В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Т. Составьте уравнения касательных к графику функции у = ьзх, прохадяших через точку (2, 3/2). 74 ) л. Лз. Производные и дифференциалы 8. Найдите односторонние производные /'(хо + 0) и /'(хо — 0) и сравните их, если: а) /(х) = !х~, то = 0; б) /(х) = (х~, хе = 1; в) /(х) = хазбпх, хе = 0; г) /(х) = ь'вшах, хо = 0: д) /(х) = (х(вшх, ха = 0; е) /(х) = (х — я/2!совх, хо = я/2; ж) /(х) = )х — Це', хо = 1. Существует ли в каждом случае производная /'(хо)? 9. Найдите у'(х), если: а) у = хз; б) у = 4/хц в) у = 1/х; г) у = 2 ч'хз — 3/ч?х; д) у = !об хз -1-1обзха (вычислите у'(1)); е) у = 2' -«(1/2)*; ж) у = япх, — соа х (вычислите у'(0) и у'(х/4))( з) у = 18 х — с!8 х; и) у = агсашх + атосов х (объясните полученный результат); к) у = асс!8 з:+ агссгдх (объясните полученный результат).
10. Докажите, что если и(х) и о(х) имеют производные в точке х и и(х) > > О, то функция (и(х))" 1'! также имеет производную в точке х, причем (и(х)' ' )' = и(х)и(х)' "' 'и'(х) «- и((г)" ' 1в и(х)о'(х!. 11. Найдите у'(х), если (везде а > 0) а) у аа 1- у ь(хз аз у — хф~2. сх -(- д' ') =)?'+З'+Л( = ' '( ) г((' .): в) у = в!п(а!г)(е!пх)], у = — а~ —, у = 2'"*4(в*; с!8 2х' г) у = с*япх, у = е' соз2х, у = е' + х'; д) у = х, у = !и(!п(!пх)), у = — 1п 2а х -(- а ' е) у = !и !х~.
у = !п(х -«1/хз х аз), у = 1п зш х; ж) у = з1п(!и х), у = агсяп —, у = — агс18 —: х 1 х а а а' з) у = агс18 — (сравните с производной функции у = агсгб х и объ- , 1-(-х 1 — х ясните результат); и) у = агссоь(1/х), у = агсяп(япх)., у = асс!8(18х); к) у = яп(ахсяпх), у = ссб(агссгбх)( , з л) у = 1п а+а «а асс!8 х у х /аа — хз ! а юса!п х и) у агссоех + 1 !и 1 —,~1 — хз у = асс!8 /хз — 1 — 1пх х 2 1тД х" чхе 1! и) у = " ', -1- —, 1п, у = !п(е -«ь(Г+ез'); Л вЂ” х' 2 14х' о) у = агсгя(х 4-;/1+ ха), у = (е!пх)""", у = е!) (18х), у = 11,( п) у = !п(а!зх), у = 18(сйх), у = агс18(Ф!гх), у = !п (?сс!) х ) 2/ 12.
Известно, что р(х), ф(х) и /(х) имеют производные. Найдите у'(х), если: ) =)(р()+ '*(.): б) у = !об 1,) ф(х) ((р(х) > О, (р(х) ф- 1, )?)(х) > 0); в) у = /(х ) + /(х ); г) у = /(/(х)). д Е Производная функции 75 13. Функция 9 = ф(х) имеет в точке х = 0 произволную, отличную от нуля. Вычислите пределы: ла — а 7(х) сов х — 7(0) ' з — а 7(х) спх — 7(О) 14. Функция у = ф(х) имеет производную в точке х = а.
Вычислите про- делы: а) !зщ (~~ — -~); б) Вт [ с(хт) (а, > О) 15. Функции ф(х) и д(х) имеют производные в точке а. Вычислите предс- лы: ..ла= *".ла, ьз,, лало= ззазз. х — а х — а )ц лая'-:заз'" [ о, з)з0з у(х) — д(а) 16. Докажите (методом математической индукции), что если ~~ (х), ф (х) ...,1„(х) имеют производные в точке т., то сумма ~~ 1;(х) и произведенис зз(х))з(х)...) (х) также имеют производные в точке х, причем ~их)) =~а*), (Их)И.) и*И =~И ) ах) и*) .=1 ,=1 =! ф.(.) ... ~з.(х) ,(ы(х) ...
(з (х) 1и(х) -- Ь (х) Ли (х) " У (х) =Е Уьз(х) " Уьа(х) ~-з(х) — 1- (х) 18. Рйожно ли применить правило лифференцирования произведении двух функций и(х) и о(х) в точке ха, если: а) и(х) = х, о(х) = ]х[, ха = 0; б) и(х) = х, ъ(х) = [х[, ха = 1; в) и(х) = якх, а(х) = зцпх, ха = 1; г) и(х) = х, о(х) = вйнх, ха = 0; ( язз(1/х) при х ф О, 0 прих=О, е) и(х) = [х], о(х) = азп (ях), ха = и б Я; ж) и(х) = х — [х], а(х) = яп (кх), ха = я б У? Супзествует ли в каждом случае производнан произведения и(х)а(х) в точке ха? 19.
Справедливы ли следующие утверждения? 1. Если и(х) имеет производную в точке ха, а а(х) не имеет производ- ной в точке ха, то: а) и(х) -Ь а(х) не имеет производной в точке ха,' б) и(х)а(х) не имеет производной в точке ха. 11. Если и(х) и о(х) не имеют произволных в точке ха, то: а) и(х) -!- о(х) не имеет производной в точке ха; б) и(х)а(х) не имеет производной в точке ха.
(Если утверждение не справедливо, то приведите соответствующий пример.) 17. Докажите, что имеет место следующее правило дифференцирования определителей и-го порндка: Рл. 1К Производные и дифференциалы 20. Функции 1(х) и д(х) имеют производные во всех точках х Е ль'. В каких точках не имеет производной функции: а) [1(х)[; б) шах(1(х), д(х)); в) шах 1"(1)? <е<. 21. Справедливо ли утверждение: если 1(х) < д(х), то 1 (х) < д (х)! 22. Выведите формулы для сумм Р„= 1 + 2х + Зхз + ...
+ гзх" Я„= 1з + 2зх .1- Ззхз -~- ... -1- пзх" Л, = х ф Зхз+ бхв -1- ... + (2п Ч-1)хз"т', Я = ~ Дсоейх. ь=з 23. Изобразите траекторию точки, двияеение которой на плоскости (х,у) задается уравнениями: а) х=г, у=1, — оо <1<ос; б) х=соа Г, у=яп 1, 0(1<со; в)х=асоай у4 уяий 0(1<со; г) х=асЬ1, у4 УеЫ, — со<1<со; л) х = а(4 — зш1), у = а(1 — сое1)., — оо < 1 < оо; с) х = е', у = е, — со < 1 < со. В казкдом из случаев укажите такой промежуток изменения параметра 1, иа котором уравнения определнют функцию у = 1(х), и найдите производную этой функции по формуле (4). В случаях а), б), в), г), е) выразите ф(х) в явном виде и сравните явное выражение для 1 (х) с выражением, полученным по формуле (4). В случанх в) и г) составьте уравнения касательной и нормали к криной в точке 1 = О. 24.
Пусть г(1) = х(1) 1+ у(1)1+ з(1) 1с, а = аз з+ аз 1-1- ае 1с --- постоянный вектор. Докажите утверждение: для того чтобы 1пп г(1) = а, необхоее димо и достаточно, чтобы 1пп х(1) = ап Ппз у(Г) = аз, 1пп е(1) = аз. е-зле е «е 26. Пользунсь результатом предыдущей задачи, докажите утверждение для того чтобы вектор-функция г(Г) = х(1) 1+ у(1)1 + е(1) )с имела прш изводиую г'(1) в точке 1, необходимо и достаточно, чтобы скалярные функции х(1), у(1), з(1) имели производные н точке 1. При этом г'(1) = = х (1) 1+ „(1)'1 +'з (1) й.' 26. Докажите, что для вектор-функций имеют место следующие пранила дифференцирования: (г (1) ж ге(1)) = г,(1) + г (Г), (1'(Г) г(1))' = Р'(Г) г(1) ж 1'(Г)г'(г), [г (1) гз(1)] = [г (1) г (1)) + [г (1) гз(1)), где [гз(1) гз(1)) векторное произведение векторов гз(Г) и гз(1).
27. Движение точки в пространстве задается уравнениями а) х = й у = й е = 1-', 1 > О; б) х = Лсоас, у = Пяпс, з = ас, 1 > О, П > О, а > 0 (винтовая линия); в) х = 1, у = 1', е = 1з, 1 > О; г)х=!пй у=Ге/2, е=ьГ21, 1>1. Найдите модуль и направляющие косинусы вектора скорости в моментвремени:а)1=2; б)1=я; в)1=1; г)1=2,6. ди. Дифференциал функции 77 В 2. Дифференциал функции Основные понятия и теоремы 1. Днфференцнруемость функции. О п р е д ел е н и е, функция у = Дх) называется дифференцируемой в точке хо, если ее пРиРащение ЬУ = 7'(хо + Ьх) — 7" (хо) в этой точке можно представить в виде где А некоторое число, а о функция аргумента лзх, бесконечно малая и непрерывная в точке Ьх = 0 (т. е. 1пп о(екх) = о(0) = О).
Ьх — >О Теорема 5. Для того чтобы функция у = 7"1х) была дифференцируемой в точке хо, необходил~о и достаточно, чтобы существовала производная з"'(хо) Отметим, что при этом Л = з"'(хо). Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции у = 7"1х) в точке хо (дифференцируемой в этой точке) называется функция аргумента глх: йу = З" (хо)лхх. При 7"'(хо) ф 0 дифференциал является главной (линейной относительно лзх) частью приращения функции в точке хо. Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной: дх = глх.
Таким образом, дифференциал функции У = 7" 1х) в точке хо имеет вид Иу = з 1хо)дх, откуда У (хо) = —, дх' т. е. производная функции у = 7" 1х) в точке хо равна отношению дифференциала функции в этой и точке к дифференциалу независимой переменной. уМ-дх 2. Геометрический н физический смысл днффе- Р ренцнала. Геометрический ни смысл дифференциала функции нетрудно уяснить из М Ьх рис. 4, на котором изображены график функции у = 7(х) Ю) (жирная линия) и касатель- хо хог-Дх х ная МР к графику в точке Рне. 4 М(хо, У(хо)). Дифференциал ду равен приращению линейной функции, графиком которой является касательная ЛХР.
зл. 1Г Производные и дифференциалы Если х --. время, а у = ?(х) -- координата точки на прямой в момент х, то дифференциал ду = ?'(хо)злх равен тому изменению координаты, которое получила бы точка за время?лх, если бы скорость точки на отрезке времени (хо,хо+ злх) была постоянной и равной ?'(ха). Изменение скорости на этом отрезке приводит к тому, что, нообще говоря, злу р': а?у. Однако на малых промежутках времени Ьх изменение скорости незначительно и злу - Иу = 1'(хо)злх.
3. Инвариантность формы первого дифференциала. Пусть аРгУмент т диффеРенциРУемой в точке хо фУнкции У = 1(х) нвлнетси не независимой переменной, а функцией некоторой независимой переменной и х =:р(1), причем хо = уз(1о), а ~р(1) дифференцируема в точке ?о.
Тогда дифференциал функции у = 1(х) по-прежнему имеет вид (2); Пу = ('(хо)дх, но только теперь Пх является нс произвольным приращением аргумента х (как в случае, когда х нсзаниси- маЯ пеРеменнаЯ), а диффеРенциалом фУнкции х = 7з(1) в точке 1о, т. е. дх = 1р'(?о)г?й Это свойство (сохранение формулы (2) и в том случае, когда х = Чз(1)) называется инаариантнастью фаржы первого дифференциала. 4.
Использование дифференциала для приближенных вычислений. Так ьак Ьу = с?у при малых ?хх, т. е. ((хо + злх) — ((хо) = = ?'(хо)Ьх, то У(хо + ~х) = У(хо) + 1'(хо)т~х. (3) Эта формула позволяет находить приближенные значения 1(хе Ч- злх) при малых злх, если известны ?(хо) и ?'(хо). При этом погрешность при замене ?(хо + Ьх) правой частью формулы (3) тем меньше, чем меньше Ьх, и, более того, эта погрешность при злх — > 0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем з3х. Контрольные вопросы и задания 1.
Дайте определение дифференцируемости функции в данной точке. 2. Докажите теорему о связи мезклу дифференцируемостью функции в точке и существовавием в этой точке производной. 3. Что такое Лифференциал функции в данной точке? От какого аргумента ои зависит? 4. Моазет ли дифференциал функции в данной точке быть постоянной величиной? 5. Для каких функций дифференциал равен прнрашенизо функции'? Приведите примеры. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
