В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому достаточно построить график первой функции, а затем, воспользовавшись симметрией, построить всю кривую. Итак, задача свелась к построению графика явной функции у = згп х, которую запишем в виде з 1 1 у = — — — соя 2х. 2 2 Эту функцию исследуем по вышеизложенной схеме. 1'. Имеем Р(у) = Л. 2'. Функция у(х) периодическая с периодом Т = л. Поэтому чтобы построить график функции, достаточно рассмотреть отрезок оси Ох длины к, например [ — к/2, к/2]. Так как у(;г), кроме того, является четной, то можно ограничиться сегментом [О, л/2]. 3'.
Найдем нули функции на сегменте [О, л/2]; илсеем ! 1 — — — сов 2х = 0 2 2 при х, = йл, й е У, но из всех этих решений сегменту [О, л/2] принадлежит только х = О. Функцин не имеет точек разрыва. На промежутке (О, л./2] функция поло!кительна. 4'. Находим у' = зш2х. На сегменте [О,л/2] производная равна нулю при х = 0 и х= л/2. Лалее, у' > 0 при 0 <х < г/2, у' <0 при х < 0 и х > г/2. По теореме 3 функция имеет локальный максимум в точке л/2, причем у(л/2) = 1, и локальный минимум в точке х = О, причем у(0) = О.
Весь сегмент [О,л/2] является промелсутком возрастания функции. Гл. иГГ Графики функций 136 5'. Имеем уи = 2соа2т. На сегменте ~0,я/2) вторая производная обращается в нуль при х = х/4. При переходе через эту точку ун меняет знак. Значит, по теореме 7 график функции имеет в точке (х/4,у(х/4)) = (х/4,1/2) перегиб. Таким образом, можно построить следующую схему: о 4. к/2 у х пип Р' саах х Считывая информацию со схемы, строим график функции на сегл4енте ~0, к/2] (рис.
8). Используя четность функции, достраинаем ее О л х х 4 2 2 4 4 2 рис. а рис. а график на сегменте ~ — л/2,х/2) (рис. 9). Учитывая периодичность функции, строим ее график на всей области определения (рис. 10). !'ис. 10 Е'ис. 1! Наконец, учитывая симметричность исходной кривой относительно оси Ох, получаем всю кривую (рис. 11). а Вз. Кривые, заданные параметрически 137 Задачи и упражнения для самостоятельной работы Постройте графики следующих нвных функций.
1. у = 1 Ч- хг — 0,5хз. 2. у = (х + Ц(х — 2) . 3. у = 0,4Х вЂ” 0,5хз + 0,1Х'. 4.у=(1 — х ) 5. р = хд(1 -|- х) 6. у = (1 Ч-х)~(1 — х) 4. 7. у=х (х — 1ЯхфЦ 8. у = х(1 — хг) 9. у = 2х — 1 ф (х + Ц 10. у = — "',*. сов зх 2 11. у = агссов 12. р = агсвш(гдп х). ) Ехг 13. у = сдп(агссдпх). 14. у = вхсгй (18х). 15. у = пгс18(1))х).
16. у = (х -~- 2)в'7'. = О. )л х*тт — * — 7т) .. = зр — г — " — ). 19 у (х+2)ггз (х 2)ггз 20 у (х+цггз Ь(х — цггз Постройте кривые, заданные следующими уравнениями. 21. у = Зхг — х~. 22. у = (х — Ц(х — 2)(х — 3). 23.
уг = (х — 1Пх ж Ц-'. 24. у = хг(1 — х)(1-~- х) 25. у' = ху(х+ Ц. 26. хг(у — 2) + 2ху — уг = О. 3 2. Исследование плоских кривых, заданных параметрически Схема исследования кривой Параметрические уравнения плоской кривой имеют вид х = х(1), у = у(4)) 1 б Т. Исследование и построение такой кривой можно провести по следующей схеме. 1'. Найти множество Т общую часть областей определения функций х(г), у(1) (если множество Т не задано), отметив, в частности, те значения параметра 1, (нключая 1, = хоо), длн которых хотя бы один из односторонних пределов 1цп х(1), 1пп у(1) равен +ос г-)гово ' г-зг,хо или — оо.
2'. Установить, обладает ли кривая симметрией, позволяющей сократить выкладки. 3'. Найти нули функций х(1), р(1) и области знакопостоянства этих )функций. 4'. Найти точки ры в которых хотя бы одна из производных х(1), д(1) равна нулю или разрывна. Заметим, что точки 1„отмеченные в п. 1', и точки 11., найденные в этом пункте, разбивают множество Т па промежутки знакопостоннства производных х(1), у(г). Поэтому на кажДом таком пРомежУтке (1р,1р+1) фУнкЦиЯ х(з) стРого монотонна, и, следовательно, система уравнений (Ц на интервале (1р,1р~ 1) Гл. $71. Графики функций 1ЗВ задает параметрически функцию вида у = 7(х) (см.
2 1 из гл. 11'). Производные этой функции выражаются по формулам у(г) з йг(~ ) х(1) х(1) Часть кривой, соответствующую изменению параметра 1 от 1р до 1 жы будем называть ветвью кривой. Каждан ветнь кривой является графиком функции нида у = 7(х). 5'. Найти точки 1, в которых 1"и = О. 6'. Составить таблицу следующего вида: Здесь в первой строке записываются промежутки изменения параметра 1, граничными точками которых 1р и грж~ служат точки, найденные в пп.
1', 4' и 5'. Во второй и третьей строках таблицы приводятся соответствующие промежутки изменения переменных х и у. В последней строке таблицы указывается знак 7Р, определяющий направление выпуклости графика соответствующей ветви кривой. 7'. Пользуясь таблицей, построить нетни кривой, соотнетствующие промежуткам (1р,1 за). Замечание 1.
В п. 1' схемы можно найти асимптоты криной (если они имеются). Для этого надо иметь в виду следующее: а) если при 1-э гр (1-э гр+ 0 или 1 — г гр — 0) х э хо, а у — э ж, тех =хо вертикальная асимптота кривой; б) если при Г -э Гр (Г -э Гр -~- 0 или 1-э гр — 0) х э ес, а у -+ уа, то у = уа горизонтальная асимптота кривой; в) если при à — р Гр (Г -э Гр -~- 0 или à — р à — 0) х — г со и у э ос, то возможна наклонная асимптота, нахождение которой нале провести в соответствии с теоремой 1. 3 а и е ч а н и е 2. При изучении симметрии кривой (и.
2' схемы) следует иметь в виду четыре случаи, когда вместо всей области определения Т достаточно рассмотреть лишь неотрицательную ее часть: э) рг ц Т: х(г) = х(-г), у(г) = -у(-г) (симметрнл относительно оси Ох): б) Ф 0 Т: х(1) = — х( — 1), у(1) = у( — Г) (симметрия отвосительно оси Оу); в) рг Е Т: х(Г) = — х( — Г), у(1) = — у( — 1) (симметрия относительно начала коорлинат); г) чг 0 Т: х(1) = х( — 1), у(Г) = у( — Г) (наложеаие). Замечание 3. Если Гр тачка., найденная в и.
4' схемы, и если на интервале (Гр иГры) х(1) сохраняет знак, то на этом интервале система уравнений (1) задает лараметрически функцию вида у = г(х), для которой точка х(Гр) являетсн точной возможного экстремума. является ли х(1 ) точкей экстремума функции у = Г(х), можно определить, рассмотрев изменение у на интервалах (Гр. В гр) и (гр,Грм). 42. Кривые, заданные параметричесни 3 а м е ч а н и е 4.
В процессе исследования кривой можно обнаружить одну из характерных особых точек кривой, заданной параметрически, . -. точку возврата (слз. пример 2 на с. 140). Контрольные вопросы и задания 1. Кан вычисляются производные функции, заданной параметричоски'! 2. Кривая задана параметрически: х = в1пз й у = сочз й Какой промежуток достаточно рассмотреть, чтобы при изменении параметра 1 на этом промежутке точка (х(1), у(1)) оказалась а каждой точие кривой только один раз? 3. Как найти всимптоты кривой, заданяой параметрически? 4.
Кан исследовать и использовать симметрию кривой, заданной параметрически? б. Сформулируйте веобходимое условие локального экстремума функции, заданной параметрически. 6. Приведите схему исследования и построения кривой, заданной параметричесни. Примеры решения задач 1. Построить кривую, заданную параметрически; — 1 — 1 Ь 1'. Имеем 1Е ( — оо,-1) О( — 1,1) 0(1.,+ос), х Е (О,+ос) 0 ( — ос, +со) 0 ( — со, 0), у Е ( — сю, — оо) 0 (+со, — сс) 0 (+со, +ос). Отсюда следует, что х = О вертикальная асимптота кривой, а при 1 -э — 1 и 1 — ~ 1 возможны наклонные асимптоты. Действительно, !пп д = 1шл (1 — 21 ) = — 1, 11ш (у+х) = 11гп 21= 2. е-л~со х Е;л1~0 х — з~сю л — злого Аналогично находятся пределы при 1 — ~ — 1: 1шз У = — 1, 1пп (у+х) = — 2.
Итак, кривая имеет дне асимптоты: у = — х+ 2 и у = — х — 2. 2'. Так как х(1) = — х( — 1), 1з(1) = — д( — 1), то кривая обладает симметрией относительно точки 0(О,О). Поэтому достаточно рассллотреть далее множество М = (О, Ц 0 (1, +ос). 3'. На множестве ЛХ х(1) = О при? = О, у(1) = О при? = О, С = 1/лГ2.
4'. х(Х) = ... у(1) =,, На множестве М х(1) > О, 21' — Орз Ч- 1 а д(1) = О при 1, = О 5Ъ~5 — ~~7 = О 47 и 1з = 05 лзз5 +лзз? 7 = 1 51. Ггь 4гфй Графики функций 140 й у 2,4 31 .Ь1 н — й1(У ) — 4111 — 1г)413+ 14) 1+14 г 11 Ь1г)з сюда Гн < 0 при 1 ~ ~0, 1), Гн > 0 при 1 Е 11, оо). 6'. Составим таблицу: 7'. Строим часть кривой, соответствуюп1ую мноигеству ЛХ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
