В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Уравнение ~х~ + д = 0 определяет в окрестности точки О(0, 0) недифференцируемую в точке х = 0 функцию д = — )х~. Какое условие теоремы 2 не выполнено в данном случае? 10. Уравнение (д — х)(д — 2тПд -~- Зт) = 0 определяет в любой окрестности точки О(0, 0) три дифференцируемые функции: д = т, д = 2х, д = — Зх. Какое условие теоремы 2 не выполнено в данном случае? 11. Вычислите производные 1'(0) и ?" (0) неявной функции у = 1(х), определяемой уравнением х + д — 1 = 0 и удовлетворнющей условию 1(0) = = 1, двумя способами: а) используя формулы (3) и (4): б) используя явное выражение длл функции 7(х). 12.
Сформулируйте теорему о существовании, единствеаности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением Г(хы хз, ... ..., х, д) = 0 (теорему 3). 13. Сформулируйте теорему о существовании, единственности и дифференцируемости совокупности неявных функций, определяемых системой уравнений (теорему 4). Примеры решения задач 1. Доказать, что уравнение (8) д+ 0,5гйпд — х = 0 определяет единственную неявную функцию нида д = 1(х), х Е Е ( — ос, +ос), и найти 1'(х), ул(х), ?ч(я), 1и(я). Введем обозначение Г(х,д) = д+0,5шпд — х.
Так как Ги —— = 1+ 0,5соау > О, то при любом фиксированном значении х функция Г(х,д) является возрастающей функцией аргумента д. Кроме того., для любого фиксированного значения х при достаточно больших значениях ~д~, очевидно, выполняются неравенства Г(х,д) < 0 при д ( О, Г(х,д) > 0 прн д > О. Поскольку Г(х,д) -- непрерывная функция, отсюда следует, что чх существует единственное д такое, что Г(х,д) = О, т. е.'чх уравнение (8) имеет единственное решение относительно д.
Это и означает, что уравнение (8) определяет единственную неявную функцию вида д = ?(х), х Е ( — сю, +ос). Так как Г(х,д) диффоренцируемая функция и Ги(х,д) ф О,. то и функция д = ?(х) дифференцируема на всей числовой прямой. Для Гл. Хй Неявные функции и их приложения 248 нахождения Г(х) воспользуемся формулой (3): ) Г (х д) 1 Ги(х,д) 1 ж0,5соеф(х) Дифференцируя Г(х), найдем ) 0,5еш Г"(х) 1'(х) в1в)(х) [1 -1- 0,5 соз ф(х)]е 2[1 + 0,5 сое ф(х)]е Чтобы найти значении 1'(х) и )о(х) в какой-либо точке х, нужно сначала вычислить соответствующее значение ) (х). Пусть х = л. Нетрудно проверить, что решением уравнения (8) при х = л является д = гг, т. е. )(я) = л.
Подставляя х = к, 1(х) = л в формулы для Г'(х) и Го(х), получаем Г"'(к) = 2, Го(.г) = О. Л 2. Найти производные Г"'(0) и Го(0) неявной функции д = 1(х), заданной уравнонием х — хд+2д +х — д = 1 2 3 (9) и удовлетворяющей условию г(0) = 1. Ь Функция Гл(х, д) = хз — хд+ 2дз + х — д — 1 диффорснцируема в любой окрестности точки (0,1). Производная Е, = —:г, +4д — 1 непрерывна в точке (0,1). Наконец, Е(0,1) = О, Еии(0,1) = 3 ~ О, т. е. выполнены все условия теоремы 2. Позтому в некоторой окрестности точки (О, Ц уравнение (9) определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида д = 1(х), причем Г(0) = 1.
Более того, так как функция Р(х,д) дважды дифференцируелга в любой окрестности точки (О, 1), то и функция д = 2'(х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х = О. Производные Г" (х) и уо(х) можно найти по формулам (3) и (4), а затем, полаган х = О, 1(0) = 1, вычислить Г'(0) и Гн(0). Однако удобнее поступить следующим образом. Предполагая, что функция д = г" (х) подставлена в уравнение (9), продифференцирусм полученное тождество по х: 2х — д — хд' + 4дд' + 1 — д' = О.
(10) Полагая в равенстве (10) х = О, у = 1, получаем — 1+ 4д'(0) + 1— — у'(0) = О, откуда д'(0) = О. Чтобы найти вторую производную, про- дифференцируем тождество (10) по х: 2 — 2д' — хдн + 4(д')з + 4ддн — дн = О. (11) у — 2х агс18 — = О. У х (12) Полагая х = О, д = 1, у' = О, получаем 2-ь Здн(0) = О, откуда дн(0) = = — 2/3. Итак, Г'(О) = О, Гп(0) = — 2г3. л 3. Найти производные первого и второго порядков неявной функции д = 1(х), заданной уравнением 4 В Неявнъ~е фуннчии 249 д — 2 ассад — — (хд — у) = О. а у 2х хан У2 (13) Уравнение (13) можно упростить, если воспользоваться исходным уравнением (12). А именно, из уравнения (12) следует, 2агстд— у х У.
Позтому уравнение (13) можно записать так; у — У вЂ”,,(хда — у) = О. х ха+да (14) Из уравнения (14) находим у (15) где д = Дх). Для вычисления второй производной можно, как и в примере 2, продифференцировать тождество (14) по х и, получив линейное относительно ув уравнение, найти вторую производную. Однако в данном случае удобнее воспользоваться равенством (15), из которого следует я ху У у ха Подставляя в последнее равенство выражение (15) для у', окончательно находим ун = О.
Задача решена в предположении, что уравнение (12) определяет дважды дифференцируемую функцию у = Д(х). Исследовать вопрос о существовании такой функции можно, как зто у= 2 ахваз 4 было сделано в примере 2, с помощью теоремы 2. Однако здесь мы воспользуемся дру- -аа~ О а гим способом. Равенство нулю второй производной функции во всей области определения означает, что уравнение (12) может задавать только линейные функции.
Если ввести переменную т = д/х, то уравнение (12) запишется в виде 1 = 2атстбй Это уравнение имеет три решения: 1 = — 4а, 1 = О, 4 = 1а (рис. 28). Следовательно, уравнение (12) определяет линейные функции д = — 1ах, у=О ид=1ах при хфО. А й Левая часть уравнения (12) не определена при т = О. Будем считать, что х ~ О. Предположим, что уравнение (12) определяет дважды дифференцируемую неявную функцию у = 1(х). Подставляя ее в уравнение (12) и дифференцируя полученное тождество по х, приходим к равенству Гл. ХГ.
Неяеные функции и их приложения 250 4. Доказать, что уравнение з~ — хдз+ у = 16 (16) де Гя(х, у, я) уХ(х, у) дх Г-(х, у, е) ЗХе(х, у) — ху (17) дя Дифференцируя — по х, найдем д д е 2ху~Х(х,у) дхе (ЗХ'(х, у) — ху)з (18) Теперь, подставляя в выражения (17) и (18) вместо х, у, Х(х, у) соотдх де ветственно значения 1, 4, 2, найдем значения — и — в точке (1,4). дх дх' Рассмотрим другой (эквивалентный) способ решения задачи. Предполагая, что функция х = Х(х, д) подставлена в уравнение (16), продифференцируем получевное то'кдество по х; 32, уз ху — О (19) Решая уравнение (19) относительно з„приходим к соотношению (17).
Если же в равенстве (19) положить х = 1, у = 4., з = 2, то получим зл(1,.4) = 1. Чтобы найти хил, продифференцируем тождество (19) по х: бз(хл)2+ Ззззк, — 2дз, — хдз„= О. (20) Отсюда следует равенство (18). Если же в равенстве (20) положить х = 1, д = 4, з = 2, з, = 1, то получим з„(1,4) = — 0,5. А 5. Доказать, что уравнение х+у +с =а (21) определяет в некоторой окрестности точки (1,4,2) единственную неявную функцию вида х = Х(х...у). Найти ее частные производные :(х,д),, (х,у), — (1,4) и (1,4). й Функция Х'(х, д, з) = хз — хуз+ уз — 16 дифферепцируема в любой окрестности точки ЛХо(1, 4, 2).
Производная Л", = Ззз — хд непрерывна в точке ЛХц. Наконец, Е'(1, 4, 2) = О, Л",(1, 4, 2) = 8 ф О, т. е. выполнены все условия теоремы 3. Поэтому в некоторой окрестности точки ЛХо уравнение (16) определяет единственную дифференцируемую неявную функцию нида з = Х(х,.у), причем Х(1,4) = 2. Более того, так как функция Л'(х, у, з) дважды дифференцируема в любой окрестности точки ЛХ0, то и функция з = Х(х, у) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки (1,4).
де Для нахождения — (х, у) воспользуемся формулой (5): дх 251 4 П Неявнаа фднячии определяет единственную неявную функци1о вида з = Х(х,у) в неко- торой окрестности точки ЛХо(хо,до, зо), где (22) и найти: а) частные производные,. и х„; б) дифференциалы 11х и 1(зх этой функции. й Функция Р(х, у, з) = хз + уз + хв — а- дифференцируема в любой окрестности точки ЛХо. Производная Хг, = 2х непрерывна в точке Мо, причем Е,(хо, уо, хо) = 2зо ~ О в силу соотношения (22).
Из того же соотношения следует, что Г(хо, уо, ао) = О. Итак, выполнены все у.словия теоремы 3. Поэтому в некоторой окрестности точки Мо уравнение (21) определяет единственную дифференцируемую функцик1 вида з = Х(х,у). Более того, так как функция Р(х,д,х) дважды дифференцируема в любой окрестности точки Я1о, то и функция а = Х(х,у) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки (хо,до).
а) Предполагая, что функция г = Х(х,у) подставлена в уравнение (21), продифференцируем полученное тождество по х: (23) 2х+ 2гз = О. Отсюда имеем х, = — х/з, где х = Х(х,у). Дифференцируя (23) по у, получаем 2г„х, + 2зз,„ = О. (24) Из равенства (24) можно найти смешанную производную, если известна производная зю Чтобы найти хю продифференцируем тождество (21) по у: 2у+ 2хзт — — О. Отсюда ха — — — у/х, где з = Х(х,у).
Теперь из (24) находим з,„= — хд/~~, где х = Х(х,у). б) Предполагая, что функция з = Х(х, д) подставлена в уравнение (21), вычислим дифференциалы от обеих частей полученного тождества: (25) 2х с1х + 2у йу+ 2з 11з = О. Отсюда имеем оа = —. ох — .*- дд, (26) где з = Х(х,у). Чтобы найти второй дифференциал функции = Х(х, д), вычислим дифференциалы от обоих частей тождества (25): 2(ух)з + 2(Нд) + 2(сЬ)2 Ч- 2зо12з = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
