В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 37
Текст из файла (страница 37)
20. Докажите, что всякая фунвция, интегрируеман по Риману на [а,Ь), является интегрируемой на[а,Ь) по Лебегу, причем интегралы Римана и Лебега от такой функции равны. 21. Докажите достаточность в теореме Ь, т. е. докажите, что ограниченная измеримая на множестве Е функция интегрируема по Лебегу на этом множестве. 22. Докажите, что имеет место следующий критерий иктегрируемости функций по Лебегу (аналогичный критерию интегрируемости по Риману): для того чтобы ограниченная на измеримом множестве Е функция была интегрируема по Лебегу на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы Чг > О существовало таное лебеговское разбиениеТ множества Е, для которого справедливо неравенство Бт — гг ( г. 23.
Докажите, что если функция г" (х) ограничена и измерима на множество Е, то продел ее лебеговских интегральных сумм при д -э О (б = шах (уь — дь ~)) равен интегралу Лебега от функции 1(х) по мно1<ь« жестну Е. ГЛАВА Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Л 1. Последовательности точек в ги-мерном евклидовом пространстве Основные понятия и теоремы 1. Понятие т-мерного евклидова пространства.
Совокупность т чисел называется упорядоченной, если указано, какое из этих чисел считается первым, какое --. вторым и т. д. Произвольную упорядоченную совокупность т чисел часто записывают в виде (хы хз, ..., х, ), где х~ первое число из совокупности т чисел, х, второе число и т. д. Ыножество всевозможных упорядоченных совокупностей т чисел называется т-мерным квврдинатныл~ пространппввм и обозначается К . Каждая упорядоченная совокупность (хы хз, ..., х ) называется точкой этого пространства и обозначается так; ЛХ(хы хз, ..., х ). При этом числа хм ха, ...,х называются координатами точки ЛХ. Расстоянием между двумя произвольными точками ЛХ~(хм ха, ...
..., х„,) и ЛХз(уы рз, ..., р ) координатного пространства Н"' называется число р(Мы ЛХз), опредсляемое формулой р(ЛХы ЛХз) = (р! — х~)з + (рз — хз)з + -"+ (рт — х, )з (1) Определение. Координатное пространство Нв' с введенным по формуле (1) расстоянием между точками называется гл-мерным ввклидввым пространством и обозначается Ев'. Отметим, что евклидово пространство Е' представляет собой числовую прямую (т. е. множество всех вещественных чисел) и геометрически изображается координатной прямой. Аналогично, евклндовы пространства Ез и Ез геометрически представляют собой соответственно плоскость и трехмерное пространство, в которых введены прямоугольные системы координат.
Формула (1) обобщает известную из аналитической геометрии формулу расстояния между точками на случай т;мерного пространства. 2. Множества точек пространства Е™. Пусть точка А принадлежит Е, Л вЂ” некоторое положительное число. Множество точек (М: р(ЛХ, А) < Л) (т. е. множество всех точек евклидова пространства Е'", удовлетворяющих условию р(ЛХ,А) < < 11), называется т-мврныл~ шаром радиуса Л с центром в точке А. Гл. Х. Функции нескольких переменных 192 Множество точек )ЛХ: р)ЛХ,А) < ХХ) называется открыть1м т-мери м шаром радиуса Й с центром в точке А. Множество точек ХЛХ: р(ЛХ, А) = ХЦ называется т-мерной сферой радиуса Л с центром в точке А. Отметим, что при т = 2 (тч е.
на евклидоной плоскости) эти множества представлнют собой соответственно круг, открытый круг и окружность радиуса В с центром в точке А. Открытый шар радиуса с с центром в точке А называется г-окрестностью точки А. Пусть точка А имеет координаты 1а1,аг, ...,а ), а а11,аг, ...,д„, -. положительные числа. Множество точек )ЛХ1х1,хз, ...,х ): ~х1 — а1~ < ~ (д1, )хг — аг! < йг,, )х — а ~ ~ (И,„) называется т-мврным параллелепипедом. При т = 2 это множество представляет собой прямоугольник. Пусть ХЛХ) -- некоторое множество точек пространства Е"'.
Определение. Точка А называется внутренней точкой множества )ЛХ), если существует в-окрестность точки А, целиком принадлежащая множеству )ЛХ), )тч е. все точки этой г-окрестности принадлежат множеству )ЛХ); рис. 23). Определение. Точка А называется граничной точкой множества 11ЛХ), если в любой г-окрестности точки А содержатся точки, Рис. 24 Рис. 23 как принадлежащие множеству )ЛХ), так и не принадлежащие ему 1рис. 24).
Отметим, что граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему. Определение. Множество )ЛХ) называется открытым, если все его точки внутренние. Определение. Множество )ЛХ) называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества )ЛХ) называется его границей. Определение.
Точка А называется предельной точкой множества )ЛХ), если в любой =--окрестности точки содержатся точки множества )ЛХ), отличные от А. Образно говоря, точка А называстсл предельной точкой множества )ЛХ), если ик точке А можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества ХЛХ) и не наступая на саму точку А." Отметим, ЗХ. т-мерпое евклидова пространство 193 что предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству. Множество (ЛХ) называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре. Множество Ь = (ЛХ(хмхз, ...,х,п): х~ = р«(Х) хз = 'чоз(1) хо, = ро,(1): а < 1 < 3), где рз (1), ..., у«„, (1) — непрерывные функции на сегменте [о, ХХ), называется непрерывной кривой в пространстве Е"1 Точки А(~рз(а), ..., у«„,(гл)) и В(у««(«3), ...,уо (д)) наз«лваются концами кривой Х,.
Говорят также, что непрерывная кривая Е соединяет точки .4 и В. Множество (ЛХ(хы хз, ..., х„„); х« — — хо + а«1, хз — — хо + озг, ... называется прямой в пространстве Ет. Очевидно, эта прямая проходит чеРез точкУ ЛХо(хо„хаз, ..., х,"„) (точка ЛХо соотнетствУет 1 = О). Множество (ЛХ) называется связным, если любые две точки его множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству. Окрестностью точки А называется любое открытое связное множество, содержащее точку А.
Открытое связное множество называют также областью, а объединение области и ее границы — замкнутой областью. 3. Последовательности точек в пространстве Е . Если каждому натуральному числу п поставлена в соответстние точка ЛХ„ е Е', то говорят, что определена последовательность точек пространства Е": ЛХы ЛХз, ..., ЛХ, ... Ее обозначают (ЛХп). О и р е дел е н и е. Точка А называется пределом последовательности точек 1 ЛХп), если 1пп р(ЛХо, А) = О. и — >ос Обозначение; 1пц ЛХп = А или ЛՄ— «.4 при п — «оо.
Последовательность (ЛХ ) называется при этом сходящейся к точке А (или просто сходящейся). Отметим, что определение предела последовательности (ЛХп) точек пРостРанства Ео' основано на понЯтии пРедела числовой последовательности: условие 1пп р(ЛХп, А) = О означает, что числовая и-чсс последовательность (р(ЛХп,.4)) сходится к пулю. Согласно определению предела числовой последовательности отсюда следует, что ча > О Лзч' такое, что «Хп > Л«; р(ЛХ„,А) < щ Геометрически это означает, что в любой е-окрестности точки А находятся все точки последовательности (ЛХп), начиная с некоторого номера Л«(зависящего, вообще говоря, от с). Л е м м а 1. Если (ЛХ,(х1«п«, х~з'ч, ..., х)п'«) ) — «А(ам аз....., а,п) при и -+ оо, (2) то (х, ~) — + аы (х«, ~) — + аз, ..., (х й) — «а при п — + гю.
(3) Обратна из (3) следует (2). 7 В.Ф. Вутузов и др. Гл. Х. Функции нескольких переменных 194 Эта лемма показывает, что сходимость последовательности точек )ЛХ„?х,, ....,хж )) эквивалентна покоординатной сходимости, т. е. (к) йй сходимости т последовательностей координат 1х, ),...,1х (и) ?и) О и р е дел е н и е. Последовательность 1ЛХэ) называется фунд ментальной, если У?г > О йМ такое, что Мп, > Х и любого натурального числа р выполняется неравенство р(ЛХэ, ЛХпч „) < г. Теорема 1 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность 1ЛХн) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Определение.
Последовательность 1ЛХк) называется ограниченной, если существует число В > О такое, что Уп: р(ЛХ„,О) < Л, где О точка, все координаты которой равны нулю. С геометрической точки зрения зто означает, что все точки последовательности 1ЛХп) содержатся в шаре радиуса Л,с центром в точке О (начале координат). Теорема 2 (теорема Больцано — Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности точек пространства Е можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определения: а) упорядоченной совокупности т чисел: б) гп;мерного координатного пространства; в) т-мерного евклидова пространства. 2. Дайте определения: а) т-мерного шара; б) открытого т-мерного шара; в) эп-мерной сферы; г) т-мерного параллелепипеда; д) г-окрестности точки. Докажите, что во всяком т-мерном параллелепипеде содержится некоторый т-мерный шар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
