В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 42
Текст из файла (страница 42)
...,х ) стаоовигсн функцией одной переменной. Производнан этой функции одной переменной и есть частная произнодная функции и = = Х(хз, ..., х„,) по аргументу хь. Поэтому вычисление частных производных производится по тем же правилам, гго и вычисление производных функций одной переменной. ди Физический смысл частной производной: — (ЛХ) это скорость дхт изменении функции в точке ЛХ в направлении оси Охь. Замечание. Если ЛХ . граничная точка области определения функции, то для такой точки введенное определение частной производной Гл. Х.
Функции нескольких переменных может быть непригодным. Например, если функция и = Х(х, у) определена в треугольнике С (рис. 26), то для граничЛХа(эа: ио) най точки ЛХа(хэ, уа) не определено частное приращение Л,и, так аак при любом ах ф О точка ЛХ(ха -Ь дьх, да) лежит вне области С. ди Поэтому нельзя апрелелить — (ЛХа), пользу- дх ась данным выше определением частной производной. В таком случае, если сушестау- ди ет частная произваднан — во внутренних дх точках ЛХ области С, та па определению па- ди . ди О лагают †(ЛХэ) = 1пи †(ЛХ) (если этот дх и- мэ дх предел существует).
2. Определение днфференцнруемостн функции. Рассмотрим полное приращение функции и = Х(ты...,х ) во внутренней точке ЛХ(хы ..., т, ) области определения функции Ьи = Х(хг + Ьхы ..., х, + Ьх ) — Х(хы ..., хж), Оно нвлнетсн функцией аргументов Ьхы ..., Ьх Определение. Функция и = Х(хы ...,х,„) называется дифференцируемай в точке ЛХ(хы...,х ), если ее полное приращение в этой точке лзожно представить в виде Ххи = А~Ьх~ + ... + Аы21хы + а|~ьх1 + ...
+ а Ьхно (1) где А, некоторые числа, а,(1 = 1, ...,т) функции аргулзентов Ьхы ..., ьххи„бесконечно малые при Лхг — г О, ..., тэх,и — э О и равные нулю при лэх1 = ... = Ьхн, = О. Условие дифференцируемости (1) можно записать в другой, эквивалентной форме Ьи = А1Ьхг + ... + А,„лзхн, + а(р), (2) где р = расстонпие между точками ЛХ(хы ...,хт) и ЛХ (т1+ ь1хы ...,х + Ьх1и), а(р) = о(р) при р э О, а(О) = О.
Теорема 12. Если функция и = Х'(хы ..., х,„) дифференцирувма в точке ЛХ, то она непрерывна в атой точке. Обратная теорема неверна, т, е, непрерывность нвлнетсн только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции (см. замечание к примеру 1., б) на с. 219). 3. Связь между днфференцируемостью н существованием частных производных. Напомним, что длн функции одной переменной д = Х(х) существование производной в точке ха является необходимым и достаточным условием дифференпируегиости функции Частные производные 215 в этой точке.
Для функции нескольких переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивелентными свойствами функции. Теорема 13 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция и = Х(х!, ..., хт) дифференцируема в точке ЛХ, то ока ил«еет в точке ЛХ частные производные по каждому аргументу х!, ..., х,„. ди При этом — (ЛХ) = 4я (1с = 1,2, ...,т), где Ая .- числа из равен- дх!„. ства (1). Поэтому условие дифференпируемости (1) можно записать в ниде й«и = (ЛХ)Ьх! + ... + (ЛХ)Ьх, + о!й«х! + ...
+ о,„Ьх . (3) ди ди х! дхт Обратная теорема неверна, т. е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции (см, пример 2 на с. 219). Теорема 14 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция и = Х(х„..., зт) имеет частные производна«е по каждому аргументу х!, ...,х,„в некоторой окрестности тоти ЛХ и эти частные производные непрерывны в точке ЛХ, то функция и = Х(хы ..., хт) дифференцируема в точке ЛХ. Отметим, что непрерыв- и ность частных производных нвляется только достаточным, но не необходимым условием диф- Я феронцирусмости функции (см.
пример 3 на с. 220). 4. Геометрический смысл диффереицируемости функ- !Уе ции. Напомним, что для функции одной переменной у = Х(х) ! ! из дифференцируемости функ- ! ции в точке хо следует сущест- ° М! !*, У! вование касательной к графику ! ! функции в точке ЛХ(хо, Х(хо)). Лте(ее уе) Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных и = Рис. 27 = Д(х, у), (х, у) е С. График этой функции, т. е. множество точек Я = ((х,у, Х(х,у)), (х,у) б Е С), представляет собой поверхность в пространстве Е'. Пусть плоскость Р проходит через точку Л!о(хо,уо,Х(хо,уо)) поверхности 5; Лг(х,!у, Д(х,у)) произ-вольная точка на поверхности 5, 1уг основание перпендикулнра, проведенного из точки 1Ч к плоскости Р (рис.
27). Определение. Плоскость Р, проходящая через точку 1уо поверхности 5, называется касательной плоскостью к поверхности 5 Гл. Х. Функции нескольких переменных 2'хе н этой точке, если пРи ЛХ вЂ” ~ Л(е (Л( Е Я) величина Р(1ч', Лх~ ) Явлнетса бесконечно малой более высокого порядка, чем р(Л(, (чо), т. е. '') =О 1гнх г(-хая Р(хч, Ло) лен Теорема 15. Если функция и = Х(х,у) дифференцируема в точке ЛХе(хо, уо), то в точке Ххе(хе, уо, Х(хо, уе)) существует касательная плоскость к пооерхности Е (граф(хку этой функции), причем уравнение касательной плоскости мест вид ди ди — (Мо)(х — хо) + — (ЛХо)(у — уо) — (и — Х(хо,уо)) = О дх ду ( ди Вектор и нормали к касательной плоскости, т. е, и = ~ — (Мо), дх ди — (ЛХе), — 1), .называется вектором нормали (или нормалью) к поверхду ности я в точке д(о(хо,уо, Х(хо уо)) 5. Дифференцируемость сложной функции.
Те о р е м а 16. Пусть функции хх — — Фх((х, ...,(ь), ..., х,„ ((х ~ ",(ь) дифференцируемы в точке А(ам ..., аь), а функция и = = г(х(,..,,хп,) дифференцируема в точке В(Ь,,...,Ьп,), где Ьг = = р;(ах, ..., оь) (х = 1, ..., Й). Тогда сложная функция и = ((усд((д, ...,(х), ..., угп,((х, ...,(у)) дифференцируема в точке .4 и ее частные производные в этой точке выражаются формулой д" (- ) =," (В) "'(А)+- + д" (В) ","'(А) = (В) '(А), ( =1,...,Ь. (4) 2=1 6. Дифференциал функции. Пусть фуакция и = Х(хх, ...,х, ) дифференцируема и точке М(хх, ...,х ), т, е, ее приращение п этой точке можно представить в виде (3): хли = ~ ' (ЛХ) хлх1 + ...
+ (ЛХ) хххпх~ + (хх|хлхх + ... + хххпхлххп). ( ди ди хх дх,п Выражение и квадратных скобках является линейной относительно хлхх,...,Ьх частью приращении функции, а выражение в круглых скобках бесконечно малой функцией при Ьхх — ~ О,...,г'.гх — ~ 0 более высокого порядка, чем р = (21хх)2+ ...
+ (г1х )'-'. Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции и = Х(хх, ..., х ) в точке ЛХ называется линейная функция аргументов гххх, ..., гхх„,: ди = (М) хлхх + ... + (М) Лхю. х1 дх~ Частные производные 217 Дифференциалом независимой переменной зц будем называть приращение этой переменной; е(хе = Г5хз. Тогда дифференциал функции и = Х(хз, ..., .хт) в точке ЛХ можно записать в виде зХзз = — (ЛХ) е(хз + ...
+ — (ЛХ) г(хо,. дзз ди дхз дхт (5) Если аргументы дифференцируемой в точке ЛХ(Ьм ..., Ь ) функции и = Х(хы ..., т, ) являются не независимыми переменными, а дифференцируемыми функциями каких-либо независиэиых переменных Гм "., Гь: Пхз = —,'(А) сГГз + ... + — Г(А) г?Гь, з = 1,...,т.
даз дх; дгз дэь Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение частной производной функции и = Х(хм ..., х„,) по аргументу хь во внутренней точке областв определения функции. Каков физический смысл частной производной? ди ди 2. Пользуясь определением частной производной, найдите — и †, если 2 дх ду' и=хи.
3. Почему длэ граничной точки определение частной производной может быть непригодным? Как определнются частные производные функции в граничных точках области определения функции? 4. Дайте определение дифференцируемости функции в данной точке. Докажите эквивалентность условий дифференцируемости (Ц и (2). Докажите дифференцируемость функции и = х|хз в точке О(0, О), представив ее приращение в этой точке в виде (Ц. 5.
Докажите, что дифференцнруемая в данной точке функция непрерывна в этой точке. Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. б. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии дифференцируемости. 7. Сформулируйте теорему о достаточном условии дифференцируемости. 8. Пусть дана функции ГО и(х, у) = ~ на осях координат.
в остальных точках плоскости. хь = Фз(Гм...,гь), ..., х = эз,(Гм...,?ь), (6) причем Ь~ —— узз(ам...,аь), ..., Ьт = ~р (аы...,аь), то дифференциал сложной функции и = Х(узь(Гы ..., Гь), ..., Чз (Гм ..., Гь)) в точке .4(аы ... ...,аь) по-прежнему имеет вид (5), но Пхм ...,Пх,„являютсн не приращениями переьэенных хы ...,хт (как в случае., когда хм ...,хт независимые переменные), а дифференциалами функций (6) в точке .4, т. е. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
