В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 21
Текст из файла (страница 21)
г йх г хйх 11 — х4)Я ' хт .) 1хв — 1)42ха — х — 11 102. (хт Ойх . 109. / . ф 1хв -)- х ж Ц42хт+ х ж 1' У х ж 52хт -(- т, -(-1' Гл. 1'. Неопределенной ингаегр л 106 104. °,т тг Р (лг — 1) йх (хг Е Ц '7х4 4 Ц 105. г (! -~- „lг:(1 Н л:))г (хг -~- 1) дх (*г — 1) 7 ' Н- 1)' 2 7. Интегрирование тригонометрических функций Примеры решения задач 1. 1 = / соя'хт)х. Подынтегральная функция относится к случаю б). Поэтому положим 1 = вшх.
Тогда Ф = совхбх, сов~ а = = (1 — вш' х)' = (1 — Ьз)а и 1= /(1 — 1')'д1 =1 — -1'+-1'+С, 3 5 где 1 = вшх. 2. 1 = / вш5хсовхг(х. В данном случае проще вычислить интеграл, не прибегая к подстановкам и представив подыптегральную функцию в виде — (яп4х+ вшбх). Тогда 1 2 1 г 1 1 1 = г дт (яп 4х -~- яп бх) т4х = — — сов 4х — —, сов бх -ь С. 2/ 6 12 3.
1 = / .. Здесь можно сделать универсальную поддх асов х+ Ьвшх становку 1 = тя — '. Тогда х = 2агс1д1, е(х = — т, япх = т, х 2Ж 21 2' 1Ч-1 ' 14-1 1 — 1 совх = — т и интеграл 1 сводится к интегралу от рациональной 1 Ч-г функции. Однако проще сначала преобразовать подынтегральную функцию: асовх-ЬЬяпх нгаг+Ьгяп(хо чг) Основные рационализирующие подстановки Интеграл вида /Н(япх,сов х) т(х рационализируетсн с помощью универсальной тригонометрической подстановки 1 = Ьб(х/2).
На практике она приводит часто к громоздким выкладкам. В ряде случаев более удобны другие подстановки: а) 1 = сов х, если Л( — вш х, сов х) = — 11(вш х, сов х); б) 4 = япх, если Л(япх, — совх) = — Л(япх,совх); в) 1 = 1д х, если лт( — яп х, — соч х) = Л(вш х, сов т) . 27. Интегрирееание тригонометрических функций 107 ГДЕ а1П Р =,, СОВ иг =,, И ПОЛОжИтЬ ДаЛЕЕ а,, б гог 1 бг гог Ч бг' = 1д .
ТогДа чих =,, вгп1х+ ф = — т и, слеДовательно, х+х 2Ж 21 2 1+1' ' 1+1 ъ'аг Ч-бг.1 1 1:=га -"+х усач + бе 2 Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найдите следующие интегралы. г;пз 108. ~ыпгхИх. 109. 7' а1пгхсоачхдх. 110. I — с7х. х соеч х о . "к'*г . .1ч.' ° ы ° Вьг. п.1 "ь-'з.г..
1пг *чг* ~ И их / 1-1.г1пгх / а1пгх-~-соках ГЛАВА Ъ'1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 3 1. Теоремы об ограниченности непрерывных функций Основные понятия и теоремы 1. Определение ограниченной функции. Пусть функция у = = 1(х) определена на множестве Х. Определение. Функпия у = ((х) называется ограниченной сверху (сниэу) на множестве Х, если существует число М(т) такое, что Чх Е Х выполняется неравенство 1(х) < Лт (г (х) > т).
Число М(т) называется верхней (нижней) гранью функции на множестве Х. Функция у = 1(х) называется ограниченной на множестве Х (или ограниченной с обеих сторон), если она ограничена сверху и снизу на этом множестве. 2. Теоремы об ограниченности непрерывных функций. Т е о р е м а 1 (о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке). Если функция у = 1(х) непрерывна в тате хо, то существует окрестность точки хо, в которой эта функция ограничена. Т е о р е м а 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция у = 1(х) непрерывна в точке хо и г(хо) ~ О, то существует окрестность точки хо, в которой ((х) илчеет тот зче знак„что и з(хо) Теорегиа 3 (первая теорема Вейерштрасса).
Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте. 3. Точные грани функции. О яре дел е н и е. Число ЛХ называется точкой верхней гранью функции у = 1(х) на множестве Х, если: 1') Ух е Х выполняется неравенство 1(х) < М; 2') чМ' < М Вх' Е Х такое, что 1(х') > Л1'. Замечание. Условие 1') означает, что число М является одной из верхних граней функции у = 1(х) на множестве Х. Условие 2') означает, что М наименьшая из верхних граней функции у = 1(х) ва множестве Х, т. е. никакое число М~, меньшее М, не является верхней гранью.
Точная верхняя грань функции у = 1(х) на множестве Х обозначается так: зцр 1(х). Если функция у = 1(х) не является ограниченной х сверху на множестве Х, то пишут зцр 1(х) = -~-оо. Х бд Ограниченность непрерывных функций 109 Аналогична определяется точная нижняя грань функдии: ш1 7" (х). х Разность епр ? (х) — шг ?(х) называется колебанием функции у = ? (х) Х Х на множестве Х. Теорема 4 (вторая теорема Вейерщтрасса). Непрерывная на сегменте [а,б] функция 7(х) достигает на этом сегменте, своих точных граней, т.
е, Лх', хи 6 [а, 6) такие, что 7'(х') = ш1? (х), ? (хп) = (а,ь) рП) (в, ь) Если функция у = 7'(х) достигает на множестве Х своей точной верхней (нижней) грани, то она имеет на Х максимальное (минимальное) значение, причем шаху' (х) = энр ? (х) (соответственно 1пш ? (х) = х = шг?(х)), В противном случае функция ис имеет на мнажестне Х Х максимального (минимальнага) значения. Контрольные вопросы и задания 1.
Дайте определение ограниченной сверху (снизу) на множестве Х функции. 2. Используя правила построения отрицаний предложений с кнанторами, сформулируйте определение неограниченной сверху (снизу) на множестне Х функции. 3. Докажите, что определение ограниченной функции экаиаалентно следующему: функции у = г'(х) называется ограниченной на множестве Х, если сущестнует число Л ) О такое, что Чх 6 Х ныполняетсн нерааснстао [?(х)[ ( гй 4. Сформулируйте определение неограниченной на множестве Х функции с помощью отрицании определении, приведенного а задании 3. 5. Сформулируйте теорему о локальной ограниченности непрерыаной функции.
6. Докажите, что теорема о локальной ограниченности функции остается и силе, если условие непрсрыаности функции и точке хо заменить условием существования !пп ф(х). '-ь*ь 7. Сформулируйте теорему- об устойчивости знака непрерывной функции. 8. Известна, что ?(х) непрерывна э точке хв н ?(хв) = О. Можно лн утэерчкдать, что ф(х): а) имеет опрелеленный знак а некоторой окрестности точки хв (кроме самой точки хв); б) не имеет определенного знака пи а какой окрестности точки хв? 9. Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса. 10. Справедливо ли утверждение: непрерывная на интервале функция ограничена на этом интервале'? 11. Может ли неограанченная на множестве Х функция быть непрерывной на этом множестве, если: а) Х вЂ” — сегмент; б) Х вЂ”. интервал'? 12.
Дайте определение точной нерхней и точной нижней грани функции. В каном случае полагают 1пГ?(х) = — сю? х шо г л. 17. Непрерывные и дифференцируемые функции 13. Справедливо лн утверждение: ограниченная сверху (сннзу) на множестве Х функция имеет на этом множестве точную верхнюю (нижнюю) грань? 14. Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса. 15. Справедливо ли утверждение: непрерывная и ограниченнан на интервале функция достигает на этом интервале своих точных граней? 16.
Справедливо лн утвержденна: если функция не достигает на сегменте [а, Ь] своей точной нерхней (нли нижней) грани, то она разрывна на этом сегменте? 17. Справедливо лн утверждение: разрынная на сегменте [а, Ь] функция не достигает на атом сегменте своих точных граней? 18. Справедливы лн следующие утнерждення: в) ограниченная аа сегменте [а,Ь] функция у = 1(х) имеет гвахт(х) и шш) (х): ы,е1 б) непрерывная на сегменте [а, Ь] функция имеет нгах т" (х) н шш т'(х)? 1 ы 19. Справедливы лн утверждения задания 18, если сегмент [а, Ь] заменить интервалом (а, Ь)? Примеры решения задач 1 1.
Доказать, что функция у =, ограничена на числовой пряллой ( — сс, +ос). Л Так как хз > О, то 1+ хз > 1 и, следовательно, Чх Е ( — сс, +со) выполняются неравснстна (1) 1 Отсюда следует, что функция у = ограничена на ( — сс, +со). А 1жхг 2. Найти точные грани функции из примера 1 и установить, имеет ли она максимальное и минимальное значении. Л Из неравенств (1) следует, что числа гв = О и ЛХ = 1 соотнет- 1 ственно ниягнян и верхняя грань функции у = . Докажем, что 1фх' эти числа и являются точными гранями данной функции.
Так как г 1 ,, -э О при х — г гю, то Чт' > О 3х' такое, что, < гп'. Та- 1+ хе 'г ким образом, никакое положитедьное число т' не является нижней гранью функции, а значит, число гн = О наибольшая из нижних 1 граней, т. е. шЕ е = О. ( — ж,г-ж) 1 1- т Нри х = О значение функции равно 1. Следовательно, никакое число, меньшее 1, не является верхней гранью функции. Иначе говоря, наименьшая верхняя грань функции равна 1. Итак, зцр 1(х) = 1. ( — ае,-Е ее) Заметим теперь, что, в отличие от значения 1, которое функция принимает при х = О, значение О пс принимается фушецисй пи при 1 каком х (чгх е > 0).
ПозтомУ даннан фУнкциЯ имеет на числовой 1+ хе 1 прямой ( — со, +ос) максимальное значение: ниах г = 1, ио ие ( — оо,-ьоо) 1 -~- х имеет минимального значения. А 1 2 3 4 5 6 7 8 б 1. Ограниченность непрерывных функций Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы Докажите ограниченность функции: 1 -~- х а) у =, на полупрямой [О,-1-со); 1-~- хз 2х б) у =, на числовой прямой ( — оо, +ос); Ч хг в) д = хгйи — на ( — оо, +со); г) у = агс182' на ( — со,-1-ос); д) у = хе ' на (О, +со). Ограничены ли следующие функции: а) у=хе на [ — 5,10); б) у=хе на [ — 5,-1-со); в) у = х соз(1/х) на ( — ж, -1-ос); (2ОМ '1и и хф1, г) у= 1' ' ' на(0,2); ~ 0 при х=1 д) у=2ОЫ '1 на(О,Ц? Приведите пример функции, которая на некотором множестве Х: а) ограничена сверху, но не ограничена снизу; б) ограничена снизу, но не ограничена сверху; в) не ограничена снизу и сверху, Пусть функция ф(х) определена на мнозкестве Х и пусть ч?х б Х су- ществует окрестность, в которой Г(х) ограничена.
Следует ли отсюда ограниченность ф(х) аа Л, если: а) Х интервал; б) Л сегмент? Приведите пример функции ф(:с), которая непрерывна и равна нулю в некоторой точке хо и: а) имеет определенный знак в некоторой окрестности точки хо (кроме самой точки хо); б) не сохраняет знака ии в какой окрестности точки хо. Приведите пример функции, непрерывной на интервале, но не ограни- ченной иа нем: а) сверху; б) снизу; в) с обеих сторон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
