В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Х. Функции нескольких переменных ди ди Она обладает следующими свойствами: — )О, 0) = — (О, 0) = 0; в любой д. ' др ди ди точке М)х, 0) (х я' 0) оси Ох — = О, а — не существует; в любой точке д ' др дн ди М(0, у) )у ~ 0) оси Оу —, = О, а — ае существует: во всех остальных др ' дх ди ди точках плоскости †' = — = 0 (обосыуйте эти свойства).
Отсюда следе др ди ди дует, что частные производные †, и — непрерывны в точке О(0,0). дх др Вместе с тем функция и)х, у) разрывна в точке О)Об 0) (объясните, почему), и, следовательно, недифференпируема в этой точке. Объясните кажущееся противоречие этого примера с теоремой о достаточном услонии дифференцируемости. 9. Каков геометрический смысл дифференцируемости функции и = Г(х, у) в точке Ма(ха, уе)? Дайте определение касательной плоскости к поверхности и = 1(х, у) в точке А)а)хе, уа,?)хе, уа)) и запишите уравнение касательной плоскости в этой точке.
10. Сформулируйте теорему о дифференцируемости сложной функции и запишите формулу для вычисления частных производных сложной функции. 11. Что такое дифференциал функции и = 1)х), ..., х ) в данной точке? От каких аргументов он зависит? 12. Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала? Докажите инвариантность формы первого дифференциала, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции.
Примеры решения задач 1. Найти частные производные функции: ) =Ы)* б); б) .= /Р б б*'. а) При вычислении частной производной функции и = х" по аргументу х рассл)атриваем функцию и как функцию только одной переменной х, т. е. считаем, что у имеет фиксированное значение. При фиксированном у функция и = х" является степенной функцией аргумента х. По формуле дифференцирования степеьшой функции ди получаем — = ух" д. ди Аналогично, при вычислении частной производной — считаем, ду что фиксировано значение х, и рассматриваем функцию и = х" как дбб показательную функцию аргумента у. Получаем — = х" 1пх. ду б)лб б б °...
--*„° *бб =бй'ббе~*' являетсн сложной функцией аргумента х. Вычисляя производную этой функции аргумента х, получаем ди 1 х 2х = б* /3 б~ б Сб ~Я Частные производные Аналогично, ди ди лу ВТггс е' д,/,'тте "Р Отметиы, что полученные формулы теряют смысл в точке 010.,0, 0). Покажем, что в этой точке частные производные функции (*,уь)= (* ггь+ у *у .В ., (.,0 ° )= = ъ'хз = (х~.
Эта функция аргумента х, как известно, не имеет производной в точке х = О. Последнее и означает, что частная производди ная — в точке 0 не существует. Аналогично можно показать, .что дх ди ди частные производные — )и —, в точке О также не существуют. л ду дз Ф' точке 010,0,0), но ие диффереицируема в атой точке (поскольку не имеет частных производных в точке 0). Это доказывает, что непрерывность является только необходимым (теорема 12), но не достаточным условием Лнфференцируемости функции.
2. Доказать, что функция х -(-у и = хз -';у'г О, хз уг ~ О ха+у- = О, имеет в точке 010, 0) частные производные, но не дифференцируема в этой точке. сз Так как )л1х,0) = ~ ' ' т. е. и(х, 0) = х, то — 10,0) = Гхч х~ О, ди (1 ди = — и1х,О)~ = 1. Аналогично получаем — 10,0) = 1. Итак, функе=о ду ция и1х, у) имеет в точке 0 частные производные. Докажем, что функция и1х,у) не дифференцируема в точке О. Предположим противное. Тогда приращение функции я этой точке, равное гзи = и1Ьх,лху) — и10гО) =...
можно представить в Лх -(- Ь)г ,з .з гс луг г виде )зи = — 10,0) Риг+ — 10,0) лгу+ о1р), дх ' ду ди ди ,/Ы' + Ьг'. г ь - — (з, ° ) = — (з, з) дх ' ду ,з +,л,„з вия дифференцируемости получаем, = лхх+ Ьд+ о1р), или л.'зхз ж Ьуз зе з; + ь.*з, (,—; — --;) л)хы(л + Ьх лгу 11п) в ~о (л .г Ь туз)з(з лхп — )е Гл. Х. Функции нескольких пеуельеннььх 220 Покажем, что на самом деле этот предел не существует. Пусть Ьх и Ьу стремятся к нулю так, что Ьу = 12Ьх, 132 у= 0).
Тогда получим 1цп = 1пп ПхСкуг+ Пхгзу . Ах21122 + у) йг + у зьс-20 (1~хе -1. луг)3!2 зк ьо пх311 -~. уг)3!2 11 -~. уг)3!2 Пгь — ьо 123У=УЬ21 йг,'- й Так как величина, принимает разные значения при разных с1 + Уг)3/2 кь то указанный предел не существует. Отсюда следует, что сделанное предположение неверно, и, значит, функция и1х, д) не дифференцируема в точке О. а 3. Доказать, что функция 1хг+ уг) яп, хг+ у ~ О, и = 2 2 /хг ь 222 ' О, хг+у2=0, имеет частные производные в окрестности точки 010, 0) и дифференцируема в точке О, но частные производные не являются непрерывными в точке О.
2.'2 Во всех точках, кроме точки О, частные производные функции и1х, у) можно найти, вычисляя по обычным правилам производные функции 1х -~- у ) яп . Например, 2 2 Дг+уг' — (х,у) = ди д* = 2хаш +(хг+уз)соз ( — — )(х + уз) 3222х = игхг л Уг ь 2. „2 г = 2хзш — соз при 2 + у ~ О. Дг Ьгтг Г 2+ 2 /хг Ьуг В точке 010,0) эта формула теряет смысл. Однако зто не означает, ди ди что — 10, 0) не существует, поскольку выражение для — 1х, у) было дх дх получено при условии х +у ~ О. Для нахождения — 10,0) восполь- ,22, 2 ди дх зуемся определением частной производной. Так как О, т,=О, то .Ь .и = игах, 0) — и10, 0) =,Ьх~ яп .
Отсюда 1пп 1 ььг и Г22Ь-ЬО ЬХ 1 ди 1пп гзхяп — = О, т. о, — 10,0) =О. Аналогично можно доказать, о — ьо ~Ьх~ ' ' "дх Частные производные 221 ди что — 10,0) = О. Итак, функция и(х,у) имеет частные производные ду в окрестности точки О. Докажем, что функция и1х,у) дифференцирусма в точке О. Для этого нужно доказать, что схи = и1Ьх,Ьу) — и10,0) = 1ггхг + г 1 +ага) ' а . = — (з, з) в . + — ( ° , г) ь у + (~Р + аз*), ди ди дх ' ' ду ди, ди т, е, справедливо равенство (учитываем, что — 10, 0) = — 10, 0) = 0) дт, ' ду (в*'+вг') ' = (звг*+гзт) ьы з, и ° г (( + з ') ' 1ш д о гтр — )О = г,'а '+гз ин ' =г.
гхр- о Таким образом, функция и(х, у) дифференцируема в точке О. ди Докажем, наконец, что частная производная — 1х,у) не является дх 1 непрерывной в точке О. Очевидно, первое слагаемое 2хзш гхг + уг стремится к нулю при ЛЦх,у) — > 010,0). Второе же слагаемое а 1 — соз ~) не имеет предела при Лг 1х, у) схг+ г )сг ( г/ — р 010, 0).
В самом деле, если точка ЛХ(х, у) стремится к точке 010, 0) по лучу у = йх 1Л: ~ О, х ) 0), то на этом луче указанное слагаемое 1 1 равно — соз и, очевидно, не имеет предела при х — > О. р)1 + Лг х с)1 +тг ди Итак, предел — 1х, у) при Л41х, у) — р 010, 0) не существует. Следи довательно, †'1х,у) не являетсн непрерывной в точке О. Аналогично да ди можно показать, что — 1х, у) не является непрерывной в точке О.
ду Рассмотренный пример показывает, что непрерывность частных производных является только достаточным (теорема 13), но не необходимым условием дифференцируемости функции. а 4. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду и = = хг + Уг в точке Хо(1,2,0) и найти ноРмаль к паРаболоидУ в этой точке. Гл. Х. Функции нескольких переменных 222 дгг Хт Пусть ЛХо(1,2) --. точка на плоскости Оху. Так как — = 2х, дх ди ди , ди — = 2д, то — (Мо) = '2, —,(Мо) = 4.
Учитывая также, что и(Ме) = ду дх ду = 5, получаем искомое уравнение касательной плоскости 2(х — 1) + 4(у — 2) — (и — 5) = О, или 2х + 4у — и — 5 = О. Вектор п = (2,4, — Ц является нормалью к параболоиду в точке Уе. а 5. Найти частные производные функции и = Х(х,ху,хух) по аргументам х, у и х. 25 Данная функция янляется сложной функцией переменных х, у и х: и = Х(хг,хз, хз), где х1 = х, хх = ху, хз = хгух. Обозначим частную пРоизводнУю фУнкции и = Х(хм хз, хз) по аРгУментУ хг, чеРез Х,' (г = = 1,2, 3) (функции Х[ зависят от тех же аргументов, что и функция Х, т. е.
Х; = Х,'(х, ху, хуз)). Применяя формулу (4)г получим — — Л' +Хх д+Л ух, — =Хх х+Хз х, — =Ьз.ху.а ди г , , ди , , ди дх ' ду д, г 6. Найти дифференциал функции: а) и = е* +и +' в точке ЛХ(0, 1, 2); б) и = Х(х + у-', у+ хх) в точке М( — 1, 1). ди г г г ди ди г г г г5 а) Имеем — = е* ги ге . 2х, — (ЛХ) = 0; — = еи чи ь' 2у, дх ' дх ' ду ди, д.,' ° . д — (М) = 2е.', — = е' еи хг 22, — (ЛХ) = 4ез. Следовательно, гни[ = †'(М) дх + †(ЛХ) г1у + †(ЛХ) гЬ = 2 . е~г1д -~- 4е'г12. дх ду дл б) Запишем функцию и = Х(х + дз, д + хз) в виде и = Х(Г, о), где 2 .
2 ди ди г = х+ у, и = у+ хгч Вычисляя частные производные — и — по дх ду формуле (4), получим — = Хг(х + у', у + хх) 1 + Хи(х + уз, у + хх) . 2х,, дх — (ЛХ) = Хг(0,2) 2Хе(0,2), ду — = Хг(х + ух у + хх) 2у + Х.(х + у у + хг) 1 — (М) = 2 Хг (О, 2) + Хе (О, 2) . Следовательно, гХи[ = — (М) г(х+ — (ЛХ) Ыд = = [Хг(0,2) — 2Хе(0,2)) гХх+ [2Хг(Ог2) + Х„(0,2)]г1у. (7) Частные производные 223 Это зке выражение лля с)и[ можно получить другим способом, используя инвариантность формы первого дифференциала. В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем сХи[ы = Хс(0, 2)сХХ + Х„(0, 2)с(о, (8) где сХХ и сСо дифференциалы функций Х = т+ уз и и = у -Ь х- в точке М( — 1,1).
Так как — '(ЛХ) = 1, —,'(ЛХ) = 2, — (ЛХ) = — 2, — (ЛХ) = 1, дс дс до до дх ' ду ' дх ' ду то с)1[ = с)х + 24?у, асо[ = — 2сХх + с(у, и из равенства (8) получаем сХи( = Хс(0,2)(с(х+ 2сХу) + Хе(0,2)( — 24(х+ с)у) = = [Хс(0, 2) — 2Ха(0, 2)]с?х + [2Хс(0, 2) + Хо(0, 2)<с(у, что совпадает с равенством (7). д Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 24. Найдите частные производные следующих функций: а) и=х~+узч-Зх уз; б) и=хуз+ х ус в) и = е1п(хсд 4-уз); г) и =; Л) и = 18(х+ у) е'Чз; сое у ' е) и = агсасп; ж) и = агсгб —; з) и = ху1п(ху); х Р гхз 4 дз х' и) и= ( — ); к) и=в*?з; л) и=х"; м) и=х"у" 26. Существует ли частная производная — и функции и = 1 — хз — уз в дх точке (О, 1)? 26.
Исследуйте, имеет лн функция и(х, у) частные производные в точке О(0, 0) и лифференцируема лн она в втой точке, если: а) и = 4Хсхз+ у~: б) и = „сх4+ ус: в) и = ззху. г) и = Ьзссхзуз; л) и — т4 гх4 ь у4. е) сс — ьзссхЗ с уз. ж) и — 4сх4 ч у4. е СС' ~з С, х -1-у ~0, з О, х + у = 0; и) и = ьзсх оспу; к) и = зсу сбх; ( хс -~- Х з+„з О, хз ж уз = 0; О, [х[ -С- [у[ = О. 27. Для функций из упр. 26 исследуйте вопрос о существовании частных пронзволных в окрестности точки О(0, 0) и их непрерывности в точке О. 28.
Докажите, что если фуакции Х(х) и д(у) имеют произволные соответственно в точках хо и уо, то функции и(х,у) = Х(х)+д(у) и о(х, у) = Х(х) д(у) лифференцируеьсьс в точке (хо, уо). 29. Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности: а) и = ху в точке сзо(1, О, 0); б) и = х+ уз в точке Д(0, 1, Ц; в) и = хз -С-уз в точке В(1, — 1,0); г) и = гйп(ху) в точке С(1, зсХЗ, чсЗХ2); л) и = е"'тз в точке Х1(1, — 1, Ц. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
