В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Х. Функции нескольких переменных 242 Значение функции и(х, у) в этой точке равно нулю: и(0,0) = О. Далее, при х < О, у = 0 имеем и(х,у) = — хз > О, а при х = О, у у= 0 имеем и(х,у) = — у' < О. Следовательно, в любой окрестности точки ЛХ, (О, 0) функция и(х, у) принимает значении, как ббльшие и(0, 0), так и меньшие и(0, 0), и, значит, в точке ЛХг функция и(хг у) не имеет локального экстремума. В точке Ма. агг = — 18, агз = 36, азэ = — 108, и, значит, Р = = 648 > О. Так как аы < О, то в точке ЛХз функция имеет дока,чьный максимум. А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 54.
Найдите точки локального экстремума следующих функций двух переменных: а) и = хл — ху Ч- уе., б) и = хе — ху — уе; в) и = хг — 2ху ф 2уг -~-2х; г) и = хэ -~-г1~ — хг — 2ху — уг; д) и = хе — 2уэ — 3х ф бу); е) и = хэ — 2хгуг ф уг; ж) и = ху ф; з) и = е'~ "(х — у ); 2(х -~- у) и) и = е "(х~ — 2ху+ 2у~)., к) и = (х~ ф 2гуа)е л) и = (х — 2у)е Ы +" г; м) и = ху1п(хл -~- у~); и) и = — -~- — -~- у. у х 55. Найдите точки локального экстремума следующих функпий трех переменных: а) и = хе -~- 2уе -~- хе — 2х -~- 4у — бх -~- 1; б) и = 2хе + уе ф хг — 2х у ф 4х — х; в) и = хэ -~- ху -Ь уэ — 2хх ф 2хг ф Зу — 1; хл уг) и = хух(1 — х — у — х); д) и = 2 — + — — 4х+ 2е~; у с е) = (х+ у+ 2х)е ф ~" ь' г.
56. Докажите, что функция и = (х — у~)(2х — у~)г а) имеет в точке О(0,0) локальный минимум вдоль каждой примой, проходящей через эту точку; б) не имеет локального минимума в точке О(0,0). ГЛАВА Х1 НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ в 1. Неявные функции Основные понятия и теоремы 1. Понятие неявной функции. Рассмотрим уравнение г'(х,у) = О. Пусть для любого х из некоторого множества Х это уравнение имеет решение относительно у. Тем самым каждому х Е Х ставится в соответствие определенное число решение уравнения (1) (заметим, что уравнение (1) может иметь несколько решений относительно у, но мы выбираем какое-то одно из них). Это означает, что на множестве Х определена функция у = )(х).
При этом правило 1, ставящее в соответствие каждому х некоторое число, не указано здесь явно, а задано с помощью уравнения (1) ("спрятано" в этом уравнении). Такой способ задания функции у = Д(х) называется неявным, а сама функция у = Г(х) неявной функцией. Итак, неявная функция у = Д(х) — — это решение уравнения (1) относительно у, т. е. Чх Е Х: Г(х, г"(х)) = О. Например, уравнение хг + уг — 1 = О, рассматриваемое в области у > О, определяет неявную функцию у = чг1 †.т,'.
Таким образом, здесь неявная функция найдена в явном виде. Во многих случаях этого сделать не удается. Аналогично ураннению (1) можно рассмотреть уравнение с большим числом переменных: г (хм ха, ...,хлн у) = О,. (2) и внести понятие неявной функции у = Г" (хы хг,, х ), определяемой уравнением (2). 2. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции. Теорема 1. Пусть: 1') фуккция г"(х,у) непрерывна в прямоугольнике.
ГЗ = ((х, у): а < т, < б, с < у < й); 2') Чх Е (а,б); г"(х,с)Е(х,а) < О (т. е. на нижней и верхней сторонах прямоугольника ьг' функция г'(х, у) имеет значения разных знаков): 3') Чх Е (а, Ь) функция г'(х, у) является строга монотонной функцией аргумента у ка сегменте (с, д). Гл. ХХ. Неявные функции и их приложения 244 Тогда на (а, Ь) существует единственная неявнпя функцищ определяемая уравнением (1), и эта функция непрерывна на (а,б). Следующая теорема н отличие от теоремы 1 носит локальный характер: утверждается существование, единственность и дифференцируемость неявной функции н некоторой окрестности точки.
Теорема 2. Пусть: 1') функция Н(х,у) дифференцируема в некоторой окрестности ш точки Ма(ха уо): 2') частная производная Р„непрерывна в точке ЛХа, 3 ) е (ха уо) = О, еи(ха уо) ~ О. Тогдп существует такой прямоугольник ((х,у); ~х — ха~ < д, ~у— — уа~ < с, д > О, с > О) С ш, в котором уравнение (Х) определяет единственную неявную функцию вида у = Х(х), причем Х'(хо) = уа, функция Х'(х) дифференцируема на интервале (хо — д, ха + И), и ее проиэводнал вычисляется по формуле Х~( ) Ги(х,у) Рх(х Х(х)) Ри(х, у) .„ „., Ри(х, Х(хи (3) 3 а м е ч а н не 1.
Обратите внимание на порядок действий при вычислении Г (х,Х(х)) числителя в форгяуле (3): сначала берется частная производная по т функции Г(х, у), а затем вместо у подставляется Х(х) (но не наоборот). 3 а м е ч а н и е 2. Если функции Хг(х, у) дифференцируема и раз в ы, то неявная функция у = Х(х) дифференцируема и раз на интервале (ха— — д, ха + д). Ее вторая производная может быть вычислена с помощью дифференцирования по х правой части равенства (3): Х '( ) д ~ Р*(х: Х(х))! (4) Лх ~ Рр(х Х(х))1 Нроизнодныа более высокого порядка нычисляются аналогично. Замечание 3. Если условие г„(ха,уо) ф 0 не выполняется, т. е. Ри(хо, уа) = О, то уравнение (Ц может иметь не единственное решение относительно у в окрестности точки Мо и может не иметь ни одного решения. Например, для уравнения г (х, у) = х -~- уи — 1 = 0 выполнены условин г (1, 0) = О, Г„(1, 0) = О.
Очевидно, что в окрестности точки ЛХо(1, О) при х > 1 уравнение не имеет решений (вещественных) относительно у, а при х < 1 имеет два непрерынных решенин: у = тХ1 — хг и у = — чг1 — хг. уравнение Е(х, у) = х + у = О, для которого Р(О, 0) = Г„(О, О) = О, пе имеет решений относительно у прн любом х ~ О.
Вместе с тем условие Г,(ха, уо) ~ О является лишь достаточным (в совокупности с остальными условиями теоремы 2), но не необходимым для существовании в некоторой онрестности точки ЛХа единственной неявной функции вида у = Х(х), определяемой уравнением (Ц. Например, для уравнения Г(:с, у) = тз — уз = 0 зто условие не выполнено в точке Мо(0, 0): Г(0, 0) = Г„(0, 0) = О, но тем не менее данное уравнение определяет в окрестности точки ЛХо(0, 0) единственную неявную функцию вида у = Х(х): у = х.
Теорема 3. Пусть: 1') функция У'(хм тз, ..., х, у) = Р(ЛХ) дифференцируема в некоторой окрестности ш точки Ма(х",, хаг, ..., ха„, уа), у и Неявнь1е функции 245 2') частная производная Г„непрерь1вна в точке Л1О, З ) Г(.ЧО) =О, Г„(МО) ~О. Тогда существует такой параллелепипед ((ХМХХ,...,Хп„У): !Х, — Х~! ( д1 (1 = 1,2,.,п т), 1У вЂ” У'1 ~ ~с А > О, с > О) С Ог в котором уравнение (2) определяет единственную неявную функцию види у = Т(х1,хз,... х ) причем У(хе1 хОг хО ) УО функция у = 1'(х1,ха, ...,х,п) дифференцируема при ~х1 — х~~ ( д, (1 = 1,2, ...,т), и ее частные производные вычисляются по формуле дТ с, Гг,,(хи хг....., хт, Т(х1, хг, ..., хт)) рх!~ха "~хт,)— дх1 ' Гя(хохг, ...,хт, 1(хохг, ..пхп1)) (1 = 1,2,,,пт).
(5) 3. Неявные функции, определяемые системой уравнений. Рассмотрим систему п уравнений Г1 (х1, хх; ° ст~ У1 Уа " Уп) Ге(х1, ха. ", хт,, У1, Уг, ", Уп) = 0; (6) Гп(х1., хз, ...,х~п, У1, Уг, " У ) = 0 Решение этой системы относительно У1, Уш ..., Уп У1 = Л (х1, хх, ..., хт): Ух = Ь(х1, хг ~ хт)~ Уп = Тп(Х1 Хг ° Хт) (1) функций, опрсделнемых системой называется совокупностью неявных уравнений (6). Определитель дГ1 дГ1 дГ1 ду дГО дуп ду1 дуг дГО дГ1 ду, ду, дГп дГО дГп дш дуг дуп составленный из частных производных, называется определителем Якоби (или якобианом) функций Г1, Гг, ..., Гп по переменным У1, ух, ... ..пуп И ОбОЗНаЧаЕтСЯ СИМВОЛОН1 Р(Го Гг, ..., Гп) Р(У1 ° Уг, ", Уп) Теорема 4.
Пусть: 1') функции Г1, Ра, ..., Г, входпщив в систему (6), диффвренцируел1ы в некоторой окрестности ш точки О О О О О О1. О(Х1 ~ Хг~ "' Хт~ У1 Уа "' Уп)~ Гл. ХД Неявные функции и их приложения 246 дГ, 2') частные производные ' (г,ф = 1,2, ..., п) непрерывны в точ- дуз ке зьза' 2') ~,(дфа) =О, ~2(~Та) =О....., Г„(М„) =О., Тогда существует такой параллелепипед Е(хых„...,х Уг Уг " У»): ~х, — х',~ «1, (1=1,2.....,пг), (уу — у"! < с„(1 = 1, 2, ..., и), й, > О, с, > О~ С ьз, в котором система уравнений (6) определяет единственную совокупность неявных функций вида (7), и эти функции дифференцируемы при )х,, — х~) < а, (з.' = 1,2,...,т).
Формулы для вычисления частных производных нсянных функции (7) можно получить следующим образом. Прадположим, что в систему (6) подставлены функции (7). Тогда получатся тождества, дифференцирование которых по переменной х; дает систему п ли- дЛ дТ 07 нейных уравнений относительно —, —, ..., дхг дГ1 дГг д 71 дГ1 д рэ др) д)» + — + — +...+ дх, ду1 дх, ду2 дх$ ду» дх,, О + — + .=+...+ ду~ дхг дуз дх; ду» дх; Определителем этой системы нвляется якобиан ' '"' . В си- 12(Е, Бю ..., 12») 11(уи ую ..., ун) лу условий 2' и 3' теоремы 4 он отличен от нуля в некоторой окрестности точки Лза.
Поэтому из этой системы однозначно получаются (например, по формулам Крамера) выражения для частных производных неявных функций (7). Контрольные вопросы н задания 1. Какал функция называется неявнай7 Приведите пример уравнения вида Г(х, у) = О, определяющего неявную функцию, н пример уравнения, не определяющего неявную функцию. 2. Сколько непрерывных неявных функций вида у = 7(х) определяет урав- неане х' — у' = 0 в окрестности точки О(0, 0)7 3. Сформулируйте теорему а существовании, единственности и непрерывности неявной фувкиии, определяемой уравнением Е(х, у) = 0 (теорему Ц. Доказките существование и единственность этой функции.
4. Докажите, что уравнение хе+уз — 5 = 0 не определяет неявную функцию в прямоугольнике ((х, у): — 1 < х < 1, 0 ( у ( 2). Какое условие теоремы 1 не выполнено в данном случае? 5. Сформулируйте локальную теорему о существовании, единственности н дифференцируемастн неявной функции, определяемой уравнением Г(х, у) = 0 (теарему 2). Докажите, чта при условиях теоремы 2 существует такой прямоугольник, в котором выполнены условия теоремы 1. 247 ад Неявные функции 6. Выведите формулу (3) для производной неявной функции, дифференцируя по х тождество Г(х, ?(х)) = О. Является ли такой вывод доказательством дифференцируемости неявной функции'? 7.
Приведите примеры, когда невыполнение условия Е„(хе, де) ф 0: а) приводит к неразрешимости уравнения Г(х, д) = 0 относительно д в окрестности точки (хо, уо) или к неединственности решения; б) не нарушает существования и единственности нелвной функции вида д = ?(х), определяемой уравнением Г(х, у) = 0 в окрестности точки (ха, до). 8. Докажите, что уравнение х 4- д = 0 не определяет неявной функпии в достаточно малой окрестности точки (1, 1). Какое условие теоремы 2 не выполнено в данном случае? 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
