовлетворяет определению предела функции при х — > +ос по Гейне.
Для этого укажем такую бесконечно большую последовательность (хе), вто последовательность 1з1п т,„) РасходитсЯ. Положим хе = к(2п+ 1). Тогда 1ш~ хе = +ос, а после- 2 и — ~ее довательность (з1п х„) = — 1, 1, — 1, 1, ... расходится. Отсюда следует, что функция ьбпх не имеет предела при х — ~ +со. А Т. Пусть (х при х< 0, ( зшх при х > 0 (у(х) не определена при х = 0). Существует ли 1пп Дх)? л — ~О Ь Вычислим в точке х = 0 односторонние пределы функции Дх), пользуясь теоремой 5 для функций у = з1п х и у = х в точке а = 0: )'(а+ 0) = 1пп з1пх = 1пп з1пх = О, е-лоч-о л-ло д"(а — 0) = 1пп з1п х = 1пп х = О.
о — о е — ~о Отсюда по теореме 4 следует, что существует 1пп д(х), и он равен л †>О нулю. А 100х + 1 8. Вычислить 1пп г(х), где у(х) = л †~ ' хе-~-100 Е~ Этот предел является неопределенностью типа оо/оо, так как числитель и знаменатель . бесконечно большие функции при х г со. Представим д(х) в виде Так как 1ш1 (1/хд) = О, то, используя теорему 2 (для х — г оо), получаем (100+ 1!хе) 100 1пп г(х) = 00 = 100. А е — ~ж 1пп (1-Ь 100/х ) Примеры 2 и 8 позволяют сформулировать общие правила вычисления пределов вида 1пп Л(х) и Пш Л(х).
Здесь Л(х) рациональнан функция (рациопальная дробь), т. е, Л(х) = Р„(х))Я (х), где Р„(х) и Я (х) — мкогочлены соответственно степени п и т. Гл. Пй Предел и непрерььвнееть функции 4б Если 1пп 0 (х) = Ош(о) ф О, то 1пп Х?(х) = Рп(а)(Я,а(а). Если 1пп Хь1,п(х) = О и 1пп Рн(х) ф О, то 1пп Н(х) = со. «: — ьа а'-аа ° — ьа Если 1!ш Я„п(х) = !цп Рн(х) = О, то Рп(х) = (х — о)Р,* г(х), ЬХ (Х) = (Х вЂ” О)сь«„, «(Х) И 1!пг В(х) = 1пп Ра* — «(х) л — ьа Для вычисления 1!п«П(х) надо разделить числитель и знаменатель функции ХХ(х) на х и далее вычислить предел полученной функции, !2ш (х) учитывая, что 1пп = Ье, где Ьо коэффициент при х мно«:-а~ х гочлена О ,(х). А 9.
Пусть 1цп Х(х) = Ь, 1пп д(х) = +со. Доказать, что « -«а « — «а 1пп (Х(х) + д(х)) = +ос. Ь Докажем, что функция Х(х) + д(х) удовлетворяет определен«по бесконечно большой знака плюс в точке и, т. е. «ЛХ > О Дб > О такое, что Чх, удовлетворяющего условию О < !х — а~ < б, выполняется неравенство Х(х) +д(х) > ЛХ. Так как !пп Х(х) = Ь, то существует б«-окрестность точки а, в которой (при х ф о) (2) ~Х(х)) < С, где С .-- некоторое положительное число (докажите это самостонтельно). Зададим произвольное ЛХ > О. Поскольку 1пп д(х) = +ос, для числа ЛХ + С ДЛ > О (Л < б«) такое, что Чх, удовлетворяющего условию О < !х — а~ < Л, выполняется неравенство (3) д(х) > ЛХ + С.
Из неравенств (2) и (3) получаем, что при О < !х — о~ < б < д« справедливо неравенство Х(х) + д(х) > д(х) — ~Х(х)~ > М + С вЂ” С = М, что и требовалось доказать. А Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 1. Пользуясь определением предела функции ло Коши, докажите, что 1пв(хе!п(1/х)) = О. *-а 0 2. Докажите, что функция Х(х) = сйв(1/х) не имеет предела в точке х = О.
3. Существует лн 1пв(«)., где (х) = г, — (х) дробная часть числа «? -а О 21. Предел функции 47 4. Пусть Т. Пусть 111х) вох 4- агх" 4 Ь ...-1- а„ Ь, +Ьг '*-~ 4-...-,Ь„ аофО, ЬофО Докажите, что ( оо при !пп Л(х) = ае/Ье при 0 прн п>т, п=т, П < гн,. 8. Вычислите пределы: (1 -1- х)з — (1 -1- Зх -1- Зхг), . хг — 4 а? !гш 61 1пп 0 хл -!- хг г хч — 2хг -1-х — 2' хг — Бх -!-6 х4 — Зх+ 2 в) 1пп,; г) !4ш л-4з хг — Зх -)- 16 ' 4 хз — 4х ЬЗ х'" — 1 л) 1пп * (т натуральное число). х — 1 9. Вычислите пределы: '1 4-2х З ) !. ч?1:х х— З ч?х — 2 ' 4-4 — з 2 -1- чзлх 10. Вычислите пределы: а) 1гш; б) 1пп 0,1 ! З)4016 ! 1)40 (г.
2Ях Ь Ц', (Зхг 2)гз 4 1 х Ч ч/, +- чгх 4 ! 3 в) 1пп; г) ! 1ш х-'г 1 -44- 00 2х -~- 1 11. Докажите, что 14ш сов х не существует. 12. Существует ли 11ш /(х), если: ( 1 при х>0, а) а = 1, /(х) = хзбп(х — Ц, где збпх = 0 при х = О, -1 при х<0; 4ГХ в) 1гш -х —— ,-440 чх — 4 < 1 — сое х при х<0, при х>0; 2х -!- хг с — при х<0, х соах при х > 07 б) а = О, /(х) в) а=О, /1х) ) х, если х †.иррациональное число, ! 1, если х рациональное число.
Докажите, что /(х)имеет предел в точках х = 1 и х = †1 не имеет прелела в остальных точках. 5. Докагките, что: а) !гш?1 — созх) = 0; б) !пп 18х = О. . -40 . -~0 8. а) Используя неравенство сйп х < х < 18х (О < х < и/2) и теорему 3, докажите, что 1гпг '"'е = 1 (первый замечательный предел). -40 У б) Используя первый замечательный предел, докажите, что 1 — созе, 1 . 4лх !шг,, = —, !4го = 1.
-40 хг 2' — о х Гл. Пй Предел и непрерывность функции 13. Пусть 1ьпь Р(х) = Ь., 1пп д(х) = -Ьсо. Докажите, что: а) 1пп(Р(х) — д(х)) = — оо: б) 1пп — "(х! = оо (при Ь ф 0); У(х) в) 1пп †( — *~ = 0; г) 1пп Р(х)д(х) = ос (при Ь ~ 0). д(х) 14. Пусть !ип Р(х) = 0 (причем Р(х) ф 0 при:с ф в), 1пп д(х) = Ь ~ О. Дока~ките, что !пп д(~) = со.
„Пх) 0 2. Непрерывность функции в точке Основные понятия и теоремы 1. Непрерывность функции в точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а. Определение. Функция 1(х) называется непрерьтной е точке а, если 1нп 7(х) — г (а). с — ~в Пусть функция Г(х) определена в правой (левой) полуокрестности точки а, .т. е, на некотором полуинтервале (а,ач е) (соответственно (а — е,а)). Функция 7"(х) называется непрерывной справа (соответственно слева) в точке а, если 7(а+О) = )'(а) (соответственно г"(а — О) = 1(а)).
Т е о р е м а 6. Для того чтобы функция была непрерывна е точке а, необход мо и достаточно, чтобы она была непрерывна е этой точке справа и слева. Теорема 7. Если функции 1'(х) и д(х) непрерывны е точке а, то функции 7(х) + д(х), Г(х) — д(х), ((х)д(х), ((х)(д(х) также непрерывны е точке а (чостное при условии д(а) ~ 0). 2. Непрерывность сложной функции.
Пусть функция у = = р(х) определена на множестве Л, а 1 множество значений этой функции. Пусть, далее, на множестве У определена функция и = 1(у). Тогда говорят, что на множестве Х определена сложная функция, и пишут и = 1(д), где у =:р(х), или и = Д(фх)). Теорема 8. Пусть функция у = фх) непрерывна е точке а, а функция и = 7" (д) непрерывна в точке Ь = вв(а). Тогда сложная функция и = 1(дв(х)) = г'(х) непрерывна в точке а. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
