В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е,...,..., у,ее=,'га ген, у,ее =, е. -~е*, 1,"ее= =;/Л~ + 6з (абсолютная величина ускорения является постоянной). А дд. Производные и дифференциалы высигих порядпов б. Найти второй дифференциал функции д = сов2х, если: а) х --. независимая переменная; б) х = сг(Ь), где сг(!) - - дважды дифференцируемая функция независимой переменной й а) йау = уи(х)(йх)г = — 4соз2х(йх)г; б) й д = уи(х)(йх)г + у'(х)й х = = — 4 сов(2 р (Ь) ) (чг'(1) й!) ~ — 2 а(п(2 сг(С) ) уп (Ь) (йс) г = — 2 (2 сов(2р(!))р™(1) + яп(2сг(!))Ьги(!))(й1)г. д Задачи н упражнения для самостоятельной работы 38.
Найдите производные указанного порндка а) (е ' )! г; д) (/(е'))~ ~; б) (в!пах)~ е) (/(Ьг(х)))~ ~; ) ( ьз)рп г--)!за> (:.,')"' о) (1пЗх)но!. г) (/(х ))Я1; (.",)"' и) (хг яп 2х) !г~1; к) (хг соа бх) 0 в!; , !301 м) (, ); н) (хев")! (хг — ! 39. Найдите уы1, если: ах -1- Ь г а) у = ч/а х с-1- Ь; б) у = в)у=яп х:, сх -1- д г) у = соа х; д)у=яв х; е)у=сов х; ж) у = азнохяпфх; з) у = совохсовйх: и) у = хаза ах; к) у = хг совах; л) у = (ахг+ Ьх+ с)еь*; ах+ Ь г м) у =!и; н) у = хайх: о) у = х с!гх; ах — Ь п) у = пах" +агх" '+ ...
+а, гх+а„(а, числа). 40. Методом математической индукции докажите равенства: а) (е" яп х) ! "г = 2в/ге" яп (х ж — 1: 4 /' б) (х"!их)М! = п!(1пх Ч-1-Ь -+ ...,'- — 1; 2 и/ вы в) (х" 'е'/')М! = ( — 1)" 41. Для функций из упр. 23, заданных параметрически, найдите /в(х) и / (х). 42. Выразите производные обратной функции х = / '(у) ло третьего порядка включительно через производные функции у = /(х). 43.
Движение точки в пространстве задаетсн уравнениями из упр. 27. Найдите модуль и ваправляюгяие косинусы вектора ускорении в указанные моменты времени. 44. Найдите дифференциалы указанного порядка, если х — независимая переменная: а) йз(хг); б) й (~/х — 1); в) йв(х1пх); г) й' (хяпх). Гл. 1К Производные и дифференциалы 45. Найдите д" у, если: а) у = зЬх; б) у = сй(их); в) у = хе1пх. 46. В каждом из слодузощих случаен проверьте, что функция у(х) удовлетворяет соответствующему уравнению (С, — произвольные числа): а) у=С~езпйх+Сзсоеях, уо+я~у=О; б) у = Сзеь' + Сзе "ь', у" — азу = О; в) у = е (С соедх-'г СзсйпДх), уо -~-2оу' ф (о +Р )у = О; г) у = Сз ззпх ф Сз сое т -~- Сзс* -~- Сзе *, ури — у = О.
47. Найдите ~~"~ (хо), если ~(х) = (х — хе)" уз(х), где тр(х) имеет непрерывнУю пРоизвоДнУю (гз — 1)-го поРЯДка в точке хо. — 41* 2 48. Докажите, что функция тГх) = бесконечно диф- )О при х=О ференцируема в точке х = О, ГЛАВА Ъ' НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ д 1. Первообразнан и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. функция Г(х) называется переообразной для функции г(х) на промежутке Х, если Р'(х) = г(х) Чх е Х.
ТеоРема 1. Если 1гт (х) и Рг(х) две любьпе педеообРазные длл 1'(х) на Х, то Ег(х) — Е~(х) = С -- сопы:. Следствие. Если г(х) одна из переообразных для 1(х) на Х, то любая другая первообразная Ф(х) для функцпи Г"(х) на Х имеет еид Ф(х) = г'(х) + С, где С . некоторая постпоянная. Определение. Совокупность всех первообразных длн функции 1(х) на Х называется неопределенныл интегралогл от функции г" (х) на промежутке Х и обозначаетсц / 1'(х) ах. В силу следствия из теоремы 1 / г"(х)ах = г (х) + С, где г (х) одна из первообразных для г(х), С -- произвольнан постоянная. (Иногда симнолом / 1'(х) ох обозначается не вся совокупность первообразных, а какая-либо одна из них.) 2. Основные свойства неопределенного интеграла. 1'.
т1~~(х) йх =1(х) дх. 2'. /тУ'(х) = Г(х) + С. 3'. Линейность интеграла. Если существуют первообразные функций 1(х) и д(х), а о и,З. лньбые вещественные числа, то существует первообразная функции гт Г'(х) + Дд(х), причем ( (ггг (х) + дд(х)] ох = а ~((х) ах + Д ~д(х) йх. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение первообразаой для функции 1(х) аа промежутке Х.
2. Приведите примеры функций, имеющих первообразные. 3. Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции т(х). Гл. Ьг. Неопределенный интеграл 4. Всякая ли фуньцин имеет пернаобразную? Рассмотрите пример: 1 при х>0, — 2 при х(0. 5. Найдите перааабразную для функции 7" (х) = зшх, которая а точке х = я)2 принимает значение, раннее 10.
6. Известна, чта дзе пераоабразные для функции Г(х) = е* а тачке х = 1 отличаются на 2. На сколько отличаются зти же первообразные в точке х = 100'? 7. График какой перваобразпай для функции 7(х) = проходит через 1 ехе точку с координатами (1, 2н)? Примеры решения задач 1. Доказать, что функцин 1 при х>0, здььх= 0 при х=О, ( — 1 при х(0 имеет первообразную на любом промежутке, не содержашем точку т, = О,. и не имеет первообразной на любом промеькутке, содержашем точку х = О. гт На любом промежутке, не содержащем точку х = О, функция здпх постоянна. Например, на сегьленте (1, 2) здпх = 1 и любая первообразная для функции зйпх на этом сегменте имеет вид Р"'(х) = х+ С, где С некоторая постоянная.
Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку х = О, например, сегмент ( — 1,3). На полусегменте ( — 1,0) любая первообразная длл фУнкпии зйпх имеет вид †.т. + Сь. а на полУсегменте (О, 3) пеР- вообРазнал длн з3пх Равна х + Сз. ПРи любом выбоРе пРоизвольных постоннных Сь и Сг мы получаем на сегменте [ — 1,3] функцию, не имеющую производной в точке х = О. Если выбрать Сь = Сг, то получим непрерывную функцию р = )х) + С (С = Сь = Сг), которая также не дифференцируема в точке х = О. Таким образом, функция зйььх не имеет первообразной на сегменте ( — 1, 3). Данной пример показывает, что вопрос о существовании перво- образной для функции сушестььеььььо связан с тем промежутком, на котором эта функция рассматривается.
А 2. Важный физический пример первообразной дает задача носстановления закона прпмолинейного движения материальной точки по заданной скорости. Мгновенная скорость а(1) является производной функции з(1), опрелеляюшей закон двиькения материальной точки. Поэтольу отыскание функции е(1) по заданной скорости а(1) сводится к нахождению первообразной для функции е(1). Любая первообразная для а(2) имеет вид (1)=1(1) +С. Постоянная С определяется из дополнительных условий. Пусть, например, юф = а(с — йо) + то 1двилсение с ускорением а = сопят), егсо) = яо Тогда яф = — + оо(с — 1о) + С. Из дополнительного 2 условия е(со) = яо находим С = ео., поэтому е(1) = -"~ — ~- + оо (1 — 1о) + яо.
2 Таблица основных неопределенных интегралов. 1. П, 1П. 1Ч. Ч1. ЧП. ЧШ. 1Х. Х. Х1. ХП. Х1П. Х1Ч. ХЧ1. ХЧП. 22. Простейшие неопределенпые интегралы Простейшие неопределенные интегралы Ос1х = С. ./:= 1 асх = х + С. оы хос1т,= х +С (аФ вЂ” 1), а+1 / — х=1п1х~+С (хфО). а* с1х = — ' + С (О ( а ~ 1), 1 е* с1х = е» + С. 1иа я1пхс1х = — соях+ С.
сояхс1х = я1пх+ С. / — т — —— сдх+ С (х ~ — + лп, и е л ). ~ — — т — — — — осах+ С (х ~ лп, и е У). дх ~ агсяшх+ С, Д - хг ~ - атссоях + С атоса х + С, Г+ хат ~ — агссса х + С. у дх — !и ~х+ схг Г1~ + С. я1схс1х = сЬх+ С. с1схс1х = яЬх+ С.
~дх =11 +, д сЬх ~ — '-х = — ссЬх+ С (х ф 0). Гл. 1г. Неопределенный интеграл 90 Примеры решения задач Следующие интегралы сводятсл к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 2. /(х~+ 1)хзасх = -/(х + Ц 441х~ + 1) = — ) сс1х + 1) = -1(*4+цз+С.
3.1,х ', =1~', '),,+'да=1( — 1+, ',) 12 = 1 1+х = — х+ — 1п — + С. 2 1 — х '.1.":=Я+ 'х)- ) 2=1(с.,',„- ) '= 1лх — х+ С. ) 2х + 3 о с' 21х -1- Зсс2) „2 ~ ~1х -~- 2сс3) ж 5ссб) „ ' l зх+2 l 3( +2/3) Зl 1х+2!3) 2 5 2 — х+ — 1в т+ — + С. 3 9 3 о.
1' Л вЂ” ~ 2*с. = 1' ссх =,I Л' * - ° *г г* =,( ~ -- - ' н г* = = 1в1пх+ свах) абп1совх — в1вх) + С. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найдите следующие интегралы. х' + 1)лх'дх. 3. / л, с1х. 4. /13 — х ) дх. 2 ~с — 5* "' - 1"'*' -1'" х"* -+'~х") х сг:ххт 23. г . 24. ) . 25. е1пг12х-~-л,с4) 1 1+соле l 1-~-Ыпх ау. Метод замены первленной '3 3. Метод замены переменной Основные понятия и теоремы Теорема 2. Пусть фунлцил х = уа!!) определена и дифференцируема на промежутке Т, а промежуток Х --. множество ее значений. Пусть функция у =? !х) определена иа Х и илеет на этом промежутке г!ереообразную г !х). Тогда на промежутке Т функция Г(р(й)) является переообразной для функции Д~рф)уа'(1). Из теоремы 2 следует, что / У(?Д?)) р'? 1) д! = К( р(1)) + С, % а так как г'!ча!1)) + С = !е'!х) + Си, 00 = ~~?х) Нх/ цц, то равенство !1) можно записать в виде 1йх) дх~, .я = ГХМ)'ур'Я дй (2) Равенство !2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
