В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Непрерывность функции 209 Очевидно, 1пп Ь,и = О., а это и означает, что г"(х,д) непрерывна в 'и. о точке 0(0, 0) по переменной х. Этот же факт легко обосновать, пользуясь другим определени- ем непрерывности функции по отдельным переменным. Рассмотрим функпило Дх, у) при у = О, т, е, Д(х, 0). Поскольку Дх, 0) = 0 во всех точках х, функция 1(х,О) непрерывна на всей оси Ох, в частности в точке х = О. Согласно второму определению непрерывности функ- ции в точке это и означает, что функция Дх, у) непрерывна в точке 0(0, 0) по переменной х. Аналогично можно доказать непрерывность 1(х, д) в точке 0(0, 0) по переменной у. Чтобы доказать, что функция Д(х,у) пе является непрерывной в точке О(0,0) по совокупности переьлеллных, используем результат примера 3 из 2 2.
В этом примере было доказано, что предел функции ,, в точке 0(0, 0) не сушествует. Отсюда следует., что функция у:у хе + уе г(х,д) не является непрерывной в точке 0(0.,0). а 3. Исследовать функцию и(х,у) = сов(х — у) — сов(х -Ь у) 2ху хуфО, 1, ху = О, на непрерывность по отдельным переменным и по совокупности пе- ременных в точках 0(0, 0) и И(1, 0). лх Применяя известную формулу для разности косинусов, запишем функцию и(х,у) в виде очах вшу и(ху)= х у т ~ ~ ~ ! ~ ~ У ~ ~ О !~ ,у = О.
1) Так как 1пп и(х,у) = 1пп — 1пп — У = 1 = и(0,0), е — ЬО к — ЬО Х у — ЬО У у — ьо то функция и(х, д) непрерывна в точке 0(0, 0) и, следовательно, непрерывна в этой точке по отдельным переменным. 2) Рассмотриы функцию и(х,О). Согласно определению имеем и(х,О) = 1 для всех х, и, следовательно, эта функция непрерывна в точке х = 1. Это означает, что функция и(х, у) аепрерывна в точке А(1, 0) по переменной х.
Рассмотрим теперь функцию 0 1п1 —, уф О, 01п у и(1,у) = У У=О. Так как 1пп и(1,у) = 1лш вш1 — = ып1 и': 1 = и(1,0), то функция у-ьо у-ьо У 210 Гл. Х. Функции нескольких керененних и(1, у) не является непрерывной в точке у = О. Это означает, что функция и(х, д) ве является непрерывной по переменной у в точке А(1, 0). Отсюда следует, что функция и(х, у) не является непрерывной в точке А(1, 0) по совокупности переменных, так как в противном случае в силу теоремы 6 она была бы непрерывной в этой точке и по переменной д. д х +у 4.
Доказать, что функция и(х,д) =, ограничена на мнохг + уг жестве й = ((х, у): 0 < хг + дз < Ц, и найти се точные грани на этом множестве. г1 Для исследования функции удобно перейти к полярным координатам х = рсоа ~р, д = рз1п р. Тогда 1 ° 2 и = рг(соа",р+ агпз,р) рг(г1 аунг 2р) 2 Так как уЛХ(х, у) 6 й выполняются неравенства 0 < рг < 1, 0 < 1— 1 г — — а1п уг < 1, то 0 < и < 1, т. е.
функция и(х,у) ограничена на множестве й. При р = 1, уе = О, т. е. в точке х = 1, у = О, функция п(х,у) принимает максимальное свое значение, равное 1. Таким образом, апра(х,у) = 1. й Так как, очевидно, и — > 0 при р — ~ О, то и(х, у) принимает сколь угодно малые положительные значения, т.
е. 'еа > 0 В(хо, уо) Е й такая, что и(хо, уо) < ю Отсюда и из неравенства и(х, у) > 0 следует, что гали(х,у) = О. й Отметим, что функция и(х, у) не достигает на множестве й своей точной нижней грани, т. е. ни в одной точке ее значение не равно нулю. Следовательно, функция п(х,у) не имеет на множестве й минимального значения, а 5.
Доказать, что функция и = х + 2д + 3 равномерно непрерывна на всей плоскости. Хл Воспользуемся определением равномерной непрерывности функции. Зададим произвольное а > 0 и положим д = е/3. Тогда уЛХ1 (хы у~ ), ЛХз(хг, дг), удовлетворяющих неравенству р(ЛХы ЛХг) = (хг — хг)з + (уг — дг)г < б, будут выполнены неравенства ~хг— — хг~ < д, ~дг — 1гг~ < О, и, следовательно, )п(Мг) — п(МЯ = ~хг + + 2уг — хг — 2дз( < (хг — хг! + 2)дг — уг) < д + 2д = ЗБ = ж Это по определению и означает, что функция и(х, у) равномерно непрерывна па всей плоскости. а 6. Исследовать на равномерную непрерывность функцию и = з з д, на множестве й = ((х, .у): 0 < хг + ух < 1). хз -~- уз г.'з Данная функция имеет более сложный вид, чем функпия в примере 5.
Поэтому исследование ее на основании определения равномерной 23. Некреуывноеть функции 211 3 а м е ч а н и е. Оказывается, что функцил и(х, у) лвллетсл равномерно непрерывной на всей плоскости. Однако обосновать это с помощью теоремы Каптера уже нельзя, так как плоскость неограниченное множество, и теорема Кантора неприменима. Равномерная непрерывность и(х, у) на всей плоскости будет доказана в 3 5 (см.
пример 8 на с. 233), где будет получено достаточное условие равномерной непрерывности функции. Задачи и упражнения дпл самостоятельной работы 18. Найдите точки разрыва следующих функций: а) и=; б) и=1п(4 — х — у ); хв -~- уе х в1п хе!и у г) и=в1п —: д) и= у' ху е) и =,,; ж) и = 18(х + у + в ). сове х — сове у ' 1 в) и= хв -~- ув — вв 19. Исследуйте следующие функции на непрерывность по отдельным переменным и по совокупности переменных: .вув а) и = хв.гу4' О, хвув б) и = хв Ь ув' О, х -~-у ~0, х4+ув 0 в точках О(0, О) и А(1, 2); х4 ьув~0 41940 в точках О(0, О) и А(10 ~,10 в): непрерывности представляет большие трудности.
Проведем исследование другим способом. Отметим, что функция и(х,р) непрерывна на множестве й, так как числитель хз + уз и знаменатель хв+ рз являются непрерывными функциями и хв+ рв ф 0 иа множество й. Но множество й нс нвллется замкнутым (поскольку не содержит точку 0(0, 0)), поэтому теорема Кантора непосредственно здесь не применима. Однако функцию и(х, у) мовкно доопределить в точке 0(0, 0) так, что она будет непрерывной в этой точке.
В самом деле, переходя к полярным гоординатам х = рсоа 12, .у = ра1п цв., получим и = р(сове се + +апз х), откуда следует, что и — ь 0 при р — > О, т. е. 1пп и(х, р) = О. в — ве у-эв Таким образом, если доопределить функцию и(х, у) в точке 0(0, 0), положив и(0, 0) = О, то функция и(х, р) будет непрерывной в точке 0(0, 0) и, следовательно, непрерывной в круге й = ((х, у): х- + рв ( ( 1).
Круг й ограниченное замкнутое множество. По теореме Кантора функция и(х, у) равномерно непрерывна в этом круге, а значит, равномерно непрерывна и в круге й с выброшенным центром 0(0, 0), т. е. на множестве й. а Гл. Х. Функции нескольких переменных 212 < .г+рг х -1- у ф О, в О, к+у=О, < , 2 г хг+уз ~ О, г 1рг' 1, х +уз=О, < е1пх -~-е144у х 4- у Р О, х -1- р 1, х-1-у=О, соз х — сое у х — р О, х — у=О, в)и= точках 0(0, 0) и А(1, — 1); г) и= в точках 0(0, 0) и А(0, 1); в точках О(0,0) н А( —, — — ); 13' 3/' д) и= /к к1 в точках О(0, 0) и А, 1Х-, -) н (,4 4) е) и= Аг(гг, к)? 20.
Ограничены ли следуюпгие функции а) и = хг — уг в круге ((х, у): хг -1- у ( 25); б) и = хг — уг ане круга ((х, у): хг -1- уг ( 25): 2152 в) и =, при хг-1-уг ф 0 (о и Ь числа); х2 1 уг соа(х + у) — сое(х — р) г?и= при ху х 01 хр е1п(х -1- р) — Е1о(т, — р) д)и= при ху ~ 01 ху 1и х — 1и у е) и= при хфу? х — у ее точные грани и установите, достигает ли функция своих точных граней: гг— а) и=, при х~ц-у Ф01 хг Ьрг 41ре б) и =,, па множестве ((х,у): 0 < х -1-уг ( 9); хг ж рг 2 г в) и= ' приходо-у ф01 ,44 1 р4 г) и = хус " на множестве ((х, у): х ) О, р ) 0); а(хг 4 рг) Ч-Ьег д)и= ', ',, прихг-1-р2-1-ггфО(а)Ь). х2 1 р2 1. 22 22. Пользуясь определением равномерной непрерывности, докажите рав- вомерную непрерывность функции на указанном множестве: а) и = ах + Ьу + с на всей плоскости Ег (а ~ О, Ь ф- О); б) и = хг+ уг в круге ((х,у): х + уг ( ц; ) =С +РЕЕ Е; г) и=тг — ргвквадрате((х,у): 1(х(2, 0(у(Ц.
23. Исследуйте функцию на равномерную непрерывность на указанном множестве: х4 + у4 а) и =, на многкестве ((х, у): 0 < хг + уг < 25); г Ьуг 21. 1(окажите ограниченность функции на указанном множестве, найдите Частные производные 213 мзх" -~- Рз б) н = ', на множестве ((х,у): 0 < х -!-у ~ (Ц:, 2 ч 2„2' в) и = ' на множествах й1 = ((х,у): 1 < ха+уз < 2) и йз = хзЧ Рз = ((х,у): 0 < хз +у < Ц; х -~-Р— з 2 2 2 г) и = на множествах йс = ((х,у,з): 10 <х -!-у + 2 < — 2 2 2 хз -1- Рз Е 22 < 100) и й2 = ((х,у,з) О < х2 + у2 + 2 < 10 2); 1 д) и = хе!в — на множестве ((х, у): 0 < х < 1, 0 < у < Ц; Р 1 е) и = хуз1п — на множестве ((х, у): 0 < х < 1, 0 < у < Ц.
Р О 4. Частные производные и дифференцируемость функции Основные понятия и теоремы 1. Определение частной производной. Пусть ЛХ(х1, ...,х ) внутренняв точка области определенна функции и = Х(хз,...,хт). Рассмотрим частное приращение этой функции в точке ЛХ(х1, ..., хт), соответствующее приращению Ь:с1.
аргумента хь. сь„и = Х(хз,....,хл .1,хь + 1ах1, хсе1, ...,хт)— — Х(хз,...,хь 1,хыхь 1,...,х ). Ьзьи Отношение является функцией одного аргумента Ьхь (при фикхь сированной точке ЛХ(хз,...,х„,)). Определение. Частной производной функции и = Х(х1, ..., х,„) Сзз и по аргументу ть в точке М называется !цп (сслн он сущестпзн — >е Ьхь вует). Эта частная производнан обозначается любым из следующих символов: — (ЛХ), — (ЛХ), из„(ЛХ), Х,н(ЛХ). Отметим, что при фиксиди дХ хь хв рованных значенинх всех аргументов, кроме хь, функция и = Д(х1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
