В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ь Рассмотрим функцию Ви(х) = г(х) — д(х) на произвольном сегменте [хе,х) (х > хе). По формуле Лагранжа р(х) — р(хе) = р'(Е)(х — хе), (3) 120 где 0 -- некоторая точка из иитернала (хо,х). Так как 1р(хо) = Х(хо) д(хо) = О, 1р'(~) = у (~) — д (~) > О, х — то > О, то из равенства (3) получаем 1р(х) > О, т. е. 2(х) — д(х) > О при х > хо. Таким образом, у(х) > д(х) при х > хо.
А Зб. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. Гл. !7. Непрерывные и диффере1щируемые функции Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найдите промежутки монотонности функций: а) ф(х) = ахг ж Ьх -!- с (о > 0); б) Г"(х) = х -Ь Зхг -!- Зхт 2х в) ф(х) =; г) ф(х) = х+эшх; д) ф(х) = х+ 2вшх; 21 е) ф(х) = а!п(я?х)! ж) ?(х) = х22; з) ф(х) = х" е (и > О, х 3 0). При каких значениях а функция ф(х) = ах + ян х возрастает (убывает) на числовой прямой'? Докажите, что если функция возрастает в каждой точке иатернала, то она возрастает на атом интервале. Останется ли верным это утверждение> если интервал заменить произвольным множеством'? Функции ф(х) и д(х) удовлетворяют на [а, Ь] условиям теоремы Ролла и, кроме того, ф(х) ф 0 и д(х) ф 0 на [а, Ь].
Докажите, что существуют точки с1, сг Е (а,Ь) такие, что (с1) у (сг) ? (с2) в (с2) ?(С1) В(С1) 1 (Сг) У(С2) Пусть функция ф(х) удовлетворяет условиям: 1) ф(х) имеет непрерывную (и — 1)-ю производную на [хе, х„]; 2) ф(х) имеет и-ю производную в (хв,х„); 3) ф(хе) = ф(х1) = ... = Т(х„), где хо < х1 « ... х„. ДОКажИтЕ, ЧтО СущЕСтВуЕт тОЧКа б Е (ХЕ,Хн) таКая, Чте 10'~(С) =О. Используя теорему Ролла, докажите, что если все корни многочлена Р„(х) = аех" ж ага" '+ ...
-'; оп (ао ф 0) с вещественными коэффициентами аг (Ь = О, 1, ..., и) вещественны, то его производные Р„'(х), Р„''(х), ..., Р1" (х) также имеют лишь вещественные корни. Докагките, что все корни многочлена Лежандра (х) — ((* вещественны и лежат в интервале ( — 1,1). Найдите точку с в формуле конечных приращений (Ц для функции 0,5(З вЂ” хг) при 0 ( х ( 1, 121х при 1 < х < фсс на сегменте [О, 2].
Используя формулу Лагранжа, докагките справедливость неравенств: а) ] яп х — яв у] ( ]х — у] Чх, у: б) ] агс18 х — агсгб у] ( ]х — у] Чх, у; в) <!и — <' при 0<у<х. Х у у 24. Правило Лопитиля 121 36. Докажите, чта если производная функции во всех точках промежутка равна нулю, то функция является постоянной на этом промежутке. Используя это утверждение, докажите тождества: 2х а) 2агсебх-~-агсойп = л при х > 1; 1. хз б) агсаб -Ь вЂ” агссйпх = — при — 1 < х < 1; хГгжх 2 1 — х л в) агссоэ — 2 аггсдх = О при х > О. г т ха 37.
Докажите справедливость неравенств а) е*>1-гх при х~О; , 3 б) х — — ', < 1п(1+х) < х при х > О; 2 в) 1в(1 -~- х) > при х > О; 1 -~- х з г) х — — ' < вшх < х при х > О; 3! хз 7Г д) х ф — < ьбх при О < х < —; 3 2 е) Ьх' — ихв<6 — а при х>1, 0<о<Ь. Проиллюстрируйте эти неравенства геометрически. 38. Пусть функции 1"(х) и д(х) определены и п. раз дифференцируемы при х > ха, причем )Ль1(ха) = ды1(ха) (Ь = О, 1, ...,п — 1); ~Ы1(х) > дф1(х) при х > ха.
Докажите, что Г(х) > д(х) при х > ха. 39. Докааките утверждении: а) если функция имеет на интервале ограниченную производную, то и сама функция ограничена па этом интервале; б) если функция дифференцируема, но не ограничена на интервале, то се производная также не ограничена на этом интервале.
Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверна. 40. Пусть функции г(х), д(х) и Ь(х) непрерывны на [о,, Ь] и дифференцируемы в (и,Ь), а Г(х) = 1(о) д(и) 6(о) У(6),д(6) Ь(6) Докажите, что существует точка с Е (о, 6) такая, что Е'(с) = О. Используя это утверждение, выведите формулы Лагранжа и Коши. 41. Справедлива ли формула Коши для функций 1(х) = хл и д(х) = хз на сегменте [ — 1, Цд Какое условие теоремы Коши не выполнено для этих функций? 42.
Пусть функция 1(х) удовлетворяет условиям: 1) Г"(х) непрерывна на [о,,ь); 2) 1(х) дифференцируема в (а,ь); 3) г'(х) не является линейной функцией. Докажите, что существует точка с Е (и, 6) такая, что [1(6)— — 1(а)[ < [1~(с)[ [Ь вЂ” а[. 43. Пусть функция 1'(х) удовлетворяет условиям: 1) 1" (х) дважды дифферевцируема на [и,Ь): 2) 1'(о) = Г"'(6) = О. Докажите, что существует точка с Е (а, 6) такая, что [1"(6) — 1(а)[ < (1/4)(Ь вЂ” и)а[то(с)[. 44. За время Г с точка прошла по прямой расстояние,э м.
В начальный и конечный моменты времени скорость точки равна нулю. Докажгв те, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения точки была не меньше 4в/1~ м/с . з 122 Гл. 1'Е Непрерывные и дифференцируемые функции 3 4. Правило Лопиталп Основные понятия и теоремы Теорема 13. Пусть вьтолнены условия: 1') функции 1(х) и д(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (кромв, быть может, самой точки а); 2') 1пп г'(х) = 1ш1 д(х) = О; х — >а а — аа 3') у'(х) ф О в указанной окрестности точки а (кромв, быть может, самой точки а); 4') существует 1~п —, У'(х) хга д'(х) 1 Тогда существуегп !пп, и он равен 1пп х — га д(.'с) хха д'(х) 3 а м е ч а н и е.
Если все условия теоремы 13 выполнены в правой (левой) полуокрестности точки а, то теорема верна в отношении правого (левого) предела функции Д(х)/д(х) в точке а. Теорема 14. Пусть вьтолнены условия; 1') функции Д(х) и д(х) определены и дифференцируемы на полу- прямой (а, +ос); 2') 11п1 1'(х) = 1пп д(х) = О; 3') д'(х) ~ О Чх с (а, +ос); 4') существует 1пп 1 (х) * †а д'(х) Т( ) 1 (х) Тогда существует !шг О, и он равен 11ш д(х) ' *-а .- д'(х) Замечание.
Если условие 4*) в теоремах 13 и 14 заменить условием У'(х) , . У(х) !пп †, = ос (а -. число или символ +со), то 1ип — = ж. д'(х) ,- . д(х) Теоремы 13 и 14 позволяют раскрывать неопределенности типа О/О. Теорема 15. Если выполнены условия 1'), 3'), 4') теорель 13 и 14, а вместо условия 2") выполнено условие 1!ш 1(х) = 1пп д(х) = сю х-аа а:-аа (а число и и с мвол +ос), то существует 1пп —, и он равен Т(х) У'(х) х — аа д(х) ' 1пп хаа д'(Х) Теорема 15 позволнет раскрывать неопределенности типа оо/оо. Она справедлива также в отношении односторонних пределов. Каждая из теорем 13 — 15 называется правилом Лопиталя.
Неопределенности других типов (О ж; оо — со; 1 ; О"; соо) можно свести к неопределенностям типа О/О или сс/оо и затем применять правило Лопиталя. 24. Правило Лопитоля 123 Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте правило Ловителя раскрытия неопределенности типа: а) О/О при х †! а; б) 0««0 при х †! +ж: в) сс/сс при х †« о; г) со,?ос при х — т Ч-ж.
2. Пусть выполнены условия 1« Р 3') теоремы 13 !или теоремы 14, или теоремы 15) и пусть не существует 1нп . Следует ли отсюда, что -«д'!х) 1!х) не существует !!и! ? -««д(х) х~ в!и(!/х) Рассмотрите примеры: а) 1пп .- о в!пт, т твшх . — + 2х -!- Ып х Примеры решения задач в % 21 Этот предел являетси неопределенностью типа О,?О. Условия 1') 3') теоремы 13 выполнены, а предел отношения производных 1вях — х)' . 1?сов х — 1 1!и«,, 1пп х — «о (хв)' *«о Зхв (2) также является неопределенностью типа О?!О.
Для предела (2) выполнены условия Г)--3') теоремы 13, а предел отношения производных !1«сових — 1)' . 2сов в ха!пх 1!ш,, = 1пп л — «о !Зхв)« - о бх (3) снова является неопределенностью типа О?«О. 1. Найти 1пп о вя«3х й Данный предел является неопределенностью типа О?«О. Проверим, ныполнимость условий теоремы 13: 1') функции «йпах и 1йдх определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = О! 2') 1ш! вшах = 1«ш тй!)х = О; х — «О л — «О 3') !«13,)х)' = , ~ О в окрестности точки х = О; совв ««вх 4о),.
«в1п ах) ° а сов ах а шп = 1!и! т. о (!ЗДх)«л — «о?)/(совт,9х) Д в!и ах а Следовательно, по теореме 13 1ш! = †. д т — «О !ДДх Д Иногда для раскрытия неопределенности приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз, как в следующем примере. 2. Найти 124 Гл. 17. Непрерывные и дифференцируемые функции Для раскрытия этой неопределенности также можно воспользоваться правилом Лопиталя, .поскольку для предела 13) условия 1')-3') теоремы 13 выполнены и предел отношения производных есть 12сов лхяпх)' . Осон 1хвгп х+2сов хх 1 1пп, = 1пп хао 16х) х — 10 б 3 Итак, в силу 12) — !4) искомый предел 11) равен 1/3.
А 3. Найти 1пп х*. х — 1 то г".г Данный предел является неопределенностью типа ОО. Представим хх в виде е'1пх и рассмотрим 1шг 1х1пх). Этот предел является нех — 1-1-0 1п х определенностью типа 0 оо. Записав х1пх в виде — ' приходим к !1/Х) !пх неопределенности типа оо/со. Нетрудно проверить, что для 1пп х — г-~-О 1/Х выполнены все условия теоремы 15 длн односторонних пределов !проверьте это самостоятельно). Применив правило Лопиталя, получим 1пп — ' = 11пг, = 1пп ! — х) = О. 1пх . 1/х х-гьо 1/х х-гч-Π— 1/хв х-1+О Отсюда следует, что !пп х = 1пп е™ = е = 1.
д х — 1-1-0 х — 1-1-0 Задачи и упражнения дпя самостовтепьной работы Найдите следующие пределы. 45. Опг — (а > 0). 46. 1пп — (а > О, о > Ц. — — х + пх янах 48 !. 1ях — х 40 !. Оьх — совх . -~О В!Пук -гО яПХ вЂ” Х х-го Хх ( гг1 . 1-!- 3'гях 50. йш (х — -) с!8 йх. 51. 1пп -г ГХ 1 2) -гх;;14 1 — 2СОВХХ 52. 1пп .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
