В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Производная г'(1) есть вектор мгновенной скорости точки в момент времени й Вектор г'(1) направлен по касательной к траектории. Если обозначить через х(1), у(1), г(1) координаты точки М в момент времени 1, а через 1,3, 1с — — единичные векторы осей координат, 4 1. Производная функции то вектор-функцию г = г(1) можно представить в виде г = х(?) 1+ у(1)д+ (1) 1с, а производную г'(1) — в виде г'(1) = х'(1)1+ у'(1)з + х'(?) )г. Аналогично, движение точки ЛХ на плоскости (х, у) можно описать вектор-функцией г = х(1) 1+ у(?) д. Если х'(1) имеет определенный знак, например, х'(?) ) О, то траектория днижения точки М представляет собой график функции у = 7(х), заданной параметрически уравненинми х = х(1), у = у(?).
Координаты вектора скорости г'(1) равны х'(1) и у'(1), а тангенс угла между вектором г'(1) и осью Ох, т. е. утловой коэффициент касательной к графику функции у = 7(х), равен у'(1)/х'(1) (рис. 3). Таким образом, мы снова получили выражение (4) для производной функции, заданной параметричсски. Вектор п(1) = ( — у'(1),х'(?)) при х'з(1) + у'з(1) -а О нвляется аекторож нормали к графику функции у = )(х) в точке М(х(1), у(г)), т. е. направляющим вектором прямой, проходящей через точку ЛХ перпендикулярно касательной к графику в этой точке (эта прямая называется норжиззью). Контрольные вопросы и задания 1. Что называется приращением функции у = ?(х) в точке хо? 2.
От какого аргумента зависит ревностное отношение ззу?'зьх'? Какова область определении функции злу,?ззх? 3. Дайте определение производной функции у = ф(х) в точке хо. 4. Пользуясь определением производной, выведите формулы для произ- водных функций х" (и натуральное число), яшх, соях., 1об„х., а'. 5. Каков физический смысл производной функции у = 7"(х) в точке хо? Ка- кое движение гочки оиисываезсн уравнением у = оох+ уо (х . иремн, ио и уо постониные)? 6. Каков геометрический смысл производной функции у = 7'(х) в точке хо'? Дайте определение касательной к графику функции у = 7" (х) в точке (хо, 1(хо)) и запишите уравнение касательной.
7. Когда говорят, что фуакцин имеет в точке хо бесконечную производную? Приведите пример функции, график которой имеет в некоторой точке вертикальную касательную. 8. Что такое односторонние производные функции в точке? Какова связь между односторонними производными и производаой функции в точке? Приведите пример функции, у которой существуют олносторонние производные в некоторой точке, но не существует производная в этой точке. Гл. 1Г Производные и дифференциалы 70 9. Выведите формулы для производных суммы, разности, произнедения и частного двух функций. Используя их, выведите формулы для произволных функций !ах, с1я т, ьЬх. сЬх, 1Ьх, с1Ьх.
10. Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Что можно сказать о производной обратной функции. если выполнены все условия теоремы, кроме условия ~'(ха) ф 0 (т. е. выполнено условие ?'(хе) = 0)? Приведите пример такога случая. Какова физическая интерпретация формулы для производной обратвой функдии? Пользуясь этой формулой, выведите формулы для произнодных обратных тригонометрических функций. 11. Сформулируйте теорему о производной сложной функции. Применима ли эта теорема к функции у = еш ( ух') в тачке х = О? Существует ли зг з производная этой функции в точке х = О? Какова физическая интерпретация формулы для производной сложной функции? Используя эту формучу, выведите формулу для производной функции х (о любое числа). 12.
Что такое параметрическое задавие функции? При каких условиях справедлива формула (4) для производной функции, заданной параметрически'? 13. Что такое вектор-функция? Лайте определения предела и производной вектор-функции. Каков физический смысл вектор-функции и ее производной? 14. Пользуясь определением производвой вектор-функции, выведите формулу г'П) = 1 х'?1) + з у'(1) + 1с з' П) . 15. Каковы координаты единичного вектора нормали к годографу вектор- функции г = ! х?1) + З у?1) в точке зИ?хЯ, у?Я? Примеры решения задач 1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции у = зз в точке х = 1. зз Находим приращение функции у = хз в точке х = 1: ду — ?1 .1 Дх) 1 — 3д,х 1 3?,ззх)з 1 (!ах)з Отсюда получаем -~ = 3+ Зззх+ (ззх)з и, следовательно, у'(1) = 1пп — к=3, в дэ,а дх 2. Сравнить на промежутке 0 < 1 < 1 мгновенные и средние скорости двух точек, прямолинейные дни!кения которых заданы уравнениями з! — — ?з, зз — — 214 (1 > 0). зз Находиь! мгновенные скорости точек в момент времени й пз(1) = = э!11) = 21, оз11) = з!,(1) = 81 . Отсюда получаем вг(0) = оз(0); я! (1?!2) = пз (1? 2); о! ~1) > пз (1) при 0 < 1 < 1? 2; о! ф < оз ф при 1 > 1?!2.
Средняя скорость первой точки на отрезке времени 0 < 1 < 1 равна ' '! ! = К А,, = -"-!-! — — ''!-! = 2. Т образом, оз,р < язлр 4! 3. Составить уравнение касательной к графику функции у = соя:г в точке с абсциссой х = я,?6. я1. Производная функции 71 з"г Имеем хо = яггб, У(хо) = соя(я,Г6) = хггЗгг2, У'(хо) = — я1п(яг'6) = = — 17'2. Поэтому искомое уравнение касательной запишется в виде lз ! 2 2 к 6! 4. Найти односторонние производные функции Д(х) = !х — хо!д(х) в точке хо, где д(х) непрерывная в точке хо функция. Имеет ли функция Д(х) производную в точке хо? Ь При Ьх > 0 приращение функции в точке хо имеет вид Ьд = ~(хо+ Ьх) - ф(хгг) = = !хв + Ьх — хо ~ д(хо + Ьх) — 0 = д(хо + гзх) Ь х, откуда —" = д(хо + ззх). Так как д(х) непрерывна в точке хо, то гз 1йп — ц = д(хо). Итак, ф'(хо + 0) = д(хо).
лз ьо Ьх Аналогично, при Ьх < 0 получаем Ьд = — д(хо + гзх)Ьх, откуда 1гггг — = 1ггп ( — д(хо + ~х)) = — д(хо) Ьу гьк — г — о гзх Ьк-з — о т. е. У'(хо — 0) = — д(хо). Если д(хо) И'- О, то 7'(хо + 0) ~ у'(хо — 0), и, значит, функция Д(х) не имеет пРоизводной в точке хо. Если же д(хо) = О, то 7"'(хо + 0) = = 7" (хв — О) = О, и, следовательно, функция 7(х) имеет производную в точке хо, причем У'(хо) = О.
а 5. Вычислить производную функции: а) д = я (х > О, х ~ 1); б) у = соя(2' — хз) (-оо < х < оо). Л а) Пользуясь правилами дифференцирования произведения и частного и таблицей производных, получаем д'(х)— (хаяшх)~1пх — х гйпх(1пх) 1п х (хасаях+ 2хяшх) 1па — хагбах 1ггх 1пз х х(х соя х -Ь 2 гбп х)! а х — х яш х (х>0, хф1. !аз а б) Функцию д = соя(2' — хз) можно представить в виде д = соя!, где 1 = 2' — х'. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получаем д'(х) = (соя!)'~г з., з (2' — хз)' = = — я1~(2к — хз)(2*! 2 — Зхз) ( — оо < х < ~).
а 6. Найти производную у'(х) функции х'я1п(1ггх) при х ~'= О, 0 при 7,=0 у зл. 1Г Производные и дифференциалы 72 и исследовать, является ли у'(х) непрерывной в точке х = О. 7з при х е 0 производную у'(х) можно найти дифференцированием функции хзяп(17х) по правилу дифференцировании произведения. Это дает у'(х) = 2хзш(17х) — соз(11х) (х ф 0). Полученное выражение не определено при х = О. Это пе означает, однако, что у'(0) не существует, поскольку выражение для у'(х) и было получено при условии х ф О. Для нахождения у'(0) воспользуемсн определением производной.
Приращение Ьу функции у(х) в точке х = 0 равно (Ьх)з зш(17злх), поэтому лзу .. 1 1шз — = 11ш злхэ1п — = О, Ье — зо злх зтл-зе '.зх т. е. у'(0) = О. Итак, у'(х) существует во всех точках: ) 2хэ1п(17х) — соа(17х) при х ~ О, при х=О. Для исследования непрерывности д'(х) в точке х = 0 рассмотрим !шз у'(х). Ноно, что 1пп 2х эш(17х) = О, а 1пп соэ(17х) не существует. л — зо л — зе е — зо Поэтому и 1пп у'(х) не существует. Таким образом, у'(х) разрывна з-за в точке х = О, которая явлнетсн точкой разрыва Н рода функции у'(х). а 7. Доказать, что уравнения х = соа1, у = гйп1 (О < 1 <;т) задают параметрически некоторую функцию у = 1(х).
Найти производную 1'(х) этой функции. з."з Функция х = соз1 является строго монотонной (убывающей) па отрезке 0 < 1 < и и, следовательно, имеет обратную. Подставляя эту обратную функцию в уравнение у = э1п1, получаем функцию вида у = 7"(х). В данном случае обратнап функция находится в ящюм виде: 1 = агссоэх, и поэтому дла 1(х) получаем выраяеение 7"(х) = = аш(агссоэх) ( — 1 < х < 1). Эту же функции> можно записать в виде 1(х) = ъ'Т вЂ” хз ( — 1 < х < 1) (объясните, почему). Вычислим производную ~'(х) двумя способами: а) используя нвное выражение; б) используя формулу длн производной функции, заданной параметрически.
Имеем: а)('(х)= —,, ( — 1<х<1); б) 7" (х) = сое (1 ф О, 1 ~ и). З « ~=:,Е = т — Е~=Л вЂ” З е ° Еу( из второго выражения для 7" (х) получаем первое: 1'(х) =— (хфх1или — 1<х<1). А 8. Доказать, что если вектор-фупкции гз(1) и гз(1) имеют производныо, то для производной скалярного произведении (гз(1) гз(1)) б 1. Производная функции 73 справедлива формула (г1 (1) гз(1))' = (гз(1) гз(Х)) + (гз(1) г!~(1)). Л Пусть гз(1) = хз(1)в+уз(1)!+аз(Х))с, гз(1) = хз(1)з-Ьуз(1)з+ + зз(1) )с. 'Гогда (гз(1) гз(1)) = хз(1) тз(1) + уз(1) уз(1) + зг(1) зз(1). Воспользуемся тем, что если гз(1) (! = 1, 2) имеет производную, то х,(1), у;(1), з,(1) также имеют производные, причем г',(1) = х',(1) !+ у';(1) ! + + ф1) !с (см, упр, 25), Получаем (г! (1) гг (1))' = хз (1) хз(1) + х! (1) хз(1) + у! (1) уз(1) + у! (1) Рз(1) + + з! (1) зз (1) + з! (1) зз (1) = (хг (1) хз (1) + 1/з (1) уз (1) + зз (1) зз (1) ) + + (хг(1) хд(1) + уз(1) уз(1) + зз(1) зз(1)) = (г'„(1) гз(1)) + (гг(1) гз(1)).
А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Запишите выражение длн з1у = 1(хо -!- Ьх) — 1(х) и найдите область определении функции Ьу, если: а) 7'(х) = агссйв х, хе = 1/2; б) 1(х) = атосов х, хо = 0; в) Д(х) = 1пх, хо = 2; г) Д(х) = вшх, хо = 2зг. 2. Пользуясь определением производной, найдите производную функции: а) у=хвточкех=1; б) у=х вточкех=хо; в) у=ьзхвточкех=4; г) у=х!х~ вточкех=О; 1 (1 — совх)!х при х ~ О, в точке х = О. прн х=О 3. Функция у = г(х) имеет производную в точке а. Вычислите пределы последовательностей: а) 1пп пЯо, + 17п) — Д(а)); б) !!пз п(7(а) — 7'(а, — 2/и))! в) !!ш п()(а — 1/и) — 1(а -Ь 1/и)); г) 1!га п(1" (а -1- 1/и) -!- 7(а ф 2/и) ф ...
-!- 1(а -!- д/зз) — Ц(а)). 4. Уравнения прямолинейного движения двух точек имеют вил: а) вз = й вз = 1~ (! ) 0); б) вз = 1з, вз = ез (1 ) 0); В) вз = !111, вз = ~/7 (! ) 1) (! время, вз и вз расстонния, пройденные первой и второй точками за время 1). Сравните мгновенные скорости этих двух точек, а такязе их средние скорости на отрезках нременн 0 < 1 < ! и 1 < 1 < 2 для случаев а) и б) и на отрезках 1 ( ! ( 4 и 1 ( ! ( 25 для случая в). 5.
Составьте ураннение касательной к графику функции у = Д(х) в точке с абсциссой хо, если: а) 1'(х) = в!згх, хо = 0; б) Д(х) = х, хо = 1; в) Д(х) = в зхх, хо = 0; г) 1(х) = атосах, хо = 1. 6. Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = )'(х) в точках с абсциссами хз и хз, если: а) 7(х) = сов х, хз = я76, хз = а/2; б) 7'(х) = е*, хз = О, хз = 1; в) 1(х) = агсвйпх, х1 = О, хз = 17'2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
