В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Итак, Я Х. д 2. Доказать, что интервал (0,1) = 1 и сегмент [О, Ц = Я эквивалентные множества: Х 5. /у Пусть Я множество всех рациональных чисел сегмента 5. Это внножество счетное (см. б 6 из гл. Н). Положим ь/ = Я'у Ц. Тогда 5 = ь/+ Я. Удалим из множества Я точки 0 и 1. Получим счетное множество Яз рациональных чисел интервала 1. Очевидно, 1 = 1/ь+ Ч-(). Так как (,1 и ь/ь счетные множества, то (,/ Щ. Отсюда следует. что Я+ (~ Я~ + ь/', т. е. Я 1. А 3 а м е ч а н н е. Из утверждений примеров 1 н 2 следует, что числовая прямая Хь (ьчножество всех вещественных чисел) имеет мощность континуума. 3.
Пусть открытое множество Е с [о,б). Доказать, что С = = [ан б[ ~ Е замкнутое множество. /у Нужно доказать, что С содержит все свои предельные точки. Из определения разности множеств следует, что ~/х б [а, б[ либо т, б Е, либо х 6 С. Пусть х предельная точка множества С, т.
е. в любой окрестности точки х имеются точки множества С, отличные от х. Очевидно, х б [а, б[. Докажем, что х б С. Предположим противное. Тогда х е Е, и так как Е открытое множество, то существует окрестность точки х, целиком принадлежащая Е. Следовательно, в этой окрестности точки х пет ни одной точки из множества С, но это противоречит тому, что х — предельная точка С.
Полученное противоречие доказывает, что х е С, и, значит, С -- замкнутое гиножество. А 4. Доказать, что множество ь/ всех рациональных чисел произвольного сегмента [а,б) измеримо, причем /ьЯ = О. /у Множество С) счетно, поэтому его точки можно запумеровать с Гл. 1Х. Мера и интеграл Лебега 1а2 помощью натуральных чисел. Зададим произвольное е > О и заключим первую точку множества Я в интервал длины е/2, вторую--- в интервал длины я/22,...,п-ю --. в интервал длины е/2" и т. д. Обьединение этих интервалов является открытым множеством С, мера которого рС<~ — '„= .
Ь вЂ”..1 В силу того, что я произволыю мало, отсюда следует, что рь/ = О. Так как [С '1 б/) С С, то у[С 11 Я) ( рС = рС < я. Это означает по определению, что Я измеримо, причем рЯ = Щ = О. В таком случае говорит, что множество Я имеет леру нуль. А 5. Пусть а -- произвольное число такое., что О < а < 1.
Построим два множества, Р и Е, с помощью счетного числа шагов следующим образом. Па первом шаге удалим из сегмента [О, Ц интервал Е, длины а/2, расположенный симметрично относительно середины сегмента [О, Ц (назовем такой интервал средним интервалом). На втором шаге из оставшихся двух равных сегментов удалим средние интервалы длины а/8 каждый. Обозначим объединение этих интервалов Е2,. длина Еа равна а/4.
На третьем шаге из оставшихся четырех равных сегментов удалим средние интервалы длины а/32 каждый. Обозначил1 объединение этих четырех интервалов Ез, .длина Ез равна а/8. На четвертом шаге из оставшихся восьми равных сегментов удалим средние интервалы длины а/128 каждый и т. д. Пусть Е = [] Еь, Р = [О, Ц '1 Е. 1=-1 Доказать, что: а) Š— открытое, а Р— замкнутое множество; б) 11Е=а, рР=1 — и; в) множество Р не содержит целиком ни одного сегмента; г) множество Р не содержит изолированных точек, д) се > О найдется множество Р' такое, что Р С Р' и О < НР'— — рР < е, е) множество Р несчетно. 2з а) Множество Е открытое, так как оно является объединением ин- тервалов.-- открытых множеств; мноньество Р замкнутое, поскольку является дополнением открыто~о множества до сегмента.
б) Так как множества Е1 [й = 1, 2, ...) не пересекаются, то в силу 11-аддитивности меры 11Е = ~~ рЕ1. = ~ ~— = о. 1=1 Л=1 Множества Р и Е по пересскаютсн, поэтому рР = у[О, Ц вЂ” рЕ = 1 — а. 41. Мера жножесжва лвЗ в) Предположим, что множество Р содержит целиком некоторый сегмент длины 1. Заметим, что в процессе построения множества Р после и-го шага удаления средних интервалов оставшаясн часть сегмента [О, Ц состоит из 2" равных непересекающихся сегментов. Длину каждего из них обозначим до.
Очевидно, г)о — т 0 при п, — г оо. При любом и множество Р содержлится в объединении указанных 2" сегментов. Поэтому сегмент длины 1, целиком содержащийся в Р, должен целиком содержаться в одном из указанных сегментов длины г)„, т. е. 1 < г)„. Но это противоречит тому, что г)„— ~ 0 при и — т оо. Итак., множество Р не содержит целиком ни одного сегмента. г) Коли бы множество Р содержало изолированную точку, то отсюда следовало бы, что при построении Р из сегмента [О, Ц удалены два смежных интервала [разделенных этой точкой). Однако любые два удаленных интервала разделены некоторым отрезком, а не точкой.
э д) Положим Р' = [О, Ц ~л [] Ел.. Очевидно, Р с Р', причем л — л СО [] Е )Р— МР = ~~', ллЕь = [] — = 2„. л=.ч-л л=-ач-л а=пел Отсктда следует, что Ча > 0 Лтл такое, что выполняется неравенство ! а 0 < ллР— ллР = — < ж 2о е) Счетное множество имеет меру нуль [см. пример 4). Так как ЛлР = 1 — а ф О, то Р несчетное множество. д Задачи н упражнения для самостоятельной работы 1. Докажите эквивалентность сведующих множеств: а) 11, 2, 3, 4, ...) и [2, 4, б, 8, ...); б) сегментов [О,Ц н [а, б]; в) интервала [а, б) н числовой прямой Я.
2. Докажите, что: а) бесконечное подмножество счетного множества также счетно; б) объединение конечного или счетного числа счетных множеств есть счетное множество; в) множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счетно; г) множество точек разрыва монотонной функции конечно или счетно. 3. Докажите, что множество всех вещественных чисел сегмента [О,Ц несчетно. 4. Докажите, что: а) если А -. бесконечное мноллество, В ..
конечное или счетное множество, то А + В А: б) если А - бесконечное мноллество, В . - конечное или счетное множество, А лВ бесконечное множество, то А ~лВ А; в) множество всех иррациональных чисел сегмента [О, Ц имоот мощность континуума; г) всякое бесконечное множество содержит часть, эквивалентную всему множеству. Гл. 1Х.
Мера и интеграл Лебега 184 б. Докажите, что для любых множеств А, В, С: а) (А+ В)С = АС+ ВС; б) А+ А = А; в) АА = А; г) А -~- ВС = (А ж В)(А -~- С); д) А = (А 1В) -~- (АВ), в частности, А = (А 1 В) ж (В), если В С А. 6. Пусть ЧЬ Аь СЕ, Аг = Е ~ч Аг . — дополнение. Аг до Е (число множеств 14 конечао или счетно). Докажите, что () Аь = () Аы 7.
Пусть замкнутое множество Ь С (а, Ь). Докажите, что С = (а, Ь) 1 Е открытое многкество. 8. Докажите, что множество ьг всех иррациональных чисел сегмента (ач Ь) измеримо, и найдите его меру. 9. Пусть Е ограниченное множество такое, что рЕ = О. Докажите, что Е измеримо, причем рЕ = О. 10. Докагките, что всякое подмножество множества меры нуль имеет меру нуль. 8 2. Измеримые функции Основные понятия и теоремы 1. Определение измеримой функции. Пусть функция 1(х) определена на измеримом множестве Е.
Символом (х б Е: 1(х) < г) будем обозначать множество всех таких значений аргумента т., принадлежащих множеству Е, для которых 1(х) < с (с число). Определение. функция 1(х) называется измеримой на множестве Е, если для любого числа с множество (х 6 Е: 1(х) < с) измеримо. Теорема 2. Для измеримости функции 1(х) на множестве Е необходимо и достаточно, чтобы для любого числа с было измеримо любое из следующих множеств; (х С Е: 1"(х) > с), (х С Е: 1(х) > с), (х с Е: У(х) < с). 2. Некоторые свойства измеримых функций. 1'. Если функция 1(х) измерима на множестве Е, то она излгсрихга на любом измеримом подмножестве множества Ь.
2'. Если функция 1(х) измерима на множествах Еы Ег, ..., Е„, то она измерима на их объединении () Ьь и пересечении () Еы Ь=ч ь=г 3'. Если функция 1(х) определена на множестве Е меры нуль, то она измерима на этом множестве. 4'. Если функции 1(х) и д(х) измеримы на множестве Е, то функции 1(х) + Л(х), 1(х) — д(х), 1(х)д(х) и 1(т)(9(х) (при условии д(х) ф у': 0) также измеримы на множестве Ь". 5'. Непрерывная па сегменте функция измерима на этом сегменте. Говорят, что некоторое свойство справедлино почти всюдл на множество Е, если множество точек из Ь', на котором оно не справедливо, имеет меру нуль. 92.
Измеримые функции Функции ?(х) и д(х), определенные на измеримом множестве, называются эквивалентными на этом множестве, если они равны почти всюду на нем. Обозначение эквивалентности: 7(х) — ф(х) на Е. Например, функции Дирихле ( О, если х — иррациональное число, ( 1, если х рациональное число; эквивалентна на [а,Ь] непрерывной функции д(х) = О, так как множество точек х сегьлента [а, Ь], в которых Р(х) ф д(х), является множеством Ц всех рациональных чисел сегмента [а, Ь], мера которого ?л?,) = О. Заметим, что функция Р(х) разрывна во всех точках [а, Ь]. Принедем еше два свойства измеримых функций. 6'. Если д(х) измерима на Е, ? (х) - д(х) на Е, то ? (х) измерима на Е. 7'. Теорема 3 (теорема Лузина, или С-свойство измеримых функций).
Для того чтобы функц я ?(х) была измер ма на [а, Ь], не; обходимо и достаточно, чтобы 1?г > О существовала непрерывная ка [а, Б] функция д(х) шакая, что?ч(х 6 [а, Ь]: ?(х) ~ д(х)) < г. Теорема Лузина означает, что любая измериман на [а, Ь] функция может быть сделана непрерывной путем изменения ее на множестве сколь угодно малой меры, т. е. измеримые функции в этом смысле близки к непрерывным функциям. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение измеримой функции. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
