В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пользуясь определением, покажите измеримость функций: а) 1(х) = с = солей х 6 [а,Ь]; б) 1'(х) = х, х 6 [а,Ь]; (О при 0(х(1/2, (1 при 1/2<х(1. 3. Сформулируйте теорему, выражающую необходимое и достаточное условие измеримости функции на множестве Е. 4. Сформулируйте свойства 1'. 5' измеримых функций.
Докажите свойства 1 — 3 . 5. Когда говорят, что некоторое свойство справедливо почти всюду на множестве Е'? 6. Какие функции называютсн эквивалентными на множестве Е'? Докажите, что функция Дирихле эквивалентна на [а, Ь] непрерывной функции. Чему равна мера множества точек разрыва функции Дирихле на [а, Ь]7 7.
Сформулируйте и докажите свойство 6' измеримых функций. 8. Пользунсь свойствами 5' и 6', докажите, что если функция ?(х) эквивалентна на [а, Ь] непрерывной функции, то 1'(х) измерима па [а, Ь]. 9. Сформулируйте теорему Лузина. Проиллюстрируйте ее на примере ?О при 0(х(1/2, Гл. 1Х. Мера и интеграл Лебега Примеры решения задач 1. Доказать, что функция Дирихле 1г(х) (см, формулу (1)) измерима на [а,6]. гз По определению измеримой функции нужно доказать, что Чс множество (х с [а,6]: т'(х) < с) = Е, измеримо. Рассмотрим три случая.
Если с > 1, то Е, = [и, 6] — измеримое множество. Если О < с < 1, то Е, = 11, где ~;~ множество всех иррациональных чисел [а, 6] измеримое множество. Если с < О, то Е, = о, где а — пустое множество. Пустое множество считается измеримым: )гю' = О. Итак, В(х) измеримая функцин. А 2. Доказать свойство 5'.
непрерывная на [а, 6] функция 1(х) измерима на [а,6]. Ь Докажем, что Чс множество (х Е [а, 6]: 1(х) < с) = Е, измеримо. Если Е„= ю, то Е, измеримо; )гЕ, = )гю = О. Пусть Е„не пусто. Докажем, что Ее -. замкнутое множество. Отсюда будет следовать, что Ее измеримо, Пусть хо --. предельная точка множества Е,. Нуно но доказать, что хо е Ее Ясно, что хо е [а, 6].
Согласно определению предельной точки з1х„) — э хе, причем ~~п хи с Е,. Из непрерывности )(х) в точке хо следует, что (т'(х„)) — э ] (хо), а так как х„с Е,, то 1(хе) < с. Значит, )'(хо) < с, т. е. хо Е Е„ что и тРебовалось доказать. А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 11. Докажите теорему, выражающую необходимое и достаточное условие измеримости функции на множестве Е. 12. Пусть 0 при х б Е, ( 1 при х Е П = [О, Ц '~ Е, где Е и 22 множества из примера 5 нз 6 1. Докажите, что: а) т"(х) измеримая функция на [О, Ц; б) Р является множеством всех точек разрыва р"(х); в) Че > 0 существует непрерывная на [О, Ц функция д(х) такая, что р(х с [О, Ц: г'(х) ф д(х)) < е. 13.
Докажите, что фуаяцня р(х) = х, х П 22, где В множестве из упр. 12, измерима не мнел1естае тл. 14. Пользуясь теоремой Лузина, докажите, что сумма, разность и произведение измеримых аа [а, Ь] функций являются измеримыми на [а,6] функциями. 2 3. Интеграл Лебега Основные понятия и теоремы 1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции. Пусть Е произвольное измеримое множество. Разбиением множества Е назовем любую совокупность Т = 1Еь1 коночного чис- 9З. Интеграл Лгбега 187 ла измеримых множеств Еы Ег,...,Е„такую, что (] Еь = Е; Е; П Е. = О при г у'. -Х, Пусть на множестве Е определена ограниченная функция Х(х).
Для произвольного разбиения Т = (Еь) положим ЛХь = зпр 1(х), пц„. = 1пХ 1(х) и составим две суммы; нч и Ят = ~~', МьрЕчо ь=1 Числа Вт и зт называются верхней и нижней суммами разбиении Т. Очевидно, чТ вт < Вт. Рассмотрим числовые множества (зт) и (Ят) всевозмозкных нижних и верхних сумм. Они ограничены снизу числом трЕ, а сверху —- числом Л1ИЕ, где гп = шХ 1(х), М = зпр Х(х), и,. следовательно, имеют и я точные грани. Числа 1 = впр (зт) и 1 = 1пХ (Ят) называются нижним и верхним интвгралали Лебега. О п р е д ел е ц и с.
Ограаиченная па измеримом множестве Е функция 1(х) называется интегрируемой по Лебегу на этом множестве, если 1 = 1. При этом число 1 = 1 называется интегралом Лебвга от функции 1(х) по множеству Е и обозначается / Х(х) др(х). 2. Связь между интегралами Римана и Лебега. Тео реги а 4. Всякая функц я, интегрируемая по Риману на (и, Ь], является интегрируемой на [а, Л] по Лебегу, причем интегралы Р мана и Лвбвга от такой функции равны. Замечание.
Обратное утверждение неверно (см. пример на с. 189). 3. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций. Теорема 5. Для того чтобы ограниченная на измеримол множестве Е функцил 1(х) была интегрируела по Лебвгу на этол множестве, необходимо и достаточно, чтобы Х(х) была измеримой на Е. 4. Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм. Пусть Х(х) ограниченная измеримая функция на множестве Е, т = шХД(х), ЛХ = впрах), и пусть уы дг, ..., уо 7 прои ь. извольные числа такие, что т = до < дч < уг « ...
д„= ЛХ. Лвбеговским разбиениелч чипчожества Е называется разбиение Т=(Еь), где Еч =(хе Е:уо <У(х) ~(дч), Еь =(х ЕЕ:уь-ч < < 1(х) < уь), й = 2, 3, ..., и. Пусть дь — произвольная точка из Еь (Л = 1,2,...,п). Число Гл. 1Х. Мера и интеграл Лебега 188 1(ЕьоСь) = ~ ~1 Я)рЕь называется лебеговсяай интегральной сумжай Ь=1 (если какое-то Еь. = О, то Еь не соДеРжит ни оДной точки Сь,и соответствующее слагаемое в сумме считаем равным нулю).
Положим б = гаах дь, где дь = ул — уь 1(лап Теорел1а 6. Предел лебегавсяих интегральных сульн при д — л О равен интегралу Лвбега, т. в. 1цп 1(Ел-, сь) = ) 1(х) др(х) . г — ~0 н Из втой теоремы следует, что интеграл Лебега можно определить как предал лебегонских интегральных сумм при б — ь О. Такое определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана с той разницей, что при составлении лобеговских интегральных сумм на частичные сегменты разбивается не область определения, а мнолкество значений функции.
5. Свойства интеграла Лебега. 1'. /др(х) = рЕ. я 2'. Линейность интеграла. Если 1(х) и д(х) интегрируемы на Е, а о и )1 произвольные числа, то функция о? (х) + )1д(х) интегрирусма на Е, причем /(о1(х) + дд(х) др(х) = о~1(х) др(х) +О~у(х) др(х). 3'. Аддитивность интеграла. Если 1(х) интегрируема на Е„и Ег, причелл Е, П Е = о, то 1(х) интегрируелла на Е, О Ег и выполняется равенство / У(х) др(х) = / 1'(х) Йр(х) + / 1(х) Йр(х). вь в2 яьыпг 4'.
Если 1(х) и д(х) интегрируемы на Е, причем 1(х) ) д(х) 11х Е.Е, то Г~(*) д (.) . 1. (.) д (х) Контрольные вопросы и задания 1. Что называется разбиением измеримого множества Е? 2. Что такое верхняя и нижняя суммы данного разбиения? 3. Докажите, что если разбиение Тг получено из разбиения Т) = (Еь) с помощью разбиений каких-то Ел (т. е. путем измельчения разбиения Т~), то гт, ( гт„дт, ~ 3Ятл 4. Докажите., что вт, ~ ~дт„гт, ~( Вт, для любых разбиений Т~ н Тг. 5. Что такое верхний и нижний интегралы Лебега? Докажите, что 1 ( 1.
Х 3. ХХнтеграл Лебгга 6. Дайте определения интегрируемой по Лебегу функции и интеграла Лебега. 7. Какова связь между интегралами Лебега и Римана? 8. Что представлнет собой класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций? 9. Что такое лебеговское разбиение? 10. Что такое лебеговская интегральная сумма? 11. Можно ли определить интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм'? В чем состоят общвость и отличие такого определения интеграла Лебега по сравнению с определением интеграла Римана' ? 12. Перечислите свойства интеграла Лсбега.
Пример решения задачи Доказать, что функция Дирихле Р(х) (см. формулу (1) из 8 2) интегрируеыа по Лебегу на [а, Ь[, и найти / Р(х) л?Л(х). Ььь? 1У 1 способ. Так как .Р(х) > О, то для любого разбиения Т игиеем гт > О, $т > О. Рассмотрим разбиение Т' сегмента [а, Ь] на множество Я рациональных чисел и множество ('1 иррациональных чисел. Для этого разбиения $т. = зпрР(х)?лЯ+ зпрР(х)4 = 1. О+ О (Ь вЂ” а) = О.
л? Таким образом, множество ($т) содержит число О. Поэтому 1 = = 1п1($2) = О. Так как все гт > О, то 1 = зпр (зт) > О, а поскольку 1 < 1, получаем 1 = О. Итак, 1 = 1 = О. Отсюда следует, что функция Р(х) интегрируома по Лебегу на [а,Ь[, причем / Р(х)л?Л(х) = О, ?а,ь? И способ.
Для любого лебеговского разбиения Т = (Еь) имеем ?лЕл =?л(х б [а, Ь[: О < Р(х) < ул < Ц = = д7С=Ь вЂ”,, 1®) =О 11л ~Е,; ПЕз =ПЕз =".=ЛЕ~. л =ИВ =О; рЕ„=?л (х с [а, Ь[: О < ро л < Р(х) < 1) = =?лЛ,) = О, 1"(~„) = 1 л?~„Е Е,. Поэтоьлу 1(Ело 4ь) = лг(4л)рлг+ л'(с„)?лЯ = О, т. е. любая лебеговская интегральнан сумма равна нулю. Следовательно, 1пп1(Еь,~ь) = О, л — ло т. е. функция Р(х) интегрируема на [а, Ь), причем / Р(х) л??л(х) = =О.А ?а,ь1 Гл. ТХ. Мера и интеграл Лебега 190 3 а м е ч а н не.
Известно, что функция Р(х) неинтегрируема по Риману на [а,Ь). Таким образом, интегрируемая по Лебегу функция может быть неинтегрируемой по Римапу. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1б. Пусть 1(х) функция из упр. 12. Докажите, что 1"(х) ивтегрируема по Лебегу, но неинтегрируема по Риману на [О, 1). 16. Для функции из упр. 1Ь составьте лебеговские интегральные суммы и вычислите / Г(х) йр(х). (ел; 17. Докажите, что функция Р(х) из упр.
13 интегрируема по Лебегу на множестве В, и вычислите /Р(х) г)р(х). о 18. Докажите, что если функция )'(х) = О почти всюду на измериьюм множестве Е, то она интегрируема, причем /~(х) др(х) = О. Е 19. Докажите, что если ограниченные функции 1(х) и д(х) эквивалентны на множестве Е и функция 1(х) интегрируема на Е, то функция д(х) танже интегрируема на Е, причем )' д(х) г(р(х) = / т" (х) йр(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
