В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(1+х)' = 1+ах+о(х). П. соя т = 1 — —, + о(т;). 2 У1. 1пх = т, -~- о(х). П1. 1п(1+х) = т+о(х). Ъ'П. 3Ь х = х + о(х). 1У. а' = 1+ х1па+о(х) (а > О), 5/П1. сЬх = 1+ — "' + о(хз). 2 е* = 1-~- х+ о(х). 1Х. 1Ь х = х + о(х).
Указанные формулы остаются справедливыми, если в них вместо аргумента х подставить х„, где (х„) — бесконечно малая последовательность, либо у(х), где 1пп у(х) = О. Например, справедливо х — ьа представление, вытекающее из формулы 1: 1 1 711 31П вЂ” = —, + О( —,), пз — пл (,п1 ) у4. Виниеление пределов функций /11 где (о( †, ) ~ бесконечно малая последовательность более вы(х,а) сокого порядка, чем ( †, ), т. е. !пп , = 1пп п о( — а) = О. па ' ' ' и — ааа 1)п~ и-ааа па Функция у(х) = х — 1 является бесконечно малой при т, ь 1, поэтому из формулы И1 получаем равенство 1п(1 + у(х)) = у(х) + о(у) при х ь 1,.
или 1п(1+ (х — 1)) =!пх = х — 1+о(х — 1) при х — ь 1. Используя зто равенство и формулу П, запишем асимптотическое представление фуакции сов 1пх при х -ь 1: соз1п х = соа(х — 1 + о(х — 1)) = 1— (х — 1 ж о(х — 1))' х 2 + о((х — 1 + о(х — 1)) ). На основании свойств символа ао малооа получаем (х — 1; — в(х — 1)) (х — 1) 1 з 2 — -!- (х — 1)о(х — 1) -!- -(о(х — 1)) 2 2 + о(х — 1) + о(х — 1) = ' + о(х — 1)'. 2 2 Аналогично, (х — 1 + о(т — 1)) = (х — 1) + о(х — 1) .
В силу свойства 1Г имеем о((х — 1) + о(х — 1) ) = о(х: — 1)з. Окончательно получим (х — 1)~ соя 1пх = 1 — + о(х — 1) при х -+ 1. 2 2. Вычисление пределов показательно-степенных функций. Рассмотрим вычисление предела при х -ь а показательно-степенной функции (и(х))"!х!, где функции и(х) и ь(х) определены в некоторой окрестности точки о, причем и(х) > О. Возможны следующие случаи. 1. Если 1пп и(х) = Ь > О, 1пп и(х) = с, то 1ш1 и(х)айи = Ь'.
х "аа х -а а х. а 2. Если !!ш и(х) = О, 1пп и(х:) = с > О (или +ос), то 1пп и" = О. х -а а х-ха х-ах 3. Если 1пп и(х) = О, 1пп и(х) = с( О (или — оо), то 1пп и," =+ос. х — аа х — аа ха а 4. Если 1пп и(х) = О, 1ш1 о(х) = О, то 1пп и(х)"!'! называется нехха х — аа х-ха определенностью типа Ое. Гл. Ш. Предел и непрерывность функции 60 5. Если 1пп и(х) = +ос, 1пп о(х) = с > О (или +ею), то 1пп и' = а-аа а — аа а — аа = +со. 6. Если 1ип и(х) = +со, 1пп о(х) = с ( О (или — сс), то 1пп ие = О.
а — «а, а — аа а-аа 7. Если !пп и(х) =+со, !!гп о(х) = О, то !ип иа называется нее — аа х — аа ,а-ьа определенностью типа ос". 8. Если 1пп и(т) = 1, 1пп о(х) = сс, то 1пп и" называется неопреа — ьа а-аа а -а а деленностью типо 1 . Примером такой неопределенности является второй замечательный предел: !пп(1+ х) /* = е. а — ье Если и" представить в виде е'~е , то каждая из неопределенностей О", ссо, 1 сводится к неопределенности вида О со, для функции о 1п и. Если при этом 1пп о 1п и = Ь, то 1пп иа = е . Контрольные вопросы и задания 1. Напишите асимптотические формулы для функций в!ах, сцх, совх, 1п(1-~-х), е*, о*., (1-«х)", вЬх., гЬх, сЬх при х -+ О. 2.
Напишите асимптотические формулы с остаточным членом вида о(х ) при х — «О или о(1/х ) при х — «ос (а > 0) длп сложных функций в!ну, 18 у, сов у, !п(1 ф у), е", о", (1 -!- у)", вЬ у, СЬ у, сЬ у, если: а)у=Зхнх — «О; б)у=«/хих — «-!О; в)у=хвих — «О; г) у=1/хих — «со.
3. Напишите асимптотические формулы с остаточным членом вида о(1/и" ) (о > 0) Дла послеДовательностей вш х, 18 ха, сов х,!п(1 -«х ), е"", а'", (1-«х.„)', вЬ т„, 1Ьха, сЬха, если: 4. Дайте определение бесконечно малой последовательности (о„) более высокого порядка, чем (1/и), при и †« сю.
Дайте определение бескоаечно малой функции о(х) более высокого порядка, чем 1/х, при х †« со. Запишите для о„и о(х) соответствующие символические обозначения. б. Ка«аой парадов лаалости имеют последовательность оа = оо(1/ое) при и — «оо и функция о(х) = хо(1/х ) при х — «ос по сравнению соответственно с (1/и) и д(х) = 1/х? 6. Пользуясь асимптотической формулой 11« и определением предела функции по Гейне, докажите, что е = 1 + — + о ( †/ при и -« сю. 1 /1« п (,пт' 7. Верны ли равенства: хг1-Ьха=1-« — х жо(х ) при х«0; е 2 г«т сЬ вЂ” =1ф — — -~-о( — ) при х — «О? в 2 на ва Ответ обоснуйте.
98. Вычисление пределов функций 8. Назовите возможные случаи вычисления пределов показательно-степенных функций. Приведите примеры трех типов неопределенностей для таких функций. 9. Вычислите пределы: а) 1нп ( *, ); б) !пп (", ); в) 1пп (х)п ы*. Примеры решения задач 1. Вычислить !пп япею ьи х 2) е-чо !псоеЗх с1 Запишем асимптотическое разложение числителя, пользуясь асимптотическими формулами для синуса и тангецса и свойствами символа ио малое": Гхе 1 хе 1 япяп ьд — = яп81п ~ — + о~ —,)) = 2 ~12 ~2) = яп [ — +о( — ) +о( — + о( — ))) = ,3 2 з = 81п ( — '+ 0(х ) + 0(х )) = 81п ( — + 0(х )) = — + 01:е ). Здесь мы носпользонались тем что о( — ' + о( — ) ) = о(хз) и 0(хз) + '12 1,2) + 0(х~) = 0(хз).
Выведем теперь асимптотическое разложение знаменателя, используя асимптотические формулы для косинуса и логарифма: 2 9 1п сов Зх = 1п (1 — + о((Зх) )) = 1п (1+ ( — — ' + о(х )) ) = = ( — — +о(х )) +о( — — +о(х )) = Здесь мы воспользовались тем, что д,л 0113х)з) = 01х ), о( — — + омахи)) = 0!хз), о!х~) + о!х ) = о!хз). Таким образом, данный предел равен 1.
2) — + 1нп —, 2 о — >о хз 1 о(хз) 1 9 9 о1х ) 9 . о1х ) 2 х"' 2 х-оо хз Здесь мы воспользовались ио малое" 1ш1 и = О. в о хз . 2 — + 01х~) 1пп = 1пп -ое о из — — + 01хз 2 2 з = — — +о(х )+01х ) = — — +о(х ). 9х з 2 9х 2 2 тем, что, по определению символа Гл. ПП Предел и непреривносгпь функции е а 2. Вычислить 1пп в' (а ) О). е — ье х — в, Ь Положим у = х — а, тогда данный предел запишется так: ар+~ — а" .
а" — 1 1пп = аи 11ш и — ьо у и — ьо у Так как аи = 1+ у1па+ о(у), то а" — 1 . у1па+о(у) Г о," Вш = а,' 1пп " '"' = а'( 1па+ 1пп — ()) = а'1по,. у — ьо у и — ьо у и ~0 у ) и а Итак, 1пп ' = а" 1па. А и — ьа х — о, 3. Вычислить 1пп 01п(лъ'о~ + 1). и- сс Ь Использун асимптотическую формулу ь' при х = 1/пз и а = 1/2, получим ,/и-+1 п(1-ь —,) п.(1+ — —, -ь о( — )) Б-ь — +О(-). Отсюда 01п(я ~Го~ + 1) = гйп (лгь + — + о( — ) ) = ( — 1)и зш ( — + о( — ) ) .
Последовательность (( — Ц ) ограниченная, а ~э1п ( — + о( — )) ) беси I к /11 (2и (и) конечно малая, поэтому произведение этих двух последовательнос- тей является бесконечно малой последовательностью. Таким образом, 11 п(»Я + ц = О, д и — ьсе 4. Вычислить 1пп(созх)ые '. и-ио Гь Данный предел является неопределенностью типа 1 , так как .2,, 2 с( е чпсеь* 1ш1 соах, =1, 1пп с1И х = ос. Запишем (соех)соа ' в виде есье ""'""* л — >О е — ьо и вычислим Ь = 1пп 01д х 1псозх.
Для этого напишем асимптотие — ьо ческое разложение для 1псовх и гйп х при т — ь О: , в е 1п сон х = 1гь (1 — — + о(х ')) = — — + о(л '), х а 1 х, з 2 / 2 гйпз х = (х + о(х))з = х' + о(х' ). Используя эти равенства, находим — х /2 + о(х~) 1 Л = 1пп соз х 1пп .ь-ио лис хе -~- о(хе) 2 Таким образом, искомый предел равен еь = е '~з. д г1к сяОПО 5. Вычислить 1пп ( — ) Ь Данный предел явлнется неопределенностью типа О .
Для его вы- 54. Вь(числение пределов функций са (1/и) числения запишем ( — ) в ниде есл(г~и)'в)(т1и) и вычислим пре- ~ т) дел Л = !пп (!5 — 1п — /1. Имеем 1 15 и — )с П П А= 1)ш ~-1пп(-'Ч-Ор))] =- 11ш / ! )1 . Ьтп., о(!()т) — 1!пг )1пп о( — /1] =Π— 1пп — ' 1ш =О, и — )сс ! П и — )~ П и — )со 1('П так как 11ш "'" = О (см.
5 4 гл. Н) и 1пп ~(г — ") = О. и -)сх и и — )ж !/П Таким образом, Л = О, т. е. искомый предел равен 1. д 23 24 25 26 27 Задачи и упражнения для самостоятельной работы Напишите асимптотические разложения следующих функций при х ь 0 с остаточным членом вида о(х )с где а > 0: а) в!пз(5т/х), з!пз(бт/х -Ь х) (х > 0); б) соа(4хз), соз(4хз Ч- х)( в) е ', е *+хи (х > 0); г) 1п(! — х ), 1п(! — х + х); )3 — иг(:*, 3 — 'Лт — +си (. 0); )х', л() !псоа2х, 1псоз(2х+хи); з) сов ч/ешх, сЬч/з!пх (х > 0); и) 1п(е* + т/х) (х > 0); к) 5' "' ь/! л) фсозь/х (х > 0); м) сов хсозхе — !.
Напишите асимптотические разложепин функций при х — ь 2 с остаточным членом вида о(х — 2)'*, где о 3 0: а) яп(х — 2); б) (3 — х)"; в) 1п(х — 1); г) соа(гх): л) 15( гхз): е) (Ух — Т вЂ” ~~/х — Т; ж) х' — 4. Напишите асимптотические разложения функций при х — ) оо с остаточным членом вида о(!((х" ), где ст > 0: а) х + х — х; б) ТГ+ — '; в) ' (: + !)(х + 2)(х + 2)(' + 4) — х; г) ып ( — ). ьЬ ( —.), д) саа ( — ), е) з ж) !псов(-1, !п сЬ (-1( з) с'/ * — ! (х > 0). ),х/' тх/ Напишите асимптотические формулы длн последовательностей с остаточным членом вида и("))г) ), где о > 0: а) т(пз+ из — и; б) 2'/" + 7'/" — 2; в) зш !— (, т/и ~ ' Вычислите пределы: ) ьп(-- Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
