В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Равенство (2) нужно понимать следующим образом; если в правую часть вместо у, подставить Х,(ЛХ) (1 = 1, ..., Й вЂ” 1, Й + 1, ..., и), то получится Хь(ЛХ), т. е. Ф(Х1(ЛХ), фз(ЛХ), ..., Х1.,(М), Хьфф (ЛХ), ..., Х„(ЛХ)) = = Хь(ЛХ) для всех точек М С Р. Определение. Функции (1) называются зависимыми в области Р если одна из них (безразлично, какая) зависит в области Р от остальных функций. Если же ни одна из функций (1) не зависит от остальных, то функции (1) называются независимыми в области Р. д д д,фд д =*1,д = -', д =ф:*',:*~: в круге Р = 1(хьд хд): х21 + х2 2< Ц, так как для всех точек этого круд, =,'г:д, -„,. пд ..д.
-.--...* функций рассмотрены ниже (см. пример 1 на с. 258). 2. Достаточные условия независимости и зависимости функций. ТЕОРЕМа 5, ПУСтЬ фУНКЦии У1 = Х1(Х1, тз, ..., Х,„), ..., Уи = Хдд(Х1, хз, ...,хт), гдв п < т, диффервкцируемы в окрестности ы точки Ме(хофдхфод...,хс ) и пусть якобиак этих функций по каким-либо переменным кв равен нулю в точке Ме. Тогда эти функции независимы вид.
Следствие. Если функции у1 = Х1(хь,хф, ...,хад), ..., уа = ХаХхд д х2, ..., х„,) зависимы в аз, то все якобианы ' ' ' равны Р(У1, У2, ", Уа) Р(х„д хд„д ..., хи,) нулю в аз. Составим матрицу из частных производных функций (1)1 дХ1 дХ1 дХ1 дх1 дх2 дхда дХ2 дХ2 д12 дхд дх2 дх' дХ дХв дХ„ дхд дхг дхда 9 В.Ф. Бутузов и др.
Гл. ХХ. Неявные функции и их приложения 258 Она называется функциональной матрицей. Сформулируем общую теорему о зависимости и независимости функций. Теорема 6. Пусты 1') функции (1) дифференцируемы в окрестности ш точки ЛХо(тес, хе„..., хо,), а частньсе производные. дХ, хз = 1,2, ..., п; Х = 1, 2, ..., «с) непрерывны в точке ЛХе, 2') функциональная матрица А имеет минор с -го порядка, не равный нулю в точке ЛХо,. 3') все миноры (г+ 1)-го порядка матрицы .4 (если такие иллеются) равны нулю в иг. Тогда г функций, представленных в указанном миноре г -го порядка, независилы в иг, а каждая из остальных функций зависит в некоторой окрестносгпи точки ЛХо от этих г функций.
Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение функции, зависимой от других функций в некоторой области. Зависит ли функции ус = х от функции уг = т на интервале — 1 < х < 1г Зависит ли функция уг от ус на том же интервале? 2. Дайте определение зависимости и аезавнсимости функций. Приведите пример зависимых функций. Зависимы ли функции ус = хс, уг = хг в окрестности точки 0(0, О)? 3. Сформулируйте теорему о достаточном условии независимости функций (теорему 5). Является .чи это условие (отличие от нуля какого-либо нкобиана этих функций в точке Лфд) необходимым условием независимости функций в окрестности точки ЛХьг (Рассмотрите функции ус = х, и уг = хг гв окрестности точки ЛХь(0, О).) 4. Сформулируйте необходимое условие зависимости функций.
5. Сформулируйте общую теорему о зависимости и независимости функций (теорему 0). Примеры решения задач 1. Доказать, что функции ус = хс + хг и уг = хсхг независимы н любой окрестности точки 0(0, .О). с.'с Решим задачу двумя способами; 1) пользунсь определением зависимости и независимости функций; 2) используя теорему 5 о достаточном условии независимости функций. 1 с п о с о б. Предположим, что ус и уг зависимы в некоторой окрестности точки 0(0,0). Тогда в этой окрестности либо ус зависит от уг, либо уг зависит от ус. Допустим, что ус зависит от уг, т. е.
ус = Ф(уг), и, значит, хс + хг = Ф(хсхг) для всех точек (хс,хг) из указанной окрестности. Отсюда для точек (хс,0) этой окрестности (т. е. точек, лежащих на оси Охс) получаем хс = Ф(0) = сопай а это противоречит тому, что хс изменяется вдоль оси Охс. Следовательно, ус не зависит от уг. уЯ. Зависилвсть функций Допустим, что уз зависит от уы т. е. уз — — Ф(уз), и, значит, хзхз —— = Ф(х~ + ха) длн всех точек (хм из) из Указанной окРестности.
Отсюда для точек (хы — хз) (т. е, точек, лежащих на прямой хз = — хз) получаем — хз = Ф(0) = сонат, а это противоречит тому, что х1 изменяется вдоль этой прямой. Таким образом, уз также не зависит от уы т. е. функции дз и рз независимы в любой окрестности точки 0(0, 0). И способ. Составим якобиан функций ды у по переменным хы хз.' Р(ум уз) 1 Р(хм хз) хз хз В точке 0(0,0) этот якобиан, очевидно, равен нулю. Однако в лю- бой окрестности ы точки 0(0,0) имеется точка Л1о(хм ха), у кото- рой х1 ф хз, и, следовательно, ' ф О. Окрестность из точки РЬ,р ) ~*их'~ и, 0(0, 0) нвляется также окрестностью точки ЛХо.
Таким образом, для окрестности из точки Мо выполнены условия теоремы 5, и, значит, функции д1 и уз независимы в из. А 2. Даны функции ') О, х<0;, 12 Доказать, что дз зависит от дз в некоторой окрестности любой точки числовой прямой, но у~ не зависит от уз на всей числовой прямой. Ь Для любой точки:с можно указать такую окрестность, в которой зависимость рз от уз при х, > — 1 выражается формулой дг = Фз (уз) = = дз, а при т, < — 1 формулой уз = Ф (уз) = О. Таким образом, уз зависит от уз в некоторой окрестности любой точки х. Вместе с тем уз не зависит от уз на всей числовой прямой Е'.
В самом деле, предположим, что это не так, т. е. дз зависит от уз на Е'. Тогда существует такая дифференцируезиая функция Ф(уз), что сразу для всех х выполняется равенство уг = Ф(уз), т. е. это равенство обращается в тождество относительно х при подстановке уз = дг(х), Уз = узах): узах) = Ф(уз(х)). Положим в этом тождестве х = — 2 Учитыван, что уз( — 2) = О, дз( — 2) = 1, получим Ф(1) = О.
Положим теперь х = 1. Так как дз(1) = 1, уз(1) = 1, то Ф(1) = 1. Равенства Ф(1) = 0 и Ф(1) = 1 противоречат друг другу. Следовательно, функция у~(х) не зависит от уз(х) на всей числовой прямой. А 3. Исследовать вопрос о зависимости функций уз = хг + хз + хз+ +хм уз =хз — хз+хз — хл, уз = (хз+хз) +(ха+ха) й~ Составим функциональную матрицу из частных производных Гл.
ХЕ Неявные функции и их приложения 2бо функций д|, уг, уз: 1 1 1 1 А= 1 — 1 1 — 1 2|гхг + хг) 2||ха + хл) 2г|х| + хз) 2|гхз + хл) Матрица А имеет минор второго порядка, отличный от нуля, напри- 1 1 мер, = — 2 у'. -О, а все миноры третьего порядка тождественно равны нулю, поскольку каждый такой минор содержит два одинаковых столбца.
Ото|ода по теореме б следует, что функции у| и уг независиыы в любой окрестности каждой точки М(хг,хггхз,хл) и, значит, незанисимы во всем пространстве Е~, а функция уз зависит от д| и у в некоторой окрестности каждой точки И'. Вместе с тем это не означает, чта уз зависит от у| и уз во всем пространстве Е4 (см. пример 2). Однако в данном слу чае нетрудно проверить, что д|, уг и Уг свЯзаны соотношением Уз = 0,5(дг + дг), следовательно, Уз зависит от У| и Уз во всеь| пРостРанстве Ег. ПоэтомУ У|, Уг, дз зависимы вЕл,д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 21.
До|ха|ките, чта функции и| = ху, иг = х, из = у зависимы на всей плоскости Оху. х|хг 22. Зависимы ли функции у| = ', уз = х|хгхз, уз = хз-' хг а) в окрестности точки (О, О, Ц; б) н полупространстве хз > О? 23. Пользуясь определением зависимости и независимости функции, докажите, чта: а) функции и| = ху и иг = — независимы в окрестности точки (О, Ц; у х|хг хз б) функции и| = и иг = — независимы в окрестности тачки хз """г (1, 1, Ц. 24. Пользуясь теоремой 5, докажите, что функции у| = з|п(хгх хз), уг = = х| соя хе независимы в окрестности точки (1, О, Ц. Зависимы ли эти функции в какой-нибудь окрестности тачки (О, О, О)? 25.
Пользуясь теоремой б, докажите, что функции и| = зггг(хуг), иг = хсазу, из = х з|в(хух) — х е|н(хдг)з|п у зависимы в некоторой окрестности точки (1, О. Ц, а лнзбые две из них независимы в любой окрестности этой точки. Зависимы ли функции и|, иг, из во всем пространстве Е 2 26. Пользуясь теоремой б, докажите, чта функции и| = ху+ ух+ ех, иг = г г, = х+ у+ е, из = х + у ф з зависимы в некоторой окрестности тачки (1, 2, 3), а любые две из них независимы в любой окрестности этой точки.
Зависимы ли функции и|, и|п из ва всем пространстве Езу 27. Докажите, что п линейных функций т переменных у, = а,|х| + жа,гхг+ ..жа„„х., (|=1,2,...,п; оп числа): а) зависимы при и > т во всем пространстве Е"'; б) независимы, если п = т и бег |(ац|| ф О. ХЯ. Условной экстремум 261 '3 3. Условный экстремум Основные понятия и теоремы 1. Понятие условного экстремума.
Рассмотрим функцию и = Х(х1, хз, ..., х,) = Х(ЛХ) при условии, что ее аргументы являются не независимыми перемен- ными, а связаны между собой й соотношениями (Й < т); Хг(х1,хз,...,хлг) = 0 (1 = 1 2 " Л). (2) Эти соотношения называются условиями связи. Пусть координаты точки ЛХв(хв1, хвз, ..., хв ) удовлетворяют уравнениям (2). Определение. Говорят, что функция (1) имеет в точке ЛХо условный лсинимум (максимум) при условиях связи (2), если существует таКая ОКрЕСтНОСтЬ ТОЧКИ МЕ, Чта дЛя ЛЮбОй ТОЧКИ ЛХ(Х1,Х2,..,,Хв,) (ЛХ ~ ЛХо) этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство Х(ЛХ) > Х(ЛХе) (Х(ЛХ) < < Х (11Хо)).
Иначе говоря, условный максих|ум (минимум) это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке ЛХе по отношению нс ко всеьл точкам из некоторой окрестности точки ЛХв, а только к тем из них, которые связаны меэкду собой условиями связи. Рассмотрим два метода решения задачи об условном экстремуме функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
