В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Каков максимальный радиус такого шара? 3. Дайте определение внутренней точки множества. Может ли внутренняя точка множества не принадлежать этому множеству? 4. Дайте определение граничной точки мно кества. Может ли точка быть одвовремевно внутренней и граничной точкой какого-то множества? Может ли точка множества быть одновременно не внутренней и не граничной точкой этого множества'? 5. Дайте определение открытого множества.
Являются ли открытыми следующие множества: а) т-мерный шар; б) т-мерная сфера; а) г-окрестность точки? 6. Дайте определение замкнутого множества. Может ли множество быть одновременно: а) открытым и замкнутым: б) не открытым и не замкнутым? Являются ли замкнутыми следующие множества: а) пммерный шар; б) т-мерная сфера; в) г-окрестность точки, г) т-мерный параллелепипед' ? 7. Что представляет собой граница: а) тп-мерного шара; б) открытого т-мерного шара; а) т-меряой сферы? 8. Дайте определение предельной точки множества.
Дока."ките, что любая внутренння точка множества явлнется предельной точкой этого множества. Может ли граничная точка множества: а) быть предельной точкой этого множества; б) не быть предельной точкой этого множества'? Примеры решения задач 1. Доказать, что для л!обых точек ЛХг, Мг, ЛХз пространства Е справедливо неравенства треугольника (4) Пусть точки М!, ЛХг, Мз имеют следующие координаты; М! (х! хз ...
Хгп) Мз (у! уз " ' !у~) ЛХз (х! з; "; хт). Тогда ! г?г т г? в р[в,,рьг)= ~~[„— „,!), да„м)=)~[„—,,!) ?=! ?=! ! г?з Р(ЛХз Х(Х2) — ~(хт ую) !=! 9. 10. 11. 12. 13. 1а. 16. 17. 18. ХА т-мврпов евклидова пространство Дайте определении: а) ограниченнога множества; б) непрерывной кри- вой; в) прямой в пространстве Е . Может ли непрерывная кривая быть неограниченным ьшожеством? Явлнется ли пряман замкнутым множеством? Дайте определение связного множества. Являются ли свнзными сле- дующие мно!кества: а) гп-мерный шар; б) аг-мернан сфера; в) прямая н пространстве Е' '! Дайте определение окрестности точки.
Докажите, что в любой окрест- ности точки А содержится некоторая в-окрестность этой точки. Какое множество точек называют: областью; замкнутой областью'? Сформулируйте определении: а) последовательности точек пространст- ва Е"'! 6) предела последовательности (ЛХ„). Дайте геометрическую интерпретацию определения предела последовательности (ЛХ„).
Сформулируйте лемму об эквивалентности сходимости последователь- ности (ЛХ„(х,,х , ,х )) и сходимости т числовых последователь- настей (х!"!),(х!'!),...,(х!"!). Пользуясь определением предела, дока- жите эту лемму. Сформулируйте определения: а) фундаментальной последовательности (ЛХ„) точек пространства Е"'! 6) нефундаментальной последователь- ности (ЛХ ) (пользунсь правилом построения отрицаний). Дайте гео- метрическую интерпретацию этих определений. Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности (ЛХ„).
Сформулируйте определения: а) ограниченной последовательности (ЛХ„); б) неограниченной последонательности (ЛХ„). Дайте геол!етри- ческую интерпретацию этих определений. Дайте определение подпоследовательности последовательности (ЛХ„) и сформулируйте теорему Больцано-.Вейерштрасса.
Верно ли утвержде- ние: из неограниченной последовательности (ЛХ„) можно выделить схо- дящуюсн подпоследовательность? Р(ЛХ!) ЛХз) ~ ~Р(М! ЛХз) + Р(ЛХз, Мг) Для доказательства справедливости неравенства (4) нам понадо- Гл. Х. Функции нескольких переменных 196 битси неравенство Буняковского для сумм*) зч .ь. г ~ 2 ,'~ 1 2 ь,'~ Используя это неравенство, получаем т Пь Рз(ЛХО М ) = ~ (х — у1)2 = ~ ((х1 — 1) + ( 1 — у1))' = 1=1 т, т 1Л, = 'Г (х, — г,)2 + 2 ') (л,, — хз)(21 — уг) + ~~ (х, — дг)2 ( г=1 1= 1 1.=1 г 11!зг "' 112 гп < ~.(шг — 1)2 + фХ, — 1)'~ ~ ~.(Х, — .)-'~ + ~.(з. — у,)2 т 1=1 г=1 1=-1 1=-1 = Рз(й11г Мз) + 2Р(ЛХ1, ЛХз)Р(ЛХзьЛХ ) + Рз(Л|„ЛХ2) = = (Р(М,ь ЛХз) + Р(ЛХзь РХ2))'.
Мо 1 г I р(М,А) < р(М,Мо) + р(ЛХо,А) < +т' = = Х~ — г + г = ХХ. Рис. 26 Таким образом, Р(М1 А) < Хг!, т. е, любая точка ЛХ из указанной 6-окрестности точки Мо принадлежит шару й, что и требовалось доказать. Отметим, что в случаях трехмерного пространства и плоскости доказанный факт явлнется наглядно очевидным (рис. 2б). д 3. Доказать, что сфера 5 = (М: р(ЛХ, А) = Хт) является замкнутым множеством.
т.'ь Согласно определению замкнутого множества нужно доказать, что *) Доказательство справедливости неравенства Вунлиовского длл сумм приведено в учебнике В.А. Ильина и сцг. Позняка аосновы математического анализа", ч. 1 (М., Наука, 1982), с. 349. Отсюда следует, что Р(ЛХ1, ЛХ2) ( Р(ЛХ1, ЛХз) + р(ЛХз, ЛХ2). и 2. Доказать, что открытый шар й = 1,М: р(ЛХ, А) < Хь) нвляется открытым множеством. Ь Согласно определению открытого множества нужно доказать, что любая точка шара Й является внутрсьшей точкой этого шара, т.
с. что Длн любой точки Мо б й сУЩествУет нскотоРаи 6-окРестность этой точки, целиком принадлежащая ИП Пусть ЛХо --- произвольная точка шара И и пусть р(ЛХо,А) = г. Так как ЛХо с П (1, то г < В. Положим я = Л вЂ” г и рассмотрим 6-окрестность точки ЛХо. Любая точка ЛХ l из этой 6-окрестности удовлетворяет условию р(ЛХ, ЛХо) < 6. Используя неравенство треуголь- 1 1 ника, получаем ХХ т-верное евнлидово пространство шт сфера содержит псе сноп граничные точки. Докажем сначала, что любая точка Мо сферы является граничной, т.
е, что в л|обой в-окрестности точки ЛХа содержатся точки, как принадлежащие сфере, так и не принадлежащие ей. Пусть точки А и ЛХо имеют следующие кооРдинаты: А(п,,аз, ...,а,„), Ма(хв,хо, ...,ха,). Так как ЛХа Е Я, то р(Мо,А) = (х", — ал)з+ ... +(хт — от)' = Л,. о х,— и, с Расслютрим тачку ЛХ(хм хе, ...,х ), где х, = т + Л 2 Поскольку р(ЛХ, Мо) = — <" 2 точка М содержится а --окрестности точки ЛХо. Кроме того, точка М не лежит на сфере Я, так как Р(Л1,А) = (х1 — а~)' +" + (хт ат)2 = Л+ > Л. Таким образом, н произвольной в-окрестности точки Мо сферы содержатся точки, как принадлежащие сфере (например., сама точка ЛХо), так и не принадлежащие ей (например,.
точка М). Заметим, что в случае сферы в трехмерном пространстве этот факт наглядно очевиден. Итак, любая точка сферы является ее граничной точкой. Если же точка ЛХа не лежит на сфере, то она не является граничной точкой этой сферы. В самом деле, если, например, р(ЛХо, А) = г < Л, то, взяв в = Л вЂ” г, получим, что ни одна точка М из в-окрестности точки ЛХа не лежит на сфере (р(ЛХ,А) < р(М,Мо) + р(Мо, А) < в+ с = = Л). Эта и означает, что точка ЛХа не является граничной точкой сферы. Л1ы доказали, что множество всех граничных точек сферы совпадает с самой сферой. Значит, сфера содержит все свои граничные точки, т. е.
является замкнутым множестном. д 4. Доказать, что если А предельная точка множества (М), то существует последовательность (ЛХ„), сходящаяся к А, каждая точка которой принадлежит множеству (ЛХ) и не совпадает с А. 7л Рассмотрим выокрестность точки А, где в1 = 1. Согласно определению предельной точки множества в еыокрестности точки А содержатся точки множества (М), отличные от А. Возьмем одну из этих точек и обозначим ее Мн Пусть р(ЛХы А) = Бы Очевидно, Лл < 1. Положим вз = 1пш(ды17'2). В вз-окрестности точки А таквке содержатся тачки множества (ЛХ), отличные от А.
Одну из этих точек обозначим ЛХз. ПУсть Р(ЛХ2,.4) = Л . Очевидно, Лз < 17'2. Далее, положим вз = шш(дз, 17'3) и аналогичным образом выберем точку Мз Е (М). При этом р(МжА) = дз < 1ХЗ. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность (ЛХ„), каждая точка которой принадлежит (М) и пе совпадает с А, причем р(ЛХ„,А) < 17'п. Отсюда следует, что (ЛХи) -+ А при п-+ос. д Гл. Х. Функции нескольких переменных 198 Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 1.
Докажите, что т-мерный шар (Мс р(ЛХ, А) ( й) явлнетсн замкнутым мноясеством. 2. Докажите, что если множество (М) точек пространства Е ограничено, то оно содержится в некотором т-мерном шаре с центром в точке 0(0,0, ...,О). 3. Докажите, что огравиченность множества (ЛХ(хг, хг, ..., х )) эквивалентна ограниченности т числовых многкеств (хс), (хг), ..., (х,). 4. Докажите, что в простравстве Е"' непрерынная кривая ограниченвое множестно, а прямая неограниченное множестно. 5. Составьте уравнения прнмой, проходншей через точки ЛХ((у(, уг, ..., у ) и Мг(зг, аг, ..., з,,). 0. Докажите, что т-мерный шар (ЛХ: р(ЛХ, А) ( Л) явлнется связным мпожествол(.
7. Найдите множество всех предельных точек: а) т-мерного шара; б) открытого сп-мерного шара; в) тп-мерной сферы. 8. Докажите утверждение: дпп того чтобы многкество (ЛХ) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои предельные точки. 9. Докажите, что если последовательность (ЛХ„) граничных точек множества (ЛХ) сходится к точке А, то А . также граничная точка многкества (М). 10. Докажите, что если все точки последовательности (ЛХ„) принадлежат замкнутому множеству (ЛХ) и (ЛХ„) -э А при и -э сю, то А С (ЛХ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
