В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если функция,т. = д(!) имеет обратную функцию ! = ьа з!х), то из равенства !2) следует 1а,) ~-= У~ж)М!) д?~,,.Р ~3) Эта формула является основной рабочей формулой при вычислении интеграла /1!х) дх методом замены переменной. Контрольные вопросы и задания 1.
Запишите формулу !2) замены переменной в неопределенном интеграле. При каких условиях эта формула справедлива? 2. При капом условии из формулы !2) следует формула !3)? 3. Требуется найти /~/4 — ха ух для — 2 ( х ( 2. Допустима ли для этой цели замена переменной: а) х = яцй — х/2 ( ! ( я,?2; б) х = 2япй 0 ( ! ( х/2; в)х=2япй — и/2(!(х?2; г)х=2совй 0(4(з/2; д) х = 2 сов!, з ( ! ( 2я? Примеры решения задач Рассмотрим некоторые приемы вычислении интегралов с помощью замены переменной.
1'. Тождественное преобразование подынтегрального выражения с выделением дифференциала новой перел!виной интегрирования !простейшая замена пероменной). ! ! хух Гл. !г. Неанределенньга интеграл = — — /(1 — хг) и~в д(1 — х,') = — — 2(1 — хг)~г~ + С ,/ хв 2,/ (хв)г 2 / 2(1 (а вг /2)г) зг2 у'2+ х~ 8 за — хв г -"(-.') 'гн"* Т г "Ф+7" ~,тгЗНг ГГ = — 1п — + ~( — + 1 + С (х ) О). 4. / = / ' = 1п~1п1пх(+ С. дх г д(!и 1п х) х!пх1п1пх !п1пх 5. /!цхс(х = 1 ' = — !п~совх!+С. сов х дх ) едп х+2совгх л' совах(18гх+2) зГ24( ~ ) l 2(1+ (!8х!зг2)г) 2 ' зГ2) /'(1 !в)в!( 8!а) с1! 5/'(1 !в)г!в д! = -З/(!в — 2!в+ !в) а = -З( — ' — - !'+ (4 7 ! — (1 )7 2.
1 = /хв(2 — эхв)г7вйх. Положим (=5) 1з'!в :), Ф = — 15хвйх. Находим 1= 2 — 5хв, тогда х = -/5( — )''(- — ) =- — /'«''- '') — — 2 — !вр + —, — !вр +С, 75 5 75 8 ! = 2 — 5хз. ряпх сов х ржах сов х[(сов х -В 1) — 1) дх. ,/ 1-!-сов- х,/ 1+ сова х 2'. Некоторые подстановки. 1. 7 = /хв Я вЂ” хдх. Положив| ! = (1 — х)з7в, тогда х = 1 — 1в, йх = — 3!ад!.
Имеем Ва. Метод замены переменной Положим Г = 1+совах, откуда а11 = — 2совхвгпх,г)х. Значит, 1Гà — 1 Г 1 з 1 = — -/ — Ю = — — + — )п ф + С, 1 = 1+ сов х. 2/ Г 2 2 3'. Тригонометрические подстановки при интегрировании некоторых иррациональных функций. 1. 1 = / — '-;— ~. Положим х = вшг, — зг/2 < Г < к/2; тогда йх з)з з' г)х = сов1г)г. Следовательно, = вк1+ С., 1= агсяпх. Гсов во'Г ,/ сокз Г 2. 1 = / з,.
з з. Положим х = агав, — т/2 < 1 < к/2; тогда ах 1х +а)з дх = — '-з —. Поэтому айг сов Г 1=/,, = —,вш1+С, 1= агсгц-. Гасов' газ 1 х ,/ аз сова Г аз а 3.1= /, х . Положим х=1/вшв, — к/2<1<0 и 0<1< з 1)зуз ' < к/2; тогда дх = — — —.,—. Такиги образом, совзйг яп 1 1— — соз Г аз Г ягг1 йг Г Г1 Гсов 1) 1 згз / сова Г,/ сове Г взп à — з — 1) '(' ) зпо Г 1 Г1 1 — + С, Г = агсяп( — /. совз ' ~х~ Задачи и упражнения для самостоятельной работы Выделяя дифференциал новой переменной, нейдите следующие интег- рвлы 26.
~х з1ГГЬ хайх. 27. /ь1п(2т -~- 3) йх. 2Н. .1 З -~- хз 29. 1 . 30. 1 ', 31. 1 . 32. 1 ~7Г+зх)з' 1 Гхз:Т' 1 чà à — Ц' ЗЗ. / . 34. /хе ' йх. 35. / йх. 36. / 9 Г з/ВПХ 37. / чГТ-~-27хйх. 38. / ~/ — йх. 39. / япзхсовхдх. '/~/ з япх-~-совх 1внпхйх 1 йх 40./ з йх 41.1 42 Зззсзз зьх з 1-ьхз з 1 — хз 1 — х Гл. 1г. Неопределенный интеграл Используя различные подстановки, найдите следующие интегралы. 46. /хз(1 — бхз)'адх.
47. 1 . 48. )' соз~хтгз1пхдх. и'1 — ха ах Г ах Г зла~я нгх аа 49. / 50. ~~ 51. ~~ а" ~з -' а'". Т ъ'ТЧ-а / ~lх 1 М х гл - /уЕ:" (* = ...'.,) - 1 ..'.-. - 1 ..'-. 9 4. Метод интегрирования по частям Основные понятия и теоремы Теорема 3. Пусть ка промежутке Х функции и(х) и п(х) диффвренцируелы и существует ~п(х)и'(х) дл: (т. в. функция и(х)и''1х) имеет пврвообразкую на Х). Тогда ~и(х)п'(х) дх также существует на Х и ~и1х)п"1х) дх = и1х)п1х) — ~и(х)и'Я дх. Это равенство называется формулой интегрирования по частям.
Так как и'1х) дх = г1и, п'(х) дх = де, то эту формулу можно записат~ в виде иде = и(х'П(,х) — /иди. Метод интегриронания по частям удобно применять в следующих случаях. 1. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции 1пх, 1пфх), агсьйпх,. агссоалд агатах. Если в качестве и(х) выбрать эти функции, то подынтегральпое выражение оЙи нового интеграла обычно получается проще исходного. 2. Подынтегральная функция имеет вид Р(х)е'*, Р(х)з1пах, Р(х) совах, где РЯ многочлен относительно переменной х. Если в качестве и(х) выбрать Р(х), то в новом интеграле подынтегральная функпин снова принадлежит одному из указанных типов, но степень ланогочлена окажется учке на единицу меньше. Выбирая этот много- член снова в качестве и(х), понижаем степень еше на единицу и т.
д. 3. Подынтсгральная функция имеет вид е'л гйп Ьх, вал соа Ьх, а1п(1п х), соа(1п х) и т. п. После двукратного интегрирования по частям получается снова исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученноо равенство нвляется линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла. ~1. Метод интегрирования по частял Контрольные вопросы и задания 1. Напишите формулу интегрирования по частям неопределенного интеграла.
При кавих услониях эта формула справедлива? 2. Какие функции удобно интегрировать по частям? Примеры решения задач 1. 1 = / агстдхйх. Положим и = агс1дх, Пь = г!х. Тогда г?и = 4х = — т, и = .г, Следовательно, 1фх г хЫ. 1 Г41+хг) 1 = хагсеКх — / = хагс1Кт — — / ,/ 1+хг 2„/ 1+хг 1 = хагстцх — — 1п(1 + х ) + С. 2 2. 1 = ва хте. аг?х, Положим и = хз, г?ю = е 'г(х. Тогда г)и = 2х с(х, о = -е . Значит.
1 = — хге а+ 2/хе гг?х = — хге г + 2( — хе *+ /е аг(х) = = — хзе * — 2хе "— 2е г + С. 3. 1 = / яп(1пх) г?х. Положим и = яп1пх, г?и = г(х. Тогда г?и = 1 = — сов1пхг?х, и = х. Имеем 1 = х вш 1п х — / сов 1п х ч?х = х вш 1п х — (х сов 1п х + / яп 1п х г?х) . Мы получили линейное относительно 1 уравнение 1 = х(вш1пх — сов1пх) — 1, откуда находим 1 = х(вш1пх — сов1пх) + С. 2 Ка — / ~ (о = 1, 2, ...).
Положим и = ., г(о = дх 1 (х -Ьа)о (хг + аг)а ' Тогда -/' / — /* (/ (хг ф аг)а 1 1(хг ф аг)о/ (хг + аг)а 1 (хг Ь аг)аь~ х ~ /' г?х г /' ггх +2о~/ — а / (хг ф аг)" ~1 (т'+ аг)а 1 (хг -~- аг)аь'1 + 2о (Ка — а~Качо), откуда 1 х 2о — 1 К„г= —, + К. 2оаг (хз жал)о 2оаг Гл. 1г. Неапределеннь~й ин|певрал Мы получили рекуррентную формулу, с помощью которой К тг вырал|ается через К . При а = 1 интеграл К есть "почти" табличный интеграл: К| = / — т —.; — — — вгстп -' + С. |1х 1 х х -|-п е е Полаган в рекуррентной формуле а = 1 и зная К|, найдем Кг.
Полагая а = 2 и знан Кг, найдем Ка и т, д. 3 а м е ч а н и е. С помощью ме годов замены переменной и интегрирования по частям получа|отся следующие часта употребляемые формулы. Лх 1 х 1. /, = — вгс|8 — -'; С 1а ~ О). ,/ аг+лг а а 3. / ™ =х-!п1агххг(Ч-С. ,| а|ххг 2 г|х . х 4. / = агсв1в — + С (а > О, 1х~ < а). г г'т г и 5. / = 1в ~х ч- ъгх' Ь аг( ч- С.
|гхттп 7. /~(а~ — хгох = — *~/а'-' — хг Ч- ~' атее|в*в Ч- С Га > О, 1х! < а). 2 2 а 8. / чгхг Гав |1х = — * |7хв 4 аг х и 1и 1х+ чгхтг х пг) + С. 2 2 Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найдите следующие интегралы. 58. / 1пх|1х. 59. /чгх1п~хпгх. 60. /х~е ' г1х. гагсйпх 61. /хгв1в2хг1х. 62. / аггв1вх|1х. 63. / ',, |1х. 64. /в1вх1п(|йх)|1х.
65. /х(агслйх) |1х. 66. / Йх. 67. /е*чгег" Ч-1|1х. Тч- хт 68. / совйвх) г1х. 69. /е'*'в|в бх|1х. 70. /ег"' в1вг х|1х. 3 5. Интегрирование рациональных функций Основные понятия и теоремы 1. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Рассмотрим рациональную фупкпию (или рациональную дробь) Р,(х)Яп,(х). Здесь Рп(х) и Я,„(х) многочлены степеней и и т относительно переменной х. уй. Интегрирование рациональных функций Если п > та т. е.
дробь неправильная, то ее можно представить в виде Хаба,(х) = (х — а) ...(х — Ь) (х +рх+ у) '...(х +гх+ з), где аз...,Ь вещественные норнщ хз+рх+д,...,хе+ гх+в -- квадратные трехчлены, не разложимые на вещестоенные множители. Тогда Рйз) Аа Аа 1 А1 + „ , + ... + + ... 7),и (х) (х — а) и (х — а) а ' х — а 9 — 1 '" з Вд Вв, В, ЛХтх -~- Ж; + ... (х — Ь)В (х — Ь)з ' х — Ь (хз -~-рх+ у)а ...Ф ЛХ1х+ г "Д Хдбх -~- Хб + Хь1х+ 71 (ц +...+ з хз+рх+у '" (хг Ьгхжз)б '" ха+их 4.з' где Ан В,, ЛХо гзв Кв Ха .
вещественные числа. Дроби, входящие в правую часть (Ц, называются простейшими, а само равенство (1) называется разложением прав льной рациональной дроби Ра(х)/ь) (х) на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами. 2. Интегрнруемость простейших дробей в элементарных функциях.
Каждая из простейших дробей интегрируется в элементарных функциях: 1) 71 дх = .4 1п ~х — а~ + С; г А В В 1 3) / ь дх= — 1п(х +рх+д)+ Г ЛХх+Х ЛХ г з хз+рх+д 2 277 — ЛХр х + р/2 + агсгй + С; 2у/у — рз/4 у/у — рз/4 4 Х Л Х + д д Л Х ,/ (хз Ф рх Ф д)а 2(1 — а) (бз -~-ол)'" 1 ( 2 / (о > 1), где дб 2 р -=У ..- 4 г=х+Р-, 2' 4 В.Ф. Бутузав и лр. РДх) Вь(х) = Р„„,(х) + ' ' (И < т), или, как говорят, выделить из нее целую часть Р„(х). В результате интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию правильной дроби Вь(х)Ят(х).
Теорема 4. Пусть Ри(х)/Х/и(х) прав льная рациональная дробь (и, < т), а разложение ьб„(х) на произведение неприводимых вещественных лгножителей илбеет вид Гл. 1'. Невиределенный интеерал Интеграл К вычисляется по рекуррентной формуле (см. 3 4). 3. Практические приемы разложения правильной дроби на сумму простейших дробей. 1'. Метод неопределенных коэффициентов. Разберем этот метод на следующем примере. Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей согласно тео(х+ Ц(2х — Ц(х + Ц реме 4 имеет вид х .4 В Сх+Р (х+ Ц(2х — Ц(хе+ Ц х+ 1 2х — 1 хе+1 + Приводя к общему знаменателю и приравнивал числители получив- шихся дробей, приходим к равенству х = А(2х — Ц(ха+ Ц -Ь В(х -Ь Ц(х~ + Ц + + Ст(х+ Ц(2х — Ц+ Р(х+ Ц(2х — Ц, (2) Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степеннх х.
Приранниван коэффициенты, .получаем систему уравнений длн определения А, В, СиР: при хв — А+ — Р = О; при х' 2А+ — С+ Р = 1,: при хз — А+В+ С+ 2Р = О; при х.'э 2А+ В+ 2С = О. Решив эту систему, найдем коэффициенты А, В, С, Р. Такой общий подход даже в примере с четырьмя неопределенными коэффициентами приводит к несыта громоздкой системе. Вместе с тем, используя тождество (2), можно найти искомые коэффициенты проще: а) полагая в (2) х = —, получаем — =  — —, откуда В = —; 1 1 3 5, 4 2' " 2 2 4' 15' б) полагая н (2) х = — 1, получаем — 1 = А ( — 3) 2, откуда А = —; 1 6' в) полагая в (2) х = О, получаем О = —.4+  — Р, откуда Р = = — А= 10' г) сравнивая коэффициенты при хз, получаем О = 2А-~- В+ 2С, откуда С = — — (2А+ В) = — — ( — + — ) = — —.
1 2 2(,3 15) 10 2'. Метод вычеркивания. Отметим полезный прием вычисления некоторых из неопределенных коэффициентон. Пусть (а) ~О Ят(х) (т. — а)'"Ээ(х) т. е. вещественное число а — корень кратности о многочлена (д (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
