В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 46
Текст из файла (страница 46)
*) Область С называетсн выпуклой, есяи для любых то ~си М! и Мг этой обяасти отрезок прялюй, соединяюший точки ъй и лхз, целиком принадлежит области пь например, круг и прямоугольник выпуклые обласзи на плоскости. Гл. Х. Функции нескольких пережеккых 234 Однако этому мешает тот факт, что функция и(х, у) не дифференцируема на всей плоскости, а именно не дифференцируема в точке О(0,0) (см.
пример 2 2 4). Тем не менее простые рассуждения позволяют обойти это препятствие. Если точки М1 и ЛХ2 таковы, что точка О не лежит на отрезке Л1,М», то разность и(ЛХ;) — и(ЛХ2) можно оценить с помощью формулы Лагранжа точно так же, как и в примере 7. Если же точка О лежит на отрезке ЛХ,ЛХз, то разность и(Мг) — и(Л12) следует заменить суммой двух разностей [и(ЛХ1)— — и(ЛХз)[+ [и(ЛХз) — и(ЛХ2)], пРичем точкУ ЛХз ныбРать так, чтобы точка О не лежала на отрезках ЛХ4ЛХз и ЛХзМ2. Далее, каждую из этих разностей можно оценить с помощью формулы Лагранжа. В любом слУчае полУчим [и(Мг) — и(Мз)[ < е, если Р(Мы Л12) < б = —, 4с' где с верхняя грань [и [ и [ик[. Это доказывает равномерную непрерывность функции и(х,у) на всей плоскости.
А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 38. Найдите частные производные второго порядка следующих функций: а) и=х +у 42х'у; б) и=ху з -~- .; в) а=соя(ху); уз»з' г) и = шп(х + ух); д) и = агссй †; е) и = »Ххз + уз егер; акт» ж) а = х"; з) и = ~ — '); и) и = ~ ~аьхь 4- ~ б,ьх,хь (аы Ь,ь --. числа). ЗЯ. Докажите, что функция и(х, у) = ' '' " имеет н тачне ~ — ху при [у[ > [х[ О(0, О) смешанные частные производные нторого порядка, но и»т(0, О) ф у-- и„(0, О). 40.
Докажите, что если функция и = 1(х, у) имеет в некоторой окрестности точки ЛХа(ха, уе) частные производные 1,(х, у), 1„(х, у), 1„,(х, у) и смешанная частная производная 1»»(х, у) непрерывна е ЛХ»», та в этой точке существует смешанная частная производная Хэ„и справедлива равенство 1»„(хе»уа) = 1»(ха, уо). 41. Найдите частные производные указааного порядка: дзи дзо а), и,, если и = ешау; дхз ду дх дуз ' де и л дзи б), осли и = х сову+ у соя х; к), если и, = с "', дх ду ' ддуд* дши . д 'ы'»» г),, если и = шпхсое2у; д),, если а, = х у"; дхл дуе ' ' ' дх"' ду" ' д е"и у е), если и = е 'з!4» у 4- е' соз —; дх"' ду" ' 2 ж),, если и = (х 4- у) Сях: з), если и = дхдуе' ' дх '»дк»Э" ' х — у 42. Найдите частные производные второго порядка следующих функций (функции 1 и д считаются два»кды дифференцируемыми): дд.
Частные проиэводныв высших порядков 235 а) и = /(х+ у,хе+ у ); б) и = / (ху, — 1; в) и = /(ху) д(хх); у/ г) и = 1п/(х,х-~-у); д) и = ) (а1пх-Ь сову); е) и = ]1(х)]лш~. 43. Докажите, что функция хе ( и= е л ', хуфО, О, ху= О, имеет в точке О(0, 0) частные производнью любого порядка, которые ае зависят от порядка дифференцировании, по при атом функция и разрывна в точке О. щ — хе~' 44. а) Докажите, что функция и = е лад~ (а и хе — числа) удон2а и/кг ди .,д' летворяет уравнению теплопроводностн — = ал —,.
дс дхз 1 б) дока/ките: функцин и = —, где г = (х — хе)з ф (у — уо)з + (з — о), дзи дли дзи удовлетворяет при г ф 0 уравнению Лапласа Ьи = — + — -'; — = О. дхз дул длз 45. В капском из следующих случаев проверьте, что данная функция удовлетворяет заданному уравнению, если г" и д -- произвольные дваькды дифференцируемые функции: д'и ., дз ° а) и = ((х — а1) -г д(х -~- а1), —, = ив дгз дхз ' дзи дзи дли б) и = х((х -~- у) + уд(х -~- у), — — 2,, -~- — = 0; дхз дх ду дул г) и =х"./( ы( + х "д~ ы), х —, + 2ху + у — =п(п — 1)и; д*' д д„' д„ ди дзи ди дзи д) и = /(х ф д(у)), дх дхду ду дхз 46.
Вычисляя частные производные первого и второго порядков и исключая производные функции ( и д (1 и д .. произвольные дважды дифференцируемые функции), составьте уравнение, которому удовлетворяет функция и(х, у), если: а) и = ((х) + д(у); б) и = ((х)д(у); в) и = 1(х + у) + д(х — у); г) и = 1(ху) Ч- д ( — 1. зу/ 47. Найдите решение и = и(х, у) уравнения д2„ з ди а) — = у, удовлетворяющее условиям и(0, у) = уз, — (О, у) = у; д. з дх дзи б) = — зш х, уловлетворяющее условиям и(0, у) = О, и(х, 0) = х; дх ду дзи д1/ в) и =1, удовлетворяющееусловиям и(х„О) =О, — (х,О) =х-~-1, дх дуз ' ду и(0, у) = у.
48. Для функций из упр. 35 найдите дифференциалы второго порядка в указанных точках. Гл. Х. Функции нескольких переменных 236 49. Найдите дифференциалы второго порядка слелуюших функций в указанных точках, если Х - - двагкды дифференцируеман функция, х, у, независимые переменные: а) и = Х(х — у, х -!- у) в точках М(х, у) и ЛХо(1, Ц; б) и = Х(х+ у, гг) в точках ЛХ(х, у, г) и ЛХо(1, — 1,0); в) и = Х(ху, х -!- уг) в точках ЛХ(х, у) и О(0,0); г) и = гйпХ(х) его! в точках ЛХ(х, у) и О(0,0). 50.
Найдите й" и, если: а) и = Х(ах Ч- Ьу ч- сг); б) и = Х(ах, Ьу, сг); х, у, незаписимые переменвые. 51. Разложите данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в данной точке ЛХо: а) и = (х — Цг -Ь (х+ у)г, ЛХо(0,0): б) и = х — 2у -!- х — Зху -!- 4у", Мг(1, 2); в) и = хг -!- уз -!- гз — Зху» ЛХо(1. 1 1). 52. Разложите данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в данной точке ЛХо до членов указанного порндка включительно: а) и = ьгТ вЂ” х — у, ЛХе(0,0), до членов второго порядка; б) и =!п(1-!- х+ у), Мо(0,0), до членов третьего порядка; в) и = (х+ у)а!п(х — у), Ме(0,0), до членов третьего порядка; г) и = е'сову, Мо(0,0), до членов четвертого порядка; д) и = х", ЛХо(1, Ц, до членов второго порядка; е) и = хгг', ЛХе(1,2, 1), до членов второго порялка. 53.
Исследуйте на ревномерную непрерывность на всей плоскости следующие функции: г а) и = в!ггхсозу; б) и = е ы э" г; в) и = тухг+ уз; хг— ,3! 3 х — У г+ г~б ( х ЭУ 4+ 4~0 г)и= хг гуг' ' д) и= Я4 ! у4 0 хгц уг — О. 0 хгг у4 0 'З О. Локальный экстремум функции Основные понятия и теоремы 1. Определение и необходимые условия локального экстремума. Пусть функция и = Х(ЛХ) = Х(хг, ..., хи,) определена в некоторой окрестности точки ЛХо(х,.....,х,„).
Определение. Говорят, что функция и = Х(ЛХ) имеет в точке ЛХо локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки Мо, в которой при ЛХ ф Лйо выполняется неравенство 1(ЛХ) < Х'(ЛХо) (.Х(ЛХ) > 1(ЛХо)) Если функция имеет в точке ЛХо локальный максимум или локальный минимум, то говорят также, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум). Теорема 21 (необходимое условие экстремума). Если функция и = Х(ЛХ) = Х(хы...,х ) имеет в точке Мо(хо„...,х",„) локальный эб.
Поколений экстремум 237 2 2 "+ а1тх1хт + а21е2г1 +а22г2 +" +атт1д~ ~П (или, в краткой записи, Я = ~ а,.х,х.), где а, Ьэ=-1 а, = а ц называется квадратичной формой от переменных х1, ...,х Числа а; называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих коэффициентов симь|етричная матрица а11 а11 ... а1 ~ о21 а22 " а2т а Ы атг " атее матрицей квадратичной формы. Определители а11 ... а11, о11 а12 дг —— , ..., де= а21 агг д1 = а11, аы " аьь а11 ... а1 6„, = ат1 " Ппт называются угловыми минорами матрицы .4. Квадратичная форма Я(х1, ..., х„,) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных х1,...,х, одновременно не равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения. экстремум и в этой точке существует частная проигводнол функции ди по аргументу хт то — (Мо) = О. дх1 Следствие.
Если функция и = )(Лй) = Дхы,,.,хы) имеет в тате Мо локальный экстремум и дифференцируелга в этой точке, то й~~м = д (Л211)ах~+...+ д (М11)ах =О мо дх1 ' "' дх„ (при любых значениях дифференциалов независимых переменных дх1, ..., ах~). Точки, в которых первый дифференциал функции равен нулю, принято называть точками возможного экстремума этой функции. Для отыскания точек возможного экстремума функции и = Д~х1, ... ...,хк,) нужно решить систему уравнений ~е,(х1,...,х ) = О, (х1, ...,х ) = О (это система т уравнений с т неизвестными Х1, ...,Х ). 2. Некоторые сведения о квадратичных формах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
