В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(27) Из равенства (27) получаем озх = — (дх)2 — —,' Нх ду — (о1у)2, (28) хажхз 2 2хд д'+ 3' где х = Х(х, д). 252 Гл. ХГ. Неяенузе функции и их приложения (29) Заметим, что из равенств (26) и (28) находятся все частные про- изводные первого и второго порядков функции з = Х(х, д); х д х жз хд д+я Зя= — —, Зу= — —, -кз= —,, Злу=- —, Зуу=— з' "' зз з' яз где з = Х(х, д). А б. Найти производные первого и второго порядков неявных функ- ций х(з), д(з) в точке з = 2, если эти функции заданы системой урав- нений х2 + дз — О 5зз х+д+з = 2 и удовлетворяют условиям х(2) = 1, д(2) = — 1.
25 функции Е,(х д з) = хз+ де — О 5зз и Е (х д з) = х+ д+ х — 2 дифференцируемы в любой окрестности точки ЛХо(1, — 1,2). Частные доз доз доз доз производные = 2х, = 2д, = 1, = 1 непрерывны в точке дх ' дд ' ' дх ' дд ЛХо. Далее, имеют место равенства Ру(1, — 1,2) = 0 и Е~(1, — 1,2) = О. В(Хгб Ез) 2 — 2 Наконец, якобиан ' равен 1 1 — — 4 и, значит, отличен от ГЗ(х, д) нуля в точке ЛХо.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 4. Следовательно, в некоторой окрестности точки ЛХо систелза уравне- ний (21) определяет единственную пару дифференцируеглых функций х(з) и д(з). Более того, так как функции Хлз(х, д, з) и Хз(х,д, з) дваж- ды дифференцнруемы в любой окрестности точки Лх, то и функции х(з), д(з) дважды дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = 2. Предполагал, что в систему уравнений (29) подставлены функции х(з) и д(з), продифференцируем полученное тождество по % С 2хх' + 2дд' = з, (30) х'+ д'+ 1 = О.
Полагая в равенствах (30) х = 1, д = — 1, з = 2, получим систему уравнений относительно т'(2), д'(2): < х'(2) — д'(2) = 1, х'(2) + д'(2) = — 1. Отсюда находим х'(2) = О, д'(2) = — 1. Теперь продиффсренцируем по х тождества (30): 2(х')з + 2ххп -Ь 2(д')2 + 2ддн = 1, хо+до =О. Полагая х = 1, д = — 1, з = 2, х' = О, д' = — 1, получим систему урав- нений относительно х" (2), д" (2): и ! ! ! | | ! | ~ ~ ~ | | | ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~г ! хн(2) — дп(2) = -0,5, хо(2) + дп(2) = О.
у И Неявньсе функции 2бз Отсюда имеем тн(2) = — 0,25, ун(2) = 0,25. а 7. Доказать, что неивная функция х = Х(х, у), опредсляемая уравнением х + д +, = уд(у), (31) где д(и) произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению (хг „г г) + 2 (32) с5 Пусть хв, уо, хв решение уравнения (31). Рассмотрим функ/сух цию Е(х, у, г) = х + у + хг — уд ( и— ) в некоторой окрестности точки ЛХв(хо, уо, хв).
Пусть Ля(ЛХо) ~ О. Тогда в некоторой окрестности точки ЛХо выполнены условия теоремы 3, и, следовательно, уравнение (31) определяет дифференцируемую неявную функцию х = Х(х,д). Подставляя эту функцию в уравнение (31), получим тождество *' .г+Хг(-, ) =-(„."„,) (33) Вычислим дифференциалы от обеих частей тождества (33): 2х сХх + 2д ду + 2х осх = д ( У ) сХу + д' (д) ( У сХу — У сХх), (34) где х = Х(х,у). Решая равенство (34) относительно сХх, получим — 2хс2х -Ь '(д(~) -Ь У д'(У) — 2у~ с2у и†2х+ —, д'( — ) х=Усйк ис Следовательно, д( — ) + — дс( — ) — 2у У 2х -Ь вЂ” ', д'( — ') уг 2х -Ь вЂ”, д'( — ') с=де, вс ==Н Ф Подставляя полученные выражения для частных производных в уравнение (32), приходим к тождеству (33).
Такнн| образом, неявная функция х = Х(х, у), определяемая уравнением (31), удовлетворяет уравнению (32). а 8. Найти локальные экстремумы неявных функций вида х = Х(х, у), заданных уравнением Хг(х,у,г) = х +д + хг — 2х+ 2д — 4х — 10 = О. (35) Хг Предполагая, что дифференцирусмая неявная функция х = Х(х, у) подставлена в уравнение (35), вычислим дифференциалы от обеих частей полученного тождества; 2хс1х+2уду+2гсЬ вЂ” 2с1х-ь2с1у — 4сХх= О. (36) Гл.
ХХ. Неявные функции и их приложения 264 Отсюда (при х у'= 2) находим х — 1 у -~-1 Нх = —; Нх+ — Нр. 2 — я 2 — я Используя необходимое условие экстремума о)х = О, приходим к сис- теме уравнений для координат точек возможного экстремума: с х — 1 =О, 2 — я уж1 2 — я ( х — 1=0., или +1 0' откуда х = 1, у = — 1. Подставив значения х = 1, р = — 1 в уравнение (35), найдем соответствующие значения з; имеем хэ — 4х — 12 = = О, откуда х1 — — — 2 и хэ — — 6.
Таким образом, получили две точки; М1 (1, -1, -2) и Мз(1, -1, 6). Заметим, что Е,(ЛХ,) = — 8 ф О., Е-(ЛХз) = 8 ф О, и, следовательно, в окрестностях точек ЛХ1 и ЛХ2 ныполнены все условия теоремы 3 для уравнения (35). Так как функция Г(х, у,х) дважды дифференцируема, то в некоторой окрестности точки ЛХ; (1 = 1, 2) существует единственная дважды дифференцируемая неявная функция х = Х,(х,р). При этом Хт(1, — Ц = — 2, Хз(1, — 1) = 6. Точка (1, — Ц нвляется точкой возможного экстремума для каждой из функций Х1 (х, у) и Хэ(х, у).
Чтобы применить достаточное условие экстремума, надо найти вторые дифференциалы этих функций. Для этого вычислим дифференциалы от обеих частей тождества (36): (Нх) + (г(р)~ + хо(э + (Нх) — 2г(ах = О. Отсюда имеем Заме ча вне. Уравнение (35) прнводитсн к виду (х — Ц ж (у+ 1) ж (= -~- Ц = 16.
Это — уравнение сферы радиуса 4 с центром в точке (1, — 1,2). Точка ЛХ1(1, — 1, — 2) — самая ннжнян, а точка М (1, — 1,6) самая верхняя точка этой сферы. Очевидно, неявная функция " = Х1(х, у) является уравнением нижней полусферы (в точке (1, — 1) этв функция имеет минимум, равный — 2), а неявная функдия л = Хв(х, у) - - уравнением верхней полусферы (в точке (1, — 1) этв функции имеет максимум, равный 6).
)ц ( 1 )и „ ( ~ )и 2 — я Учитывая, что Нз[0 О = О, получаем в(з Х1[0 О = 0,25[(Нх)з + (ду)'-'], о(-'Хе[0, 0 = — 0,5[(Дх) + (с(д)-'1 Таким образом, вХзл[0 О являетсн положительно определенной квадратичной формой, а о(~Хэ[0 О отрицательно определенной квадратичной формой. Следовательно, функция х — Х1 (х, у) имеет в точке (1, — 1) локальный минимум, равный — 2, а функция л = Хэ(х, у) имеет в точке (1, — 1) локальный максимум, равный 6. А у й Неяение функции Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1.
Пользуясь теоремой 1, докажите, что уравнение хз «- у ; — х «- у = 12 определнет единственную неявную функцию вида у = 1(х) в прямоугольнике ((х,у): — 1 < х < 1,5, 1 ( у ( 3). Найдите 1"(Ц. 2. Пользуясь теоремой 2, покажите, что уравнение хз + у — -х ф 4у = ,з 1 5 = — 4,2 определнет единственную дифференцируемую неявную функцию вида у = 1(х) в некоторой окрестности точки (1, — Ц. Вычислите 1"'(Ц и ~н(Ц.
3. Пусть функция К(х., у) дважды дифференцируема в некоторой окрест ности точки Ио(хо, уе) и пусть Г(Ъ|о) = О, Ег(Мо) ф О. Докажите, что в некоторой окрестаости точки Ме уравнение Е(х,у) = 0 определяет единственную дважлы дифференцируемую неявную функцию вида у = Г(х), причем справедлива формула г"„1'„з — 2Р,„т Р,Г„-~- Н „г'з 4.
Найдите первую и вторую производные неянной функции вида у = = Г"(:г), заданной уравнением: а) 1и,/Р+ уз = агст8 —; б) у — г сов у = х (О < г < Ц; х в) х" = у' (у ~ х); г) ашху = 1 — 0,2ху. 5. Найлите первую, вторую и третью производные неявной функции вида у = у(х), заданной уравнением хз -~- ху ф у = 3. 6. Найдите 1'(О), гн(0), Г"'н(0) для неявной функции у = 1(х), удовлетворяющей условию 1(0) = 1 и заданной уравнением: а) ха+ ху+у~ = 1; б) уа1пх+ха+ уз = 1.
Т. Пользуясь теоремой 3, докажите, что уравнение зз — Зху = 8 опре деляет единственную дифференцируемую ненвную функцию вида з = = 1(х, у) н некоторой окрестности точки (О, — 1, 2). Вычислите х,(0, — Ц и зг(0, -Ц. 8. Найдите частные производные первого и второго порядков неявной функции вида з = 1(х, у), заданной уравнением: а) = ГГхй-узт8; б)зз — Зхуз=оз; в)х+у+з=с. Яг уг' 9. Найдите дифференциалы первого н второго порядков неявной функции вида = Г(х, у), заданной уравнением: а) х -~- у -~- з = е '; б) — = 1и — -~- 1; у 3 з 2 в)х «-у «-х =2 хуз; г) —,«- —,+ — =1.
3 2 а х Р аз Ьз сз 10. Найдите все частные производные второго порядка функции з = 1(х, у) в точке (1, — 2), если эта фувкция удовлетворнет условию г(1, — 2) = 1 и задана уравнением: а) хз «- 2уз «- 3 з «- ху — з = 9; б) Зху ж хе~~ = 5(х + у). 11. Докажите, что неявная функция х = г(х,у), определяемая уравнением Г(х — аз, у — Ьз) = О, где Г(и,е) — произвольная днфференцируеман функция (а,б постоянные), нвляется решением уравнения а з.
+ +Ь зт —— 1. Гл. ХГ. Неявные функции и их лри.шгкения 255 12. Докажите, чта неявная функция г = ф(х, у), заданная уравнением Е(х+ —, у+ — г! = О, где г'(и, а) — произвольнан дифференцируемая у' х функцин, удовлетварнет уравненига хх, + рз„= г — хр. 13. Система уравнений х сов и+ увш и+ !цг = О(а), — ха!и и ф усов и = у'(и), где д(и) - произвольная дифференцируемая функция, определяет ненвные функции г = 11 (х, у), и = фг(х, у). Докажите, что функция з = = Гг(х, р) удовлетворяет уравнению (х„)г Ч- (х„) 14. Найдите производные первого и второго порядков неявных функций х(з) и у(г), заданных системой ураваений: а) х+у+г=О.
б) ) ха+уз г ~ ~ ~ ~ ~ ~| ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 х -!-у +г =1; 1 х-!-ху-!-у-!-з= 1. 16. Найдите производные у'(О), г'(О), ун(0), гн(0) неявных функций р(х) и х(х), удовлетворяющих условиям у(0) = — 1, г(0) = 1 и заданных системой уравнений: ( а) х ф у Ч з = О б) < тг гуг гг ! 2 хг ф уг -!- гг = 2; < хг -~- хр ф уг ф г = 2. 16. Найдите дифференциалы Нг и йгг в точке (3, — 2) неявной функции г = ф(х, у), заданной уравнением гз — хе + у = 0 и удовлетворяющей условию ф(3, — 2) = 2. 17. Найдите дифференциалы первого и второго порндков неявных функций и(х, у) и а(х, у), заданных системой уравнений < и+а=х+у, Мни х а!пи р 18. Найдите Ни, На, йги, 4га в точке (1, 1), если неявные функции и(х, у) и а(х,у) заданы системой уравнений ю х е саа — = —, р чг2 е р е а!11 — = р,Г2 и удовлетворнют условиям и(1, 1) = О, а(1, 1) = лгг4.
19. Исследуйте на зкстремум неявную функцию у = ф(х), заданную уравнением у — сашу = х (О < е < 1). 20. Исследуйте на экстремум неяваыс функции вида з = Г'(х, у), заданные уравнением: а) зз — хух -!- у = 16; б) гз — хуг ф уг -!-4хг = 16; в) х'+ рг+ з' — хг — рх+ 2х+ 2у+ 2г = 2; г) (х -!- у — гг)г = аг(х + уг ф лг) (а ) 0).
22. Зависимость функций 2вт в 2. Зависимость функций Основные понятия и теоремы 1. Понятие зависимости и независимости функций. Пусть и функций с ,У1 — 21'дх1 х2 " хш) Ув = Хд,(Х1,Х2, ...,Хт) определены и дифференцирусмы в некоторой области Р С Ет, Определение. Функция уь =Хь(хь,хг,...,з: ) =Хь(ЛХ) назьдваетсн зависимой в области Р от остальных функций из совокупности (1), если ее можно представить в виде уь = Ф(у1,",уь-ф,уьф1,",Уп)д (2) где Ф дифференцируемая функция своих аргументов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
