В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Х. Функции нескольких перел«еннь22 224 ЗО. Являетсн ли плоскость и = 0 касательной в точке О(0,0,0): а) к параболоиду вращении и = х' + у«; б) к конусу и = ргхз + уз; в) к гиперболическому параболоиду и = ху? 31. Найдите частные производные следующих сложных функций (функ ции 1 и д считаются дифференцируемыми): а) и = 2" (х + у, х + у«); б) и = 2" ( —, — 1; в) и = 2" (х — у, ху); хр х) г) и = 1(ху) д(у«); д) и = [1(х — р)[о е) и ((х у2 р х2 «,р) ж) и д( Гх« 4 уз /уз 4 «2 2««2 2~ х«) 32. В каждом из следующих случаев проверьте, что функция и(х, у) удав летворяет соответствующему уравнению, если 1' " - произвольнан дифференцируеман функция: 2 2 ди ди а) и= г"(х 4-у ), р — — х — =0: дх ду / р 1 ди ди б) и = х" 2" ( — ), х — + 2у — = пи; ( х«)' 2 2ди ди в) и=у1(х — у ), у — уху — =хи; дх 'ду у еде ди г) и = — +1(ху), х — — ху — -~- у = 0; Зх ' ' дх др / у « 1 ди ди ди л) и = х" г [ —, — ), х — ж оу — -~- д« вЂ” = пи; [,х 'хе!' а ар а хр /р «1 ди ди ди хр е) и= — '1пхч-хт[ —, — ), х — жу — ж« вЂ” =иж — '.
[,х' х)* а ар а ди ди ЗЗ. Вычисляя частные производные — и — и исключая производные дх ду функций 1 и д (1 и д — - произвольные дифференцируемые функции), составьте уравнение, которому удовлетворяет функция и(х, р), если: а) и = х+ )'(ху); б) и = хГ ( —,1; в) и = Г"(х — у, у — ); ~,рз) г) и =?(-, -); д) и = х Г Н + уд( — ) .
34. Найдите решение и = и(х, у) уравнения а 2 а) — = соя х -Ь ху, удовлетворяющее условию и(0, у) = у; дх ди 2 2 б) — = х + у, удовлетворяющее условию и(х, х) = 0: др ди / 11 в) — = е'" + у, удовлетворяющее условию и ~х, -) = 1. дх х Зб. Найдите дифференциал функции а) и = х«у в точяах М(х, у) и Мь(2, 1); б) и = — в точках М(х, у, «) и 2««(1,2, 3); х в) и = сое(ху 4- х«) в точках ЛФ(х, у., «) и ?2'(1, я/б, л/6); г) и = е*ь в точках М(х, у) и О(0, 0); д) и = хх в точках М(х,у) и Мо(2,3); е) и = х!в(хр) в точках ЛФ(х у) и Л1о( — 1, — 1). Хй.
Частные производные высших порядков 225 30. Найдите дифференциалы следующих сложных функций е указанных точках, если Х вЂ” дифференцируемая функция; х, у, г — независимые переменные: а) и = Х(х — у, х+ у) в точках ЛХ(х, у) и ЛХе(1, — Ц; б) и = Х(ху, — 1 в точках М(х, у) и Ми(0, Ц; у/ в) и = Х(хг — у,у' — ",г — хз) в точках М(х,у,г) и ХХ(1,1,Ц; г) и = Х(а1п х+ ат у, соз х — поз г) в точках ЛХ(х, у, г) и 0(0, О, 0). 37. Пусть и и и -- лифференцируемые функции каких-либо независимых переменных.
Докажите, что справедливы следующие пранила дифферендиропания: Ц д(си) = с ди (е - числа); 3) д(и — и) = ди — аи; б) д( — ) = (и~О). 0 5. Частные производные н дифференциалы высших порндков Основные понятия и теоремы 1. Частные производные высших порядков. Пусть функция ди и = Х(хы...,х,„) имеет частнук~ производную — (она называется дх; также частной производной первого порядка) в каждой точке некотоди рой окрестности точки ЛХ. Если — имеет в точке ЛХ частную проди, изводную по аргументу хь, то эта производная называется частной производной второго порядка (или второй частной производной) функции и = Х(хы ..., х ) по аргументам х„хь в точке М и обозначается одним из следующих символов: (М), (ЛХ), и,,„з(М)., Х,,г„(ЛХ). Если к ф з, то частнан производнан второго порядка называетсн гжешанной.
Если Хг = гэ то частнан производная второго порядка дги д'Х обозпачаетсЯ вЂ” или †,или их, или Х,з. дх,'. ' дхг: Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и т. д. Частная производная и-ге порядка (или и-я частная производная) функции и = Х'(хы ..., х„,) по аргументам хц, х„, ..., х,„обозначаетд" и, ся и определяется формулой дх„,дх,, ... дхи д дп — 1 дни 8 В.Ф. Бутузав и др. 226 Гл. Х. Функции нескольких переменных Если не все индексы зз, зз, ..., з„равны друг другу, .то частная производная п-го порядка называется смешанной.
Теорема 17. Если в некоторой окрестности точки Мо(хат до) функцшз и = Х(эту) имеетп смешанные частные производные Х „(хт у) и Х„х(х, у), причем эти смешанные частньзе проиэводньзе непрерывны в точке Мо, то они равны в этой точке: Хху(хо уо) = Ху: (хо уо). (1) Если равенство (1) выполннется, то говорят, что смешанные частные производные второго порядка функции и = Х(х,.у) не зависят от порядка дифференцирования в точке ЛХо(хо, уо). Обобщением теоремы 17 явлнется следующая теорема. Теорема 18. Если все смешанные частные производные п-го порядка функции и = Х(хз, ...,х„,) существуют в некоторой окрестности точки ЛХо и непрерывны в точке ЛХо, то они не .зависят в точке Мо от порядка дифференцирования.
Определение. Функция и = Х(хз,...,х ) называется дифференцируемой п раэ в точке ЛХо, если все ее частные производные (и — 1)- го порядка дифференцируемы в этой точке. Следуюшая теорема дает другое, нежели в теореме 17, достаточное условие для выполнения равенства (1). Теорема 19. Если функция и = Х(х,у) дважды дифференцируема в то'зке ЛХо(хо уо), то Хту(хо:уо) = Хух(хо уо). 2. Дифференциалы высших порядков.
Пусть функция и(х,у) независимых переменных х и у дифференцируема в окрестности точки ЛХо(хо;'уо) и дважды дифференцируема в точке ЛХо. Первый дифференциал функции т1и = — (х, у) Их + — (х, у) йзу ди ди дх ' ду является функцией четырех переменных: х, у, зХх и Иу, причелз ди ди †(хзу) и †(х,у) - дифференцируемые в точке ЛХо функции. дх "'' ду Второй дифференциал йзи (или дифференциал второго порядка) функции и(х,у) в точке ЛХо определяется как дифференциал в точке ЛХо со периш и дифференциала тХи прн следующих условиях: 1') ди рассматривается как функция только независимых переменных х и у (иными словами, при вычислении дифференциала от ди нужно рассматривать ах и ду как постоянные множители); ди дзз 2') при вычислении дифференциалов от — (х, у) и — (х, у) прирад* ' ду шенин независимых переменных х и у берутся такими же, как и в выражении для ди, т.
е. равными зХх и ду. На основании этого определения получается формула дэ д'и дз тХ и~м — — д,(Мо) йх + 2д д (ЛХо) дхду+ д з(ЛХо) ду, (2) дх ду ду' 45. Частные производные высших порядков 227 Дифференциал й"и произвольного и-га порядка функции и(х,у) определяется индуктивно по формуле йви = й(йв и) (3) при таких же двух условиях, что и дифференциал второго порядка.
Для й"и справедлива операторная формула гд д йои, = ( — йх+ — йу) и. 'хдх ' ду ') (4) где йхз = (йх)2, йуг = (йу)2. Формулу (2) можно записать в более д компактном виде. Для этого введем следующие понятия. Символ— дх будем называть оператором частной производной пв переменной х. При действии этого оператора на функцию и(х,у) получается новая ди функция -- частная производная †(х,у). Аналогично определяется дх д оператор — частной производной по у.
ду д д Определим степени и произведения степеней операторов — и— дх ду следующим образом: ( )= д;2 дз †) = †, "- оператор второй частной производной по х; при д*) д' д ее действии его на функцию и получается —,; дхз' дд д' оператор смешанной второй производной по у, х; д ду дхду ( )(.) = д чь с д х' д~'~ оператор смешанной производной дх ду дхь ду' (Й + 1)-го порядка 1 раз по у и к раз по х.
д д Символ й = — йх+ — йу назовем оператором дифференциала. дх ду При действии этого оператора на функцию и(х,у) получается дифди ди ференциал функции: йи = — йх + — йу. Определим и-ю степень опедх ду д д ратора дифференциала как и-ю степень двучлена — йх + — йу. В дх ду частности, при п = 2 получаем 7 д д тз д' д' д' йз = ( — йх+ — йу) =, йх+2 йхйу+ — йуз. Ь ду ' ) д ' д ду ' ду При действии оператора йи на функцию и получится, очевидно, второй дифференциал функции.
Таким образом, формулу (2) можно записать теперь в операторном виде: й и~зг = ( йх + йу) и~'м . Гл. Х. Функции нескольких переменных 228 Если х и у являютсл не независимыми переменными, а дифференцируемыми (нужное число раз) функцинми каких-либо независимых переменных йы ..., 1ы то формула (4) при и ) 2 становится, вообще говоря, неверной (неинвариантность формы дифференциалов высших порядков).
В частности, при п = 2 имеем 2 д и = ( — йх+ — ду) и+ ( — д х+ — д у), (5) где дх, ду, вХзх, дзу дифференциалы первого и второго порядка функции х(1ы, 1ь) и у(йы ...,1ь). В случае функции т независимых переменных и = Х(хм ..., х ) дифференциал п-го порядка определяется индуктивно по формуле (3) при условиях, аналогичных условиям 1') и 2'). Оператор дифференциала имеет вид д д д = дх1 + ...
+ — Ихны дх дх, но и справедлива операторная формула, аналогичная (4); н д ° и дни = ~ — дхз + ... + йх„,) и. х1 (6) 3. Формула Тейлора. Теорема 20. Если функция и = Х(хы ...,х ) дифференцируема п ч- 1 раз в некоторой в-окрестности точки ЛХо(х1, ..., Ф„), то для любой точки ЛХ(хо + ~~хм ...,хо + Ьхн,) из этой в-окрестности справедливо равенство Йхо+~хы" хо +21х ) — Х(хо "хо) = где Х вЂ” некоторая точка, лежащая на отрезке ЛХоЛ~Х, а дифференциалы дьи, вычисляются по формуле (6), причем дх, = дхх., (1= 1, ...,гп). Формула (7) называется формулой Тейлора длн функции и = Х(хц....., х,„) с центРом РазложениЯ в точке ЛХо(хо, ..., хо,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
