В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. / сов11 ) сй не выражается через элементарные о функции. Это, однако, не номе~пало вычислению искомого предела. А 2. Найти первообразную кусочно непрерывной функции У(х) = ~ ' х Е ль. ) 1 при (х~ <1, 10 при ~х~ ) 1; лУ Одной из первообразных является инРнс. 15 теграл с переменным верхним преде- лом, причем в качестве нижнего предела интегрирования можно взять любое число, например х = — 2. Итак, О при х( — 1, йх)= /~ф<Ю= х+1 при — 1<х<1, — з 2 при х)1 (рис. 1о). А соахдх З. В„„,г.„Х =) ° а ° ьи -анто ° Лу НЕ- 2 Я.
Форлгула Ньютона — Лейбница ш7 х = л/2. Разобьем сегмент [О,я[ на два: [О,гг/2[ и [я/2,я]. Полагая на первом сегменте Д(л/2) = 1, получим интеграл от непрерывной функции / = 1; л72 / '[о о На втором сегменте положим /(гг/2) = — 1 и снова получим интеграл от непрерывной функции / = — 1: 12 — ( Ц глх— 2 л72 Окончательно имеем 11 + 12 — — О. 11 с и особ. Воспользуемся расширенным определением первообразной. Функция Е(х), удовлетворяющая этому определению, имеет вид х при О < х < я/2, Н( ) = я — х при я/2 <х<гг.
В самом деле, г'(х) непрерывна на [О,я[ и Г'(х) = /'(х) Чх Е [Ол я[, х ф я/2, т. е. Г'(х) = /(х) в точках непрерывности /(х). (Напомним, что х = гг/2 — точка разрыва /(х).) Согласно формуле Ньютона--Лейбница, справедливой для кусочно непрерывных функций и расширенного определения первообразной, получаем 1=~/(х)Л =Н(х)[ =„х[, л х[а а О Л а Следующие два примера показывают, что формальное применение формулы Ньютона -Лейбница (т. е, использование этой формулы без учета условий ее применимости) может привести к неверному результату. 1 г 11х 4.
Рассмотрим интеграл / . Взяв в качестве первообразной о подынтегральной функции /(х) = 1/(21/х) функцию е(х) = 1/х и формально применив формулу Ньютона. Лейбница, получим Однако этот результат неверен, так как функция Д(х) = 1/(2т/х) не 1 ах ограничена на [О., 1[, и, следовательно, интеграл / — не существует. ,/ 21/х о Гл.
Ъ111. Определенный ингпеерал 158 5. Рассмотрим интеграл На первый взгляд может показаться, что функция агой(1/'х) яв- / 1г ляется первообразной подынтегральной функции — ( агсьй — ), и тог- да х 1 да по формуле Ньютона Лейбница получаем 1 1 гг / п1 гг 1 = агсцй— х 4 (, 4) 2 Однако этот результат неверен, поскольку функция агс1~(1/х) е б не является первообразной для д/ 1г Рис. 16 — [ агс1я — ) на сегменте [ — 1, Ц. дх В самом деле, на рис. 1б, а изображен график функции агстх (1гх).
Наглядно видно, что эта функция имеет в точке х = О разрыв 1 рода, в то время как первообразная по самому определению должна быть непрерывной во всех точках. Чтобы вычислить интеграл 1, заметим, что 1 д 1 ~ —,, при ге~О, — (агсгя — ) = 1+хе це определена при х = О. Доопределяя эту функцию в точке х = О по непрерывности, получим непрерывную функцию 1(х) =,, х Е [ — 1,1]. 1 1 + хе ' Первообразной для Г"(х) является Е(х) = — агстях, поэтому по формуле Ньютона- Лейбница имеем л / з'г гг 1 = — агстхх[ = — — + [ —— — 4 [, 4) 2 Отметим, что первообразную для /'(х) можно построить также с помощью функции агс1я (1/'х), а именно: Ф(х) = —.г/'2 агстя (1ггх) при — 1 < х < О, при х=О.
агсгя (1Ггх) — л при О < х < 1. График Ф(х) изображен на рис. 16, б. По формуле Ньютона — Лейбница 4 Я. Формула Ньютона — Лейбница снова получаем 6. Применяя подходящую замену переменной, вычислить а 1 = /хаут~ — хз Нх. о Ь Положим х = аяпй 0 < 1 < я/2. Такан замена переменной удовлетворяет всем условиям теоремы 4. Так как у'аа — хз = асоз1, е1х = асоа1е11, то а~а е/3 „е/З 1 = и / яп 1созз1М = — 1 апг 21М = — I (1 — сов41) еИ = 4 / 8 у о о о е/З = — ~1 — — яп41] = —. А 8 '1' 4,], 10 Следующий пример показывает, что формальное применение формулы замены переменной (без учета условий ее применимости) может привести к неверному результату.
1 йх х 7. Если в интеграле 1 = й1 = — сделать формально замену ,/ 1жхе 2 переменной х = 1/1 и написать 1 = 1,."„', (-И =-1,."'; =--, то получается, очевилно, неверный результат. Ощибка связана с тем, что изменению х сегменте ( — 1,1] соответствует изменение 1 = 1/х не на сегменте ( — 1,1], как написано в равенстве (2), а на объединении полупрямых ( — со, — Ц и (1, +со). Тем самым указанная замена переменной не удовлетворяет требованиям теоремы 4. зе йх 8. Вычислить 1 = / 1+ 0,5соех о 1 Ь Подынтегральная функция г(х) = непрерывна на сег- 1+ 0,5саех менте (О, 2я] и, следовательно, имеет первообразную. Для нахождения первообразной функции Д(х) подходящей заменой переменной являетсн 1 = 18(х/2) (см. гл. 1е).
Однако для определенного интеграла 1 такая замена не удовлетворяет условиям теоремы 4, поскольку изменению х на сегменте (0,2я] пе соответствует изменение 1 на некотором сегменте; 1 = гя(х/2) — ~ +со ( — оо) при х -+ л — 0 (я+ 0). Поэтому воспользуемся указанной заменой переменной для нахождения уу. Форлула Ньютона — Лейбница а на [лг 2я] функция л ,()гГЗ2 — агсгб ( — Ге — ) гзз прн л ( х ( 2гг, прн х = л 2гг 2г1 4э = — -О+О-(- — ') = —. =.я (,,я) = я 9.
Вычислить 1 = / [)пх[Нх. 11г Ь Разбиван интеграл 1 на сумму интегралов по сегментам [1,ге, 1] и [1, е] (чтобы "освободиться от модуля") и применяя в каждом интеграле формулу интегрирования по частям, получим 1 г 1 г 1 = — / !и х г(х + / ! и х гГх = — х )и х [ Г, + / г(х + х )и х [, — /ггх = гГг 1 11л 1 = — — + (1 — — ) + е — (с — 1) = 2(1 — — ) . а 10. Вычислить 1=) ',, г(х. хгйпх ,) 1 + сояо х о 2з Применим формулу интегрирования по частям: л л 1 = — ) х, = — /хгГ(агсяд(соях)) = а(соя х) ) '1- с.И* о о а г Г а1 7Г = — хагсяй(соях)[ + ) аггфп(соягг) ггх = — л[ — — 21 — О+ 11 = — + 11, о ) ' ''' [, 4) 4 о где 1, = / агсьп(соях) г(х.
о Чтобы найти 1,, заметим, что график функции 1(х) = агс1д (соя х) центрально симметричен относительно точки (лГ2, 1(пГ'2)) = (л)2, 0). Поэтому интегралы от этой функции по сегментам [О, пГ'2] и [лГг2, т] равны по модулю и противоположны по знаку, а значит, в суьгме равны нулю, т.
е. 11 = О. Этот гке факт можно установить таким образом: разобьем 11 на два интеграла по сегментам [О, лГ2] и [л)2, л] соответственно и во втором интеграле сделаем замену переменной Я Б.Ф. Бутузов и др. (Е~ (х) получается нз Ф(х) при С = О с помощью доопредслепия Ф(х) в точке х = л по непрерывности слева, а Еэ(х) справа). В этом случае, применяя формулу Ньютона-Лейбница к каждому из интегралов, получаем 1 = И(х)[ -1- 32(х)[ = Гг(а) — 1г(0) Ь Нз(2а) — Гз(а) = Гл. Ъ/Н. Определенный интеграл х = гг — й Получим л/2 1! — — / вгссй(созх) с[х+ / нгсь8(созх) ггх = л/г л/г о / вгсСВ(созх) г)х+ / вгс18( — сов!) ( — г(!) = о л/г л/2 л/г / нгс18(сочх) г(х — / вгс18(соз/) г/! = О. о а Итак, 1, = О, повтому 1 = нг!'4.
д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 14. Найдите производные: а) — / зйп(хг) дх! б) — / згп(хг) дх; в) — / гйп(х ) дх! дх дл да г з ) —.'..//Г""" ) Й1 /1 '. ) Х1~ е а г з з з дх/,/!.Ьхг' дх/ з/Гл.!г' ды/,/Г+,т' г гг з з к) — / ! л) — / д! //,/1 Ч. !4' дл,l г/хг ! !!' г 15. Вычислите интегралы: з г г ! — б) /['-*["" ) 1.г 2.с (О(".)- зь! е "! 16. Объясните, почему фармальаое применение формулы Ньютона — Лейбница приводит к неверным результатам, и вычислите, используя первоабразную для кусочно непрерывной функции или разбивая на части промежуток интегрирования, следующие интегралы: /' '; ~ ( ' ) г. ! сагах(2Н- гягх) 1 дх ~Г-Ь2!/ / й — 1 г (хг при 0(х(1, 17.
Вычислите /1(х) дх, где 1(х) = Р ' двумя [ 2 — х при 1(х(2, е способами; а) используя первообразную для 1(х), построенную на всем сегменте [0,2[; б) разбивая сегмент [0,2) на сегменты [ОгЦ и [1,2). 18. Применяя формулу интегрирования по частям, вычислите следующие интегралы: ! г г ! а) / хе "дх; б) /х созхдх! в) / агссоьхдх. а а е у Я. Фор7нула Ньютона — Лейбница 163 24. Вычислите интегралы 1 з а) / ™~; б) /(х1пх)2йх; в) / агсяп, ! ах! г ! „. ! 1' 'у ~+х — 1 1 о 2 ?2 йх г),; д) / япхз1п2хяпЗхйх; l (2 1- соах)(3-!- сов х) ' о о е) /(хзшх)25?х.
о 26. Пользуясь формулой Эйлера с'* = соах+ 1'зпьх мнимая единица), покажите, что 2 /е' е ""*а. =(~ о при т фа, при ш=п ( ь ь ь используйте равенство / [2(х) + ьу(х)[ йх = / ) (х) йх -'г 1/ д(х) йх) . 26. Покажите, что ь«еа! «еьй о -1- 16 (используйте равенство е!ье'! !' = с~' . е'д'). 19.
Примення подходящую замену переменной, вычислите следующие интегралы: 1 0,75 ! 2 о з 20. Можно ли вычислить интеграл /х1?à — хо 7?х с помощью замены переменной х = ош?2 о 1 21. Можно ли, вычислян интеграл / у?1 — хо ах с помощью замены перео менной х = аш й взять н качестве новых пределов интегриронания числа: а) г и п7!2; б) 2п и бп,72; в) и и бон?!27 Вычислите интеграл в каждом случае, когда указенная замена допустима. 22. Докал1ите, что для непрерывной на [ — 1, 1[ функции Г(х) справедливо равенство: а) / 1(х)ь?х = 2 /7"(х)ь(х, если т'(х) четная функция., о б) /)'(х) ах = О, если Г(х) — — нече~ная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
