В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 20
Текст из файла (страница 20)
95. Интегрирование рациональных функций Кратному вещественному корню х = а соответствует в разложении дроби Рн(х)Я (х) цепочка простых дробей; Аа + +...+ А, А~ (х — о)о (х — а)о ' х — а Длн отыскания коэффициента А„при старшей степени знамена- 7' (х) тела надо в знаменателе исходной дроби ' вычеркнуть (х а)о„о(х) (х — а)о и в оставшейся дроби положить х = а т. е. А — о Указанный метод особенно удобен, если все корни знаменателя вещественные и простые.
Тогда этим методом находятся все неопределенные коэффициенты. Например, А В С Р х(х — 1)(х -К 1)(х. — 2) х х — 1 х -1- 1 х — 2 ' х+2 =1, (х — 1)(х + Ц (х — 2), =-о х-1-2 ) 3 х(х -~- 1)(х — 2) )х=1 2 и т, д. Контрольные вопросы и задания 1. Всякая ли рациональнан дробь интегрнруема в элементарных функцинх? 2. Почему исследуется вопрос об интегриронании только правильной дроби? 3. Что значит "выделить целую часть неправильной дроби"'? 4.
На какие простейшие вещественные множители можно разложить многочлен с вегаественными коэффициентами? 5. Нзнестно, что число 2 — 1 является корнем многочлена с веществеаными коэффициентами. Верно ли, что число 2+1 есть корень того же маогочлена? х -1- 1 6. На какие простейшие дроби разлагается дробь (х -~- 1) '(хе -~- х -1- 1) 7. Что такое метод веовределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей'? 8.
Что такое метод вычеркивания при вычислении неопределенных коэффициентов? 9. Найдите методом вычеркивания неопределенные коэффициенты в разх ложении дроби (х -~- 2Кх — 3) 10. Найдите методом вычеркиванин неопределенные коэффициенты в разх' 2 ложепии дроби,, * Положите х = у и затем примените (хг — 2)(хг Э 3) метод вычеркивания. Гл.
4/. Неопределенный интеграл 100 Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы Найдите следующие интегралы. ,( ""' .,(( * )'. 1а — 2)1т4-5) т / гг — 5тг -~-бх / 1хг — За-~-2/ тг -~- 5т -~- 4 дх йт.. 74. г д.. 75. / / г . 77 ~ 4 . 79 /г 4 . 79 . /р а'-~-Зтг -~-1щтг ж Зх-1-1' ' ./ т'-~-1' ' .I 1т. — Ц'ее' Г",( '."* У ' ' 7 хе -~- 1 .1 те -1. Зтл .~- 2 / х(1 -~-лг) З 6. Интегрирование иррациональных функций Основные рационализирующие подстановки В этом и следующем параграфах через Л(а, у) обозначается рациональная функция двух аргументов щ и у. 1.
Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Интеграл вида /В(т,, а ат+ )йт, (а ф — ) рационализируется, т, о. 1/ ет -~- д/ хс 3/ сводится к интегралу от рациональной функции, подстановкой от+ Ь )/ ет 4-д' 2. Подстановки Эйлера. Вопрос об интегрировании в элеменг *Фпгк -» ем /ль, т?ег*т.)г* ( ег) решается с помощью подстановок Эйлера, которые рационализируют интегралы такого вида. Если квадратный трехчлен атг + Ьх + с имеет комплексаые корни 1в этом случае знак а совпадает со знаком трехчлена, стоящего под корнем, т.
е. а ) 0), то применяется переая подстановка Эйлера 5 = '.?ег,~.-~„„ Если наг+ Ьт+ с = а1т, — щг)1т — аг), где а1 и лг —. вещественные корни, то для рационализации интеграла применяется еторал подстанаена Эйлера х — тг 3. Другие приемы интегрирования квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера, играя важную теоретическуго р 6. Интегрирование иррачиональнеьх фрннлиа 101 роль, на практике приводят обычно к громоздким выкладкам, поэтому прибегать к ним надо в крайних случаях, когда не удается более просто вычислить интеграл другим способом.
Одним из таких способов является следующий. Если в квадратном трехчлене аха + 6х + с выделить полный квадрат, т. е. привести его к виду а(х -1- — /1 + 6 'ь 6г 2а) +(с — — ') и положить 4а/ з ( а ( 61 х+— с — 6т/'14а) ( 2а / ' ,...,...., )еЬк,,лттт-тсЬг.....н,.,е......., ..;... видов; Сделав в первом из этих интегралов подстановку 1 = аьп и, во втором 1/ь1 = вши, в третьем 1 = 1яи, получаем интегралы вида В(зш и, сол и) ь4и (см. 0 7) . Рассмотрим еще один способ вычисления интегралов вида еЬ,„'Ы тйт..нк Ьь.
ь . ° ° ° ° ° . эь-ь. ь— гонометрических подстановок). Для этого преобразуем подынтегральную функцию к некоторому специальному виду. ь ь ттрть.~ ,-ьт еЬ*ь 'т*'+ь..т Ь е еЬ ОЬ*Ь..ать +т Ль'х, ахз+ 6х+ с) = ьЬ Ь~тЬнЬ,неть.+ ' где Рь 1,), 5 и Т многочлены. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель этой дроби ° гЬ*Ь - тЬ*Ь,'~ тьь+ . т-..
-.,-. ьь )+нь ь тЧ\х, ахг + 6х + с)— Сбт) А1х) В1х)1ахт+6х+е) йт1х) = — + ' ' =Л11х)+ оь.ь ооь,'ы т ь. . .'ы т ь' + где А, В и С --- многочлены, Л1(х) и Лг(х) - рациональные функции. Вычисление интеграла от Л1(х) описано в 0 5. Выделяя в рациональной дроби Лг(х) целую часть Р„(х) и разлагая оставшуюся правильную дробь на сумму простейших дробей, приходим к следующим трем типам интегралов: РнЯ ь/х ,ы*ть +; рл.
'г'. Неопределенный ингпегр л 102 дх [ — гг *' (Мх -ь Ж) дх (2) (3) ос~ +е", ест*+ Эти интегралы можно вычислить следующим образом. 1. Для интеграла (1) справедлива формула а Ь е р Ос (6) т. е. когда квадратные трехчлены совпадают с точностью до множи- теля (ахсг + Ьх + с = а(хг + рх + Ч), а, > О), можно представить в виде суммы двух интегралов: М г 12х -ь р) сЬх 1 г',т. 11ррЛ )' дх 2 га/ Схг ж рх+0)Сгоыдг са 1, 2 ! г Схг л рх 1 0)Сгоеггссг' Первый из них рационализируется подстановкой 1 = хг + рх+ 0, а ,,г,г — ..., г с = [ Рг г ~ гг = 2 х'г -1- рх -1- о Если соотношение (5) не выполняется, то интеграл (3) сводится сначала к виду /' ' — Ь 0. О) 11>0.
(дг .1 1)ы сгуг 1 е 16) Так, если — = — р= —, то вид (6) достигается подстановкой х, = д — ". а Ь с 1 р й 2 Если — ' ~ —, то для приведения интеграла (3) к виду (6) используа, Ь р' ется подстановка х = сл —. Коэффициенты д и р подбираютсн так, -~- ы д -1-1 чтобы в полученных квадратных трехчленах отсутствовали члены первой степени относительно д. где Я„ 1(х) --многочлен степени в — 1, а Л вЂ” некоторое число. Для определения коэффициентов Я„ 1(:х) и числа Л продифференцируем тождество (4).
После приведения к общему знаменателю получим равенство двух многочленов. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим неизвестные коэффициенты. Входящий в правую часть равенства (4) интеграл сводитсн к табличному выделению полного квадрата в подкоренном выражении. 2. Интеграл (2) сводится к интегралу типа (1) подстановкой Ь = = 1гс1х — 13). 3.
Интеграл (3) в случае, когда 26. Ингавврираваиив иррациональных функций 10З /', l' (7) (У' + 7)Ь т??гр' -1- в 2 (У' ж т)Ь;?Ггрв + в Первый из них рационализируется подстановкой 4 = ,/ту' + в, второй -- подстановкой 1 = (т??грл + в)' = — " — . т?7'У + в Контрольные вопросы и задания 1. Какая подстановка раиионализирует интеграл от дробно-ливейной иррациональности? 2. Какого типа интегралы вычисляются с помощью падстановок Эйлера? 3. Какова теоретическая роль подстановок Эйлера' ? 4. С помощью каких тригонометрических падстанавак вычисляются нн- ?д:хи, ?,Ъ -1а, ? -* Гни, ? е*-г'Хи., Примеры решения задач — откуда г)х = '1? х — 1' 1. 1 = ~ )? — —.
Положим ? з?х+1 4 ,? '1,?* — 1х+1' 61 Ж вЂ” — з — ~. Следовательно, — 1) гв — 1 2 1-~-1-~-Р + ч?3агсгй + С, 21-~- 1 багз где?= 3 2. 1 = ('+: ч Положим 1 = +, тогда х?КМ = 2с?х и, значит, 2х+1 47 иг — б) (?л Ч.З?6) ?) — — 1' В интеграле (6) дробь — т: — — является правильной, и после ее Рви — (У) (у' ч-т) разложения на простейшие дроби получаются интегралы типа Гл. Г. НеопределеНный интеер л 104 Положим теперь — = в«гги, откуда — -т = сов и««и. Поэтому 1, д« 4 / совисдпиди 4 / 5„/ " '( -' г) 1+ — сдпг и( сов и 3 вьпиди 3 — — сонг и 4 1 /3 г/8-~- г/Зсови 3 2 )«8 г/8 — в/Зсови 4 д(сов и) 318/3 — сонг и где и = агсв«п .
Окончательно полу'чим /5 2х+ 1' ~ив )'г % в в — Е + С. Л ос нл- ггРХ (8) Из соотяоглеиия (8) получаем «г(уг — 5/4) = уг, откуда 3 2«г — 3/4 4 «г — 1 (9) Записывая формулу (8) в виде «т/уг — 5/4 = р и диффереицируя. получаем г««у/г«г — о/4+ «(~/у'-' — 5/4) игу = оу, или, с учетом (8), е««,/у' — 5/4+ ««оу = е«у, откуда (10) /рг — 5/4 1 — «г Подставляя выражеяия (9) и (10) в интеграл 1, имеем д«1 Л+Л« = — 1п 3/4 2«г,/6 г«3 иг8 « +С, где«= ', т.
е. = ~,ъ*х.гт' о е+ ел из(" ~ ' ~) 1 = — 1п + С. л' о..;л-,ги —,.— -е 3. Вычислим интеграл примера 2 без применения тригонометрических подставовок. Интеграл имеет вид 13), где р = 1, й = 1, о = 1, Ь = 1, с = — 1, т. е. выполнены условия а/1 = Ь/р ~ с/о. ° „„=„--,,г„,, „„„г„, х=/ л — —— 1 2' «у 4- 3/4) Х/уг — 5/4 типа (7), который рациоиализируется подстановкой уй. Ино)еврирова)(ие иррациональных функций 105 А. 1=1" . Положим 1 =, тогда дх = — -т Ф 1 1 ( — ')4 1 М 1= — 1, .Б ° ь ° 522 "е): 55 В+ =(А)+ в)аьв5 51+ » «~ Дифференцируя это тождество, получаем =А 5('4514) ( В В)ЕБ 5) ВБ+Ь 5Е 5 Приводя к общему знаменателю и сравнивая коэффипиенты при одинаковых степенях 1, находим А = 1/10) В = — 3)(20, Л = И,)40.
Далее, 41 1 г 411 + 12'2) 'а)5м т 5) 5)( Ат)2)' — )(25 1 — !и 1+ — + 12+1+ — +С. 1 . 1 т()5 2 5 Окончательно имеем 1= — ( — 1 — — )25Е4514) — 1 14 — 4 1 414 — АО, 1 3 11 а 5, 10 20) 404))5 2 5 1 где 1 =, или х — 1 5* — 5» ) (*+ ) '5 245 45. х2 + Зх + 1 — — 1п ч- С. 201х — 1Р 40425 х — 1 Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найдите следующие интегралы. 90 1 й 90. ~ х11 Ч- 2;2х Ч- ф'х1 У ь)х(- 1 Ч- 42х — 1 йх г хвйх № )15(.-) ' 455+1 '(+')Бг Т 97 98 1 99 у 42 ' 1*' 5 — ( ' 1 « — В)Л Бà — 5 ' 100.. 101.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
