В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Так как 2(е1х)з — положительно определенная квадратичнан форма (одной переменной с1х), то функция (14) имеет в точке ЗХо минимум при условиях связи (15). а при условиях связи < 4хз + 4уз + 4зз + 12х + 12у + 12г = 13 т+у = 1. 21 Воспользуемся схемой метода исключении части переменных, нс связанной с нахождением в явном виде каких-либо двух переменных через третью из уравнений связи (15). Предполагая, что система (15) определяет дважды дифференцируемые неявные функции 1г(х) и з(х), и считая, что они подставлены в уравнения связи, будем рассматривать равенства (15) как систему тождеств.
Вычислян дифференциалы от обеих частей тождеств (15), получим с (хг + 1) сгх + (уз + 1) йу ь (зз ь 1) йз О е1х+ е11г = О. Отсюда находим Гл. ХХ. Неяеные функции и их приложения 266 Замечание. Задача решена в предположении, что система (16) определяет двалцды дифференцируемые функции у(х) и е(х). Теперь моцкио уточнить, что это условие должно выполнятьсп в некоторой окрестности точки ЛХеЯ2, 112, О). Покажем, что данное требование выполнено.
Воспользуемся теоремой 4. Функции Г1 (х, у, я) = 4хз Ф 4уэ + 4лэ Ф 12х Ф 12у + +12э — 13 и Гэ(х,у, я) = х+ у — 1 диффереицируемы в любой окрестиосдГ1 и дГ1 е ти точки Луи Частные производные — = 12(у + 1), — = 12(с + Ц, ду де дуз дре — = 1, — = О непрерывны в точке ЛХе. Функции К (х, у, е) н Хле(х, у, е) ду де равны нулю в точке ЛХе. Наконец, ' = — 12 ф О.
Поэтому в сиХз ( Е'ы Ру ) дйу, л) лу теоремы 4 система (15) в некоторой окрестности точки ЛХэ определяет единственную пару дифферепцируемых функций у(х), (х). Более того, так как функции Г1 (х, у, е) и Ге(х, у, е) дважды диффереицируемы в любой окрестности точки ЛХа, то и функции у(х)., с(х) дважды лифференцируемы. 3.
Методом Лагранжа найти экстремум функции (11) при условинх связи (12). Ь Составим функцию Лагранжа Ф = х + у + х + Л1(х — т, — 1) + Л2(у — хс — 1) и рассмотрим систему уравнений (9): дФ вЂ” 1 ль лзх — о, дх дФ вЂ” = 1+Лт =О, ду дФ вЂ” = 2х+ Лц — Лтх = О, дх г1=х †х †, Р'2 = у — хз — 1 = О. с ~Ь вЂ” с)х = О, ду — х~Ь вЂ” сох = О. Отсюда находим < е)х = дх, с)у = (х+ х) е)х.
(18) Она имеет единственное решение: х = — 1, у = 1, з = О, Л1 = 1, Лз = = — 1, т, е, ЛХо( — 1, 1, 0) " единственная точка возможного экстремума функции (11) при условиях свизи (12). Отметим, что в окрестности точки ЛХ„система (12) определяет единственную пару неявных функций у(х), х1х). Хотя в данном случае их легко найти в явном виде, нам зти явные выражения не понадобятся. Предполагая, что н систему (12) подставлено ее решение у(х), х(х), и дифференцируя полученные тождества, приходим к раненствам 6 Я. Услоеньсй экстремум 267 Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа: с17Ф = 2(сЬ)з — 2Лз с1х сЬ, сс=р =х, +д +(3 — 3) (19) при условии связи т, + 2дз + 4зз = 8.
Составим функцию Лагранжа (20) хз+уз+(з 3)з+Л(х +2уз+4зз 8) и рассмотрим систему уравнений (9): дФ вЂ” =2х+2Лх=О, дх дФ вЂ” = 2р+ 4Лу = О, ду — = 2з — 6+ 8Лз = О, дФ дл ха + 2уз + 4зз = 8. (21) Так как эллипсоид (20) более всего вытянут вдоль оси Ох, то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, т. с. х ф О.
Поэтому из первого уравнения системы (21) следует, что Л = — 1. Тогда из второго и третьего уравнений системы (21) имеем у = О, з = — 1. Наконец, из последнего уравнения системы (21) находим х = х2. Итак, функция (19) имеет две точки возможного условного максимума, ЛХс(2, О, — 1) и ЛХ ( — 2,0, — 1). Предполагая, что в уравнение (20) подставлено его решение з = -(х, у), и дифференцируя полученное тождество, находим хс1х-ь 2рсХу ь4зсЬ = О, откуда сй = — — с1х — — сХр. х и 4л 2е Теперь вычислнем второй дифференциал функции Лагранжа с1 Ф = 2(1+ Л)(с1х)з + 2(1+ 2Л)(с1д) + 2(1+ 8Л)(сХз)з, (22) и, подставляя Лз = — 1 и выражение (18) для Ж, получаем положительно определенную квадратичную форму от одной переменной с1х: 4(сХх)з. Отссода следует, что функция (11) при условиях связи (12) имеет в точке ЛХо условный минимуы.
А 4. На эллипсоиде хз + 2рз + 4ьз = 8 найти точку, наиболее удаленную от точки (О, О, 3). 71 Расстояние р межпу точками (х, р,з) и (0,0,3) определяется фору йе=е*'~ Рс +' ( Н вЂ” 3с))г.п у *» Р задаче об условном максимуме функции Гл. ХХ. Неявные функции и их приложения 2бб и, подставляя Л = — 1., координаты точки М1 или ЛХз и выражение (22) для с?х, получаем в каждом случае отрицательно определенную квадратичную форму от днух переменных с?х, Ну: — 2(с?у)з — 3,5(с?х)з.
Отсюда следует, что функция (19) имеет в точках М1 и ЛХз условный максимум при условиях связи (20), т. е. на эллипсоиде (20) имеются дне точки, ЛХ1 (2, О, — 1) и Л|л? — 2, О, — 1), наиболее удаленные от точки (0,0,3). д Задачи н упражнения для самостоятельной работы 28. Исследуйте на условный экстремум методом исключения части переменных функцию: а) и = х + у при условии связи †' -1- — = 1; з 2 х у а Ь 1 1 1 б) и = х -1- у при условии связи —, + —, ха уз аз' в) и = ху при условии связи хэ + у = 1; г) и = аз + уз+ 2хл при условии связи х — у -~- з = 1: д) и = хт -1- уз — хз + 5 при условии связи х Ч- у — э = О, е) и = х — 2у + - при условии связи х ж уз — зз = 1; ж) и = тузла при условии связи х ж 2у ж Зх = 6 (х > О, у > О, х > 0); з) и = х — 2у ж 2з при условии связи хз -1- у -Ь зз = 1; и)и= — ф — ж —,приусловиисвязих -1-у -1-х =1 (а>Ь>с>0); х уз 2 3 2 аз Ьз сз 2 3 д х~ хэ х к) и = х, + тз -~-...
+ х„ при условии связи — + †' + ...-1- — = 1 а1 аз а„ (а~ > О,аз > О, ...,а„> 0). 29. Исследуйте на условный экстремум методоги Лагранжа: а) функцию и = хуз при условии связи хэ -1- ул ф хз = 3; б) функцию и =хух при условинх связи х Ч- у + х = 1, х Ч-у+ с = О. 2 2 2 ЗО. При каких значениях диаметра основания д и высоты Ь, цилиндрическая банка, объем которой равен 64к, имеет наименьшую поверхность'? 31. При каких размерах прямоугольная банка объемом 32 смз, открытая сверху?т.е. без нсрхней грани), имеет наигиеньшую поверхность? 32. При каких размерах открытая цилиндрическал ванна с полукрутлым поперечным сечением, поверхность которой равна Зк м', имеет наибольшую вгиестимость? ЗЗ. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда наибольшего хз уз зз объема, вписанного в эллипсоид †, Ч- †, Ч- †, = 1. аз Ьз са 34. Найди ге наименьшее из расстолний между точкой 1хо, уо, хо) и точками плоскости Ах -1- Ву + Сх Ч- В = О.
35. Найдите наименьшее из расстояний между точнами параболы у = х~ и прямой х — у — 2 = О. 36. Найдите наибольшую плошадь треугольника, у которого заданы сторона а и противолежащий угол А. 37. Известны стороны а,Ь треугольника и величина угла С меькду ними. Разделите этот треугольник на две равновеликие части отрезком прямой, пересекающим заданные стороны и имеющим наименьшую длину. 44.
Замена переменных 3 4. Замена переменных Основные понятия 1. Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные. Пусть в выражении -4 = Ф(х,у,у',д",,д"'), с дт(х,у,(,и) = О, дз(х,у,1,и) = О,. (2) которые будем называть формулами замены переменных. Будем считать, что систетяа (2) определяет (в некоторой области) дифференцируемые достаточное число раз неявные функции х = (т(т,и), у = = (а(8,и).
Так как и есть функция аргумента 1, то х = (т(т,и(1)) = = х(1) и у = )з(1, и(1)) = д(т) — слоткные функции аргумента й Схема решения. 1. Предполагая, что в систему (2) подставлено ее решение х(1), д(1), получим тождестна ут (х(1 ), тд(т), 1, и(т)): — О, ь уз(х(1), у(1), 1, и(1)) = О. Дифференцируя по 1 обе части этих тождеств, приходим к системе уравнений, линейных относительно производных етх Ж' 2.
Решаем полученную систему относительно х, у. 3. Выражение у' в новых переменных 1, и находим по формуле р Зу 'у дх х (3) 4. Чтобы найти выражения старших производных, пользуемся операторной формулой 1 4 (4) дх х<й Например, чтобы найти выражение второй производной у", в левую часть формулы (4) подставляем д', а в правую представление для д' по формуле (3). Получим 1 тт (у1 ух — ух 411 / .з 5. В исходном выражении (1) переходим к переменным 1, и. где д является функцией аргумента х, требуется перейти к новым переменным 1, и, где 1 независимая переменная, а и функция аргумента 1, причем переменные х, д связаны с переменными 1, и уравнениями Гл. ХР Неявные функции и их приложения 270 Замечание. Если формулы замены переменных (2) даны в форме, разрешенной относительно х, у (й и), то изложенная схема упрощается (см. пример 2 па с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
