В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а) 1пп,; б) 1пп е з ..Ш ! — 2с )у ( — ) — "; )й -т'--'-:-'-'-=-- тге (,, л~; 2 ' -)е х. * — )е япа х Гл. Ш. Предел и ненрерьгвность функции ж) 1шг о о ; з)1пп ( + ) г * при х ь +О, х -ь 1, х ь +ос; х — а (2-!- х) гь 3. и) !ип (18 (8 -Р х)); к) !ип (ах ) (а > О, Ь > 0); л) 11ш (япх)'ь'; м) Вш и'" ь-г уз и) !пп ( ) (а>0, Ь>0). 28. Вычислите пределы: а) Вш й хь * (пггпЕХ); о х б) ип — — г а) ггп *-го ! — т/! — х,'2 -гьо ь!гг~ Зьгх з* г ь ' '" ' ,г ь "г гг Ь е) 1пп п(ьга — 1) (а>0); ж) !пп ( ( ~ ) ! ( соь(згго) ) ','= ('*.")г ..'= (,'::",')' к) 1пп яп" ( х ~); л) 1ип соз —; м) 11ш (18х)'л *. — (Зо+ 1) ' ь-г 24 29.
Вычислите пределы: яоз(ь 2 ) а) 11ш; б) !ип х (а > 0); , -гг 1псоь(гг 2 )' -„х — а в)!ип З( ~ + ) )1гш ! ( О). ,-го япух ' ь Ьз соь(хе*) — соз(хе ь) ( „) гз'" .',о хь ж) 1ип п яп (1п)/сов — "); з) 1шг [( и ),'-згп 1~ и) 1шг соь(х~/~з-1- п); к) 1пп (х — 1п сЪх). 30. Вычислите пределы: а) !ип ( гогха + Зхз — тггхз — 2х); гггг(( 1)223 ( 1)зуз) ) 1.
! — соьхсоь2хсоьЗХ о ь! 2х г) 1гш(1 — х)1о8„,2; д) 1ип а х (а > 0); х — а 2 ) Ь 'ГГС вЂ” 'ГГГГ Г ОЬ ) Π— "Г'— й; +о ьл огх з) 1ип,,; и) 1ип [соз (2х( — *) )~ к) !шг 18" [ ж (1-1- — ) ]; л) !ип (яп — +соь — ) м) 1ип,; п) !гш 1п(хз -!- е*) . 1п(хз -1- е*) -гь !гг(х4 -1- ез*)' -г- 1п(хь 1- ез*) ГЛАВА 1У ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ з 1. Производная функции. Правила дифференцировании Основные понятия и теоремы 1. Определение производной. Пусть функция у = )(х) определена в некоторой окрестности точки хе. Приращением этой функции в точке хо называется функция аргумента тзх Д у = У(хе + Сух) — 1 (хе). Разносптное отанвшение — также является функцией аргументу тзх та Ьх. Определение.
Производной функции у = 1(х) в точке то называется 1шт -'-и (если он существует). пз — о Ах Производная функции у = 1(х) в точке хе обозначается г'(хо) или у'(хо). Операция нахождения производной называется дифферениированиезс 2. Таблица производных простейших элементарных функций. 1. (х")' = ох т (о любое число). П. (сбп х)' = соз х. П1. (соа х)' = — гйп х.
1 1 Йт. (1об, х)' = —, в частности, (1пх)' = — (х ) О). х!и а х 'т'. (аз)' = а'1па, в частности, (сз)' = ет. тт1. ()йх)' = ., (х ~) — +яп, и, б У). УП. (стйх)' = — (.г ~ хпо п, б Я). сйпз х Ъ'П1. (агсьйпх)' = ( — 1 < х < 1). 1 т/) — хо 1Х. (вгссозх)' = — ( — 1 < х < 1).
Х. ( агсф х)' = Х1. ( агсстц х)' =— 1-Ь хз ХП. (зйх)' = с)тх. 3 Б.Ф. Бутузов и др. зл. Хе'. Производные и дифференциалы Х111. ( сЬ х)' = вЬ т. Х1У. (ХЬз.)' = —, ХЕ. (сьЬх)' = —, (х ~ О). 3. Физический смысл производной. Производная Х'(ха) зто скорость изменения функции у = Х(х) в точке хо (иными словами, скорость изменении зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х в точке хо).
В частности, если х время, у = Х(х) - координата точки, движущейси по прямой, в момент х, то Х'(хо) мгновенная скорость точки в момент времони хо. 4. Геометрический смысл производной. Рассзиотрим график функции у = Дх) (рис. 1).
Точки ЛХ и зу имеют следующие координаты: Дхец-Ьх) зу М(хо, Д(хо)), зу(ха + ~~х, 1(ха + Х~х)). Угол между секущей ЛХЛХ и осью Ох обозначим уз(ззх). Определение. Если существует д е) 11пз цз(Ьх) = ~ро, то прямая 1 с аи — зо чу Угловым коэффициентом Й = тб Цзо, О ие ее+ах * проходящая через точку ЛХ(хо Х(зза)) Рис.
1 называется касательной к графику функции у = Х(х) в точке ЛХ. Теорема 1. Если функция у = Х(х) имеет в точке хо производную Х" (хе), то график функции имеет в точке ЛХ(ха, Х(ха)) касательную, причем Х'(хе) является угловым коэффициентом касательной, т. е. уравнение касательной записывается в виде у †,Х(хо) = Пхо)(х — хо) Если функция у = Х'(х) непрерывна в точке хо и 1пп Х(хо ч- Ьх) — Х(х.) = сс, аи- о сьх то говорят, что функция имеет н точке ха бесконечную производную.
В этом случае касательная к графику в точке ЛХе параллельна оси Оу, а ее ураннение таково: т, = хо. 5. Односторонние производные. Если существует Х(хе + сзх) — Х(хе) 1' 1. Х(з:е + й~х) — Х(хе) ) аи — зч-о злх ъе — з — е ззх то он назынается правой ( соответственно левой) производной функции у = Х(х) в точке хо и обозначается Х'(хе+ О) (соответственно Хн(ха — О)). Если существуют ~'(хо + О) и ~'(хо — О) и они равны, то существует Х'(хо), и она равна Х'(хе + О).
Обратно: если существует Х'(хо), то существуют Х'(хо + 0) и Г(хе — 0), причсзи Х" (хо + 0) = У'(ха — 0) = = Х (хо). з 1. Производная функции 67 6. Правила дифференцирования. Теорема 2. Если и(х) и тцх) имеют производные в точке хе, то сумма, разность, произведение и частное этих функций 7частное при условии с(х) у': 0) ьпакзке имеют производные в точке хо, причем в точке хо справедливы равенсгпва (и+о) =и +с, (и) и с — ис 1ис) = и о+ ис, 1'(хе) = у~'(Р(хо))~р'(хе).
(2) Физическая интерпретация формулы 12): производная д'1хе) есть скорость изменения переменной г по отношению к изменению перелзенной х, а пРоизводнал ф'(ге) скоРость изменениЯ пеРеменной У по отношению к изменению переменной й Ясно, что скорость р'(хе) изменения переменной у по отношению к изменению перелзснной х равна произведению скоростей УУ(1е) и Чз'Осе). (Если 1 "движется" быстрее х в к раз, а у быстрее т в! раз, то у "движется" быстрее х в Ы раз.) 9.
Производная функции, заданной параметрически. Пусть фушсции х = Ч 11), у = ф(Г) Р) определены на некотором промежутке изменения переменной й которую назовем параметром. Пусть функция т = чз(т) является строго монотонной на этом промежутке. Тогда сушествует обратная функции 1 = р '(х), подставлня которую в уравнение у = удг), получим У = фМ '1х)) — = У(х) 7. Производная обратной функции. Теорема 3.
Есси функция у =17х) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки хе, имеет производную в точке хо и ~'(хо) ф О, то существует обратная функция х = /' ~(у), кото- РаЯ опРеделена в некотоРой окРестности точки Уо = 1(хо) и имеет производную в тпочке уо, причем У Ьо)) = (1) Физическан интерпретация формулы (1): производная 17 1уо)) есть скорость изменения переменной х по отношению к изменению пеРеменной У, а 1'(хо) — скоРость изменениЯ пеРеменной У по отношению к иззиенению переменной х.
Ясно, что эти величины являются взаимно обратными. 8. Производная сложной функции. Теорема 4. Если функция 1= р(х) имеет в точке хо произоодную ~о'(хе), а функция у = Уз(1) имеет в точке Го = 77(хе) производную ф'1ье), то сложная функция у = зд7р7х)) = 7'7х) имеет производную в точке хо, причем Гл. 1Г Производные и дифференциалы Таким образом, .переменная у является сложной функцией переменной х. Задание функции у = 1(х) с помощью уравнений (3) называется яараметричеснилс Уравнения (3) можно интерпретировать как зависимость координат точки, движущейся на плоскости (т,, у), от времени й При такой интерпретации график функции у = г(х) представляет собой траекторию точки.
Если функции х = р(1) и у = ф(1) имеют производные р'(1) ф О и 1П(1), то функция у = 1(х) также имеет производную, причем , з (4) Заметим, что существование производной ф(1) определенного знака является достаточным условием строгой монотонности функции х = цз(1) и, следовательно, существования функции у = 1(х), заданной параметрически. 10. Производная вектор-функции. Если каждому значению переменной 1 Е Т (Т вЂ” некоторое числовое множество) поставлен в соответствие некоторый вектор г, то говорят, что на множестве Т определена вектор-функция г = г(1). Определение.
Вектор а называется пределом вектор-функции г = г(1) в точке 1о, если 1пп [г(1) — а[ = О. Зоао Определение. Производной вектор-функции г = г(1) в точке 1 называется 1пп — (г(1 + Ь1) — г(1)) (если он существует). 1 ал — зо ллг Производная вектор-функции г(1) обозначается г'(1). 11. Физический смысл вектор-функции и ее производной. Положение точки Л1 в пространстве можно задать тремя ее координатами или вектором г = ОЛ1, начало которого совпадает с началом координат, .а конец -- с точкой Л1 (рис. 2). Если точка ЛХ двизкется, то вектор г изменяется в зависимости от врезлени й Таким образом, движение точки можно описать вектор-функцией г = = г(1), где 1 изменяется на некотором отрезке [а, 6]. Множество концов вектора г(1) (где1 Е [а, 6)) представляет собой траекторию движения точки (оно называется также годографом вектор-функции г = г(1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
