В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 25
Текст из файла (страница 25)
53. !пп . 54. !шг !а > О, 13 > 0). -го х -гв агссовх *-г+о 1п!яппх) 55. 1шг ' ' . 56. 1еп (гг > О). хл *-г -1-О Х 57. 1пп . 58. 1пп(2 — х)'в! 'гхг. 59. !пп (18х) "вв'. х — и * — г1 -г 4 60. !шг хл'. 61. 1пп ( ) . 62. 1пп ( ~™) 11 Х 1 х 63. 1шг ! — —, ). 64. 1пп ! — — ). 65. !гш )ссйх — -). -го Х Ех — 1 1 !пх х — 1 О 'г х) (1 ' х)н* — в х — и 66.
1пп . 67. !пп . 68. Пш 1вхссовх)' О х — х — а * — гг — О зб. Формула Тейлора 125 2 5. Формула Тейлора Основные понятия и теоремы 1. Многочлен Тейлора. Пусть функция 1(х) и раз дифференцируема в точке хо. Ыногочлеи называется многочленом Тейлора для функции 1(х) (с центром в точ- ке хо). Он обладает следующим свойством: Р(ь((хо) = ((ь((хо) (й = 0,1, ..., и). Роль многочлена Тейлора раскрывает следуюшая теорема. Теорема 16.
Если функция Т(х) определена в некоторой окрестности точки хо и и раз дифференцируема в точке хо, то Т(х) = Р„(т) + П„е((т), где Л„ 1(х) = о((х — хо)п) Формула (1) называется формулой Тейлора для функции Д(х) с цЕНтрОМ В ТОЧКЕ ХО И ОотатОЧНЫМ ЧЛЕНОМ Лпп((Х) В фОрМЕ ПЕаНО. 2. Различные формы остаточного члена. Теорема 17. Пусть функция Т'(х) определена и и+ 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Пусть х произвольное значение аргумента из этой окрестности, р > О -- произвольное число. Тогда существует точка с с (хо, х) такая, что Кп.ь((х) = ~(х) — Р,(г) = ', ( ) ~(™®. (2) Вырал(ение (2) называется общей формой остаточного члена.
Наиболее важны следующие частные случаи общей формы остаточного члена: а) форма Лагранхоа (р = п + 1) )пь1 Н, ь~(х) = ' ' ), 1(п " (хо + У(х, — хоН (О < У < 1);. (и+ 1)! б) форма Ло(аи (р = 1) пь11 уп Н,-ь1(х) = ' , ~("~" (хо + у(х — хо)) (О < О < Ц. 3. Основные разложения. Если хо = О, то формулу Тейлора принято называть формулой Маклорена. Важную роль играют сле- 126 Гл. $'Л Непрерывные и дифференцируемые функции дующие разложения по формуле Маклорена. и 1.
ел = ~ —, +??пч,(х). л=о зл — ! 11. в?пх = ~2~ ( — 1) ~2у г)~ + л?зг~.з(х). х 111. сов х = ~ ~( — 1) — + Н>н.нз(х). (2к)! 1Ъ". 1п(1+х) = ~( — 1)л ' — +Н„нг(х). д л=з 1? (1+ .)а 1+~ Мо )" (о ) хл+лг? л=1 Контрольные вопросы и задания 1. Что такое многочлен Тейлора ллн функции 1(х) с центром в точке ха? Каким свойством он обладает? 2.
Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом: а) в форме Пеано; б) в обшей форме. Как отличаются условия этих теорем? Условин какой теоремы следуют из условий другой? 3. Выведите из общей формы остаточного члена формы Лагранжа и Коши.
Получите форму Пеано остаточного члена из формы Лагранжа. 4. Напишите формулу Маклорена ллл функции Д~х) и остаточные члены этой формулы в формах Пеано, Лагранжа и Коши. 5. Напишите основпыс разложения и остаточные члены этих разложений в формах Пеано, Лагранжа и Коши. Примеры решения задач 1. Разложить функцию ЗКх по формуле Маклорена цо члена с .гз включительно. ?з Найдем произвоцные функции Д1х) = ЗКх до третьего порндка включительно: ф'(х) =,, = гон -' тд сони х ~"(х) = 2соа зхзшх; ?'и?и) = 6 соа л х зшз х + 2 соз х.
Отсюда получаем Д~О) = О, ~'(О) = 1,? в(О) = О,?и'(О) = 2. По формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеем з 1Кх = х+ — + о(х' ). 3 Заметим, что вычисление ?гч(х) дает ?гО(О) = О. Поэтому остаточный член можно записать в виде о(х~). А 45. Формула Тейлора 127 2. Разложить функцию 7(х) =!псозх по формуле Маклорена до члена с х4 включительно. 4з здесь нет надобности вычислять производные Дх) до четвертого порядка, а можно воспользоваться основными разложениями П1 и 1У.
Пользуясь разложением 111, получим 2 4 1п (сов х) = 1и (1 — — + — + о(х4)) = 1п(1+ 1), 2 24 где 1 = — — + — + о(х ). х х 2 24 Теперь воспользуемся основным разложением 12': 2 х 2 4 2 +о(( — — + — + о(х )) ) = 3. Оценить абсолютную погрешность приближенной формулы 2 хп е' 1+ х+ —, + ... + —, = Р„(х) (3) при 0 < х < 1. 22 Для получения оценки абсолютной погрешности нужно оценить остаточный член Л„.Ы(х) = е — Р„(х). Остаточный член Л„4.1(х) 4 в форме лагранжа для функции ее имеет вид В44ы(х) = е 2 (и+ Ц! (О < д < 1).
Отсюда получаса| ~Н„ы(х)~ <, при 0 < х < 1. (и '- Ц! (4) Это и есть искоман оценка абсолютной погрешности приближенной формулы (3) при 0 < х < 1. А 4. С помощью оценки (4) решить следующукз задачу: сколько членов нужно взять в формуле (3) при х = 1, чтобы вычислить число е с точностью 10 е'! 22 Нетрудно подсчитать, что 10! > 3 10 . Поэтому — < 6 е 3 10! 3 104 = 10 ". Таким образом, достаточно в формуле (3) при х = 1 положить и = 9, чтобы получить число е с точностью 10 е. Я 5. Используя основные разложения, найти 18х Ч- 221пх — Зх 11ш 2-40 х4 12 1псозх = 1п(1+1) = 1 — — + о(1 ) 2 х х 4 1/ = — — + — +о(х ) — — ( 2 24 2 + — +о(х )) + х' х4 + — — — +о(х ) = 4 24 8 х х = — — — — + о(х ). А 2 12 128 Гл.
х7. Непрерывные и дифференцируемые фунКции 2з Имеем тах ф 2е|пх — Зх 1пп х — хе х~ х 4 х х + — + о(х~) + 2 ( х — — + о(х~)) — Зх 1пп З(,б.ох) — 1пп — О. А х — хз х~ х — хз х~ 6. Найти числа а и 6 такие, что тз Используя формулу )т|аклореца длн (1+х) при о = 1/3, получаем Чтобы предел этой функции при т, — ~ оо был равен 3, должны быть выполнены равенства 1+ ь 0 Зо — 1+~ 9 Отсюда находим; б = — 1, а = 9.
А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 69. Разлолтите функцию ф(х) по формуле Маклорена до члена указанного порядка еключитсльпо: . 2 а) ф(х) = е * до члена с х"; б) ф(х) = езх ' до члена с х'; в) ф(х) = шпсбпх до члена с хз; г) ф(х) = созе|ах до члена с х~: д) ф(х) = 1п — ' до члена с х; е) ф(х) = йрз|пхе до члена с х'; ж) ф(х) = бго" + х до члена с х (и ) 0); >л)=Л: тт 70. Напишите разложение по формуле Тейлора с центром а точке х = 1 функции: а) ф(х) = х; б) ф(х) = утх до члена с (х — Ц'; в) ф(х) = з|п(ях/2) до члена с (х — 1)~.
95. Формула Тейлора 129 71. Оцените абсолютную погрешность приближенных формул; х' 1 х' а) в!их х — — при ф ( —; б) вях х+ — при (х! ( 0,1; х хз в) зЛ + х — 1 -1- — — — при 0 ( х ( 1. 72. С помощью формулы Тейлора найдите приближенвые значения: а) ~~/9 с точвостыо до 10 '; б) 4'90 с точностью до 10 л; в) яп18' с точностью до 10; г) яп1' с точностью до 10 д) 1п1,1 с точностью до 10 '; е) ео*з с точностью до 10 ж) сов 6' с точностью до 10 73.
Используя основные разложения, найдите пределы: сов х — е вш 2х — 2 16 х а) !пп; б) !шг зо х" ' зо !п(1 ' хз) в) 1!ш ьзе" (~Ге* -!- 1 — тее — 1 ); г) !цп хфз(~/х -1- 1 + ьзх — 1 — 2ьех ); е -!-е "" — 2 . (1 1 д) 1пп,; е) 1пп ! —— -зо 2хз . -зо гх япх) 1 (1 ) . япяп:з — хъТ вЂ” х~ з ж !пп — — — свбт; з) 1пп *-во х х *за хз 74. Найдите числа а и 6 такие, что: а) йш (~/х~ + 2х -!- /хз — х ж ах -!- 6) = 2; яа ах — 16 ох, .
е" — зГТ -1- ох б 1пп 3 о хз о хз 1 3!пх хФ.О 75. Найдите Г'(О) и Г""(О), если 1(х) = ~ х * = о. 76. Докажите, что: 1(х -~- Лх) — 21(х) -!- 1(х — Ьх) а) 1пп ', — 1о(х) (если уо(х) существует); а -зо (2хх)з б) 1!ш 1(х + Ззтх) — ЗД(х т 2Ьх) + ЗД(х + зтз) — 1(х) — Т о(х) (если а*-за (д )з 1'о(х) существует). 5 В.Ф. Бутузов и др. ГЛАВА Ъ'П ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ л 1.
Построение графиков явных функций Основные понятия и теоремы 1. Асимцтоты графика функции. Функцию, заданную соотношением у = 1(х), х Е Р®, принято называть явной функцией. Определение. Прямая х = с называется вертикальной асимптотой графика функции у = г'(х), если хотя бы один из пределов 1пп г" (х) или 1йп г" (х) равен +со или — со. ь — ~ь — О л — ~с~-о О предел ение. Прямая у = йх+ о называется наклонной аснмптотой графика функции у = 1(х) при х ь +ос, если зта функция представима в виде 1(х) = йх+ б+ о(х), где о(х) ь О при х ь +со. Теорема 1.
Для того чтобы прямая у = йх + б была наклонной асимптотой графика функции у = 1(х) при х — ь +со, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы 1пп — = Й, 1цп [Т(х) — Йх) = 6. йх) л — ~-~-ьэ х л — ~-~-ж Аналогично вводится понятие наклонной асимптоты графика функпии при х -ь -оо. 2. Четные, нечетные, периодические функции. О и р е д е л е н и е. Функция у = ((х) называется четной, если Чх е ~ 0(1)' У(*) =У( — ). Определение. Функция у = г"(х) называетсн нечетной, если 'гх Е тл(1): 1(х) = — 1( — х).
Определение. Функция д = г(х) называется периодической, если существует число Т у'. -О, называемое периодом функции у = ((х), такое, что тх Е тл(1): 1(х) = 1(х + Т) = 1(х — Т). Обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует. 3. Локальный экстремум функции. Пусть функция у = 1(х) определена в некоторой окрестности точки хо. О и редел ение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
