В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 23
Текст из файла (страница 23)
116 Гл. 1Е Непрерывные и дифференцируемые функции 25. Модулем непрерывности функции 1(х) на промежутке (а,б) (а и Ь могут быть соответственно равны — ос н +ж) называетсн следующая функция аргумента б (б > 0): 1(б) = ' ° ~Т(х.) — Т(хг)( ьггеоьм 1 ч — И<з (ссли )Д(хг) — )(хгЯ является неограниченной функцией при Цхг— — хг! < б; хг,хг в (а,б)), то пишут ит(б) = -кос). а) Докажите, что длн равномерной непрерывности функции 1(х) на промежутке (о,б) необходимо и достаточно, чтобы 1ип ыт(б) = О.
з-~е б) Приведите пригнер функции 1(х), х 6 (а, Ь)г для которой ыт(б) = +со. 26. Пусть функция г(х) непрерывна на множестве Х, т. е. непрерывна в каждой точке х 6 Х. Тогда гггг > 0 и Чх 6 Х Зб = б(г, х) > 0 такое, что из неравенства )х — х! < б(гг х) (х 6 Х) следует неравенство )Т(х )— — 1(х)) < е. )1окажите, что для равномерной непрерывности функции ф(х) ца множестве Х необходимо и достаточно, чтобы существовала функция б(х, у) такая, что шрб(г, х) > 0 (Чг > 0). х 2 3. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Основные понятия и теоремы Т.
Возрастание функции в точке. Определение. Говорят, что функция 7(х) возрастает в точке хо, если сУществУет такаЯ окРестность точки хо, в котоРой 7"(х) > > 1(хо) при х > хо: У(х) < 1(хо) при:с < хо. Аналогично определяется убынание функции в точке. Т е о р е м а 7 (достаточное условие возрастания функции в точке). Если функция з'(х) дифференпируема в точке хо и з"'(хо) > 0 (з"'(хо) < < 0), то 7(х) возрастает (убывает) е точке хо. 2.
Теоремы о возрвствнии и убывании функции нв промежутке. Определение. Говорнт, что функцин з(х) возрастает (не убывает) на пРомегнУтке Х, если Чхы хз 6 Х из Условна хг < хх слеДУет неравенство З(эи) < З (хэ) (соответстненно З(хг) < З(хэ)). Аналогично определяется убывание (невозрастание) функции на промежутке. Теорема 8. Для того чтобы дифференпггруел1ая на пролежугпке Х фунт1ия 7'(х) не убывала (не возрастала) на этол промежутке, необходимо и достаточно, чтобы Чх Е Х еыполнллось неравенство ~'(х) > 0 (з"'(х) < 0). Теорема 9 (достаточное условие строгой монотонности функции). Если 7"'(х) > 0 (7" (х) < О) Чх Е Х, то г(х) возрастает (убывает) на промежутке Х. ЗЗ. Теоремы о дифференцируелсых функциях 117 3. Теоремы Ролла, Лагранжа и Коши.
Теорема 10 (теорема Ролля). Пусть функцил 7"(х) удовлетворлет условиям: 1') Т'(х) непрерьсвна на (а, Ь]; 2') Д(х) дифференцируема в (а, Ь); 3') 1(а) = Д(Ь). Тогда существует точка с Е (а, Ь) такая, что Тс(с) = О. Физическая интерпретация теоремы Ролля. Пусть х время, Т(сс) координата точки, движущейся по прямой, в момент времени х.
В начальный момент х = а точка имеет координату Т(а), далее движется определенным образом со скоростью Т"'(х) и в момент времени х = Ь возвращается в точку с координатой з (а) (з (Ь) = з (а)). Ясно, что длн возвращения в точку Д(а) она должна остановиться в некоторый момент времени (прежде чем "повернуть назад"),. т. е. в некоторый момент х = с скорость Г(с) = О. Геометрическая интерпретация теоремы Ролля. Существует точка с Е (а, Ь) такая, что касательная к графику функции у = 1(х) в точке (с, Т(с)) параллельна оси Ох. Теорема 11 (теорема Лагранжа). Пусть функция Д(х) удовлетворяет условиям: 1') 7(х) непрерьсвна на (а, Ь]; 2') з'(х) дифференцируема в (а, Ь). Тогда существует точка с Е (а, Ь) такая, что 1(Ь) — Д(а) = Г(с)(Ь вЂ” а).
Формула (Ц называется формулой Лагранжа (или формулой конечных приращений). Физическая интерпретация теоремьс Лагранжа. Пусть х --- время, Т(х) . - координата точки, движущейся по прлмой, в момент времени х. Запишем формулу Лагранжа в виде ф(Ь) — ф(а) Ь вЂ” а Величина в левой части рассенства является, очевидно, средней скоростью движении точки по прямой за промежуток времени от а до Ь. Формула Лагранжа показывает, что существует такой момент времени х = с, в который мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке (а,Ь].
Геометрическая интерпретация теорелсы Лагранжа. Ч исло Д(Ь) — Да) является углоным козффициентом прямой, проходящей че- Ь вЂ” а рез концы графика функции у = Т(х) — точки (а, Т(а)) и (Ь, Т(Ь)), а Г(с) угловым коэффициентом касательной к графику в точке (с, 7"(с)). Формула Лагранжа показывает, что касательная к графику в некоторой точке (с, Т(с)) параллельва прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней). 118 Гл. 17. Непрерывные и дифференцируемые функции Теорема 12 (теорема Коши).
Пусть функции 7'(х) и д(х) удовлетворяют условиям; 1') 7'(х) и д(х) непрерывны на (а, Ь]; 2') Дх) и у(х) дифференцируемы в (а, Ь); 3') д'(х) ф О ох Е (а, Ь). Тогда существует то та с С (а, Ь) такая, что Д(Ь) — Да) Я (с) (2) у(Ь) — у(а) у'(с) Формула (2) называется формулой Ноши. Контрольные вопросы и задания 1, Лайте определение возрастания (убывания) функции в точке. 2. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие возрастания функции в точке. 3. Справедливы ли следующие утверждения: а) если функция возрастает в точке хо, то оаа имеет в этой точке положительную производную:, б) если дифференцируеман в точке хо функции Р(х) возрастает в этой точке, то Р'(хо) > О? 4. Сформулируйте теорему, выражающую необходимое н достаточное условие монотонности дифференцируемой функции на промежутке.
5. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке. 6. Справедливо ли утверждение: если дифференцируемая на промежутке Х функция Д(х) возрастает на этом промежутке, то )'(х) > О Чх Е Х? 7. Пусть функции Р(х) определена в некоторой окрестности каждой точки множества Х. Справедливы ли утверждения: а) если Р(х) возрастает на множестве Х, то она возрастает в каждой точке хо Е Х; б) если Д(х) возрастает в каждой точке хо Е Х, то она возрастает на множестве Х? (Рассмотрите функцию Д(х) = — 1(х.) 8.
Сформулируйте теорему Ролля. 9. Останется ли справедливой теорема Ролля, если опустить условие: а) Д(а) = Д(Ь); б) Д(х) непрерывна на (а,Ь]? Приведите соответствующие примеры. 10. Сформулируйте теорему Лагранжа. П. Сформулируйте теорему Коши. Примеры решения задач 1. Найти промежутки монотонности функции 7"(х) = Зх — хз. г' Имеем )'(х) = 3 — Зхз = 3(1 — хз). Так как 7'(х) > О при х Е Е ( — 1, Ц, 1'(х) ( О при х Е ( — ж, — 1) и х Е (1, оо), то функция 7(х) = = Зх — хз возрастает на интервале ( — 1, 1) и убывает на полупрямых ( — оо, — Ц и (1, +со)1 можно также сказать, что Дх) возрастает на сегменте ( — 1, 1] и убывает на полупрямых ( — оо, — 1] и (1, -~-оо).
А я й. Теоремы е диффереицируемых фуиициих ыв 2. Доказать, что функция )[ х+ хз вш(2/х) при х ф О,. 0 при х=О возрастает в точке х = О, но не являетсн возрастающей ни на каком интервале ( — я, я) (я > 0 произвольное число). Тл Имеем / 1+ 2х в1п(2/х) — 2 сов(2/х) при х ф О, 1 при х=О (по поводу вычисления ~'(0) см, пример 6 из я 1 гл.
1Ъ'). Так как Т'(О) = 1 > О, то по теореме 7 функция Г" (х) возрастает в точке х = О. Если бы г" (х) возрастала на некотором интервале (-в, я), то согласно теореме 8 выполнялось бы условие Т'(х) > 0 их Е ( — в,я). Покажем, что это не так. Положим х„= 1/(ло) (о натуральное число). Очевидно, что 'йв > 0 Вн такое, что Ц(лп) < я, т.
е. х„е ( — я,я). Подставляя х = х„= 1/(яп) в выражение для 7" (х) при х ф О, получим Т'(х„) = — 1 < О. Это доказывает, что функция 7" (х) не является возрастающей ни на каком интервале ( — я,я). А 3. Пусть функция 7(х) удовлетворяет условинм: 1) 7'(х) имеет непрерывную производную на [а, 6[: 2) г" (х) имеет вторую производную в (а, 6); 3) Т" (а) = Т'(а) = О, г" (6) = О. Доказать, что существует точка с е (а, 6) такая, что г"и(с) = О.
Ь Очевидно, что для функции Т'(х) на сегменте [а, 6] выполнены все условия теоремы Ролла. Поэтому существует точка е1 Е (а, Ь) такая, что Т'(г1) = О. Рассмотрим функцию ~'(х) на сегменте [а, д). Имеем: 1) Т'(х) непрерывна па [а,д]; 2) ~'(х) имеет производную (~'(х))' = Ти(х) в (а,е1); 3) )'(а) = ('(д) = О. В силу теоремы Ролля существует точка с Е (а, е1) (и, следовательно, с Е (а, 6)) такая, что (1'(х))'[,-„= 1" (с) = =О. А 4.
Доказать, что [совх — совр! < [х — у[ йх,у. Ь По формуле Лагранжа сов х — сов у = вш ~ (х — у), где ~ -- некоторая точка из интервала (х,у). Так как [в1пЯ[ < 1, то [совх — сову! < [х — у[. А 5. Пусть функции Т'(х) и д(х) определены и дифференцируемы при х > хе, причем ф(хо) = д(хе), ф'(х) > д'(х) при х > хо. Доказать, что Т(х) > д(х) пРи х > хе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
