В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

12). Рис. 13 Г .12 Далее, используя симметрию кривой, построим всю кривую (рис. 13). а 2. Построить кривую, заданную параметрически: х = 21 — г~, у = 31 — 1з. (2) Ь 1'. Имеем 1 с 1 — со,+ос), х Е 1 — со, — со), у Е 1+со, — оо). Таким образом, при х 4 — оо (1 — ь хсо) возмогкны наклонные асимп- у . 31 — 13 тоты. Однако 11пг — = 1пп, = со, т.

е. асимптот нет. л — г — аа и г — гЬаг 21 — га 2'. Свойствами симметрии и периодичности кривая не обладает. 3'. Имеем х = 0 при 1 = 0 и 1 = 2; у = 0 при 1 = О, 1 = — тггЗ и 1 = 4Л. 4'. Находим х11) = 211 — 1) = 0 при 1 = 1, у11) = 3(1 — 1е) = 0 при 1=-1и1=1. 3 5'. Так как 7а = , то Гк > 0 при 1 < 1, 1'а < 0 при 1 > 1. 411 — 1) ' 42. Кривые, заданные параметричеени 141 6'.

Составим таблицу; 7'. Строим кривую. Заметим, что если 1 рассматривать как время, а кривую, заданную системой ураннений !2), -. как траекторию движения точки на плоскости (х, у), то 1х, у) есть нектор скорости движения этой точки. При ! = 1 в данном примере х!!) = р(т) = О, т. е. скорость равна нулю, причем при переходе через ! = = 1 т1!) и у(1) меня1от знак. Это означает, что при ! — э 1 — О точка, движущаяся по траектории, приближается к точке И'(1,.2) (рис. 14), в момент ! = 1 останавливается в точке И', а далее движется в обратном направлении. Так как 1пп "~ ) = 1пп з — 1 — о х!1) з — 1+о х!1) ' то ветви траектории., соответствую- Рнс. 14 щие ! < 1 и ! ) 1, имеют при ! = 1, т, е, в точке И'(1, 2), одну и ту же одностороннюю касательную. Точка $Г"(1,2) называется точкой возврата (такое название, очевидно, соответствует рассмотренной выше физической интерпретации). А 3 а м е ч а н и е 1.

Для кривой, заданной уравнением вида Г(х,р) = О, !3) иногда удается получить параметрические уравнения. Обычно это делается так. Положим р = о!4)х", где о!1) и и — выбранные подходящим образом функция и число. Подставляя выражение для р в уравневие (3), получим г !х, оИ)х") = О. Пусть х = р!1) . решение этого уравнения. Тогда *=рФ: в=о!1) "Ф= — ф11) параметрические уравнения кривой. На практике выбор функции о!1) определяется видом функции Г(х,р).

Рассмотрим криву1о, заданную уравнением х фу = 2хр. !4) Этому уравнению могут удовлетворять координаты х, р только тех точек, которые лежат в 1 и Н1 квадрантах или па осях координат, т. о. должно быть выполнено неравенство ху ) О. Для перехода к параметрическим уравнениям кривой положим у = х,/Я7. Подставляя это выразкение в уравнение !4), получим х !1+13 1) = 2х ~,l Ф31, откуда х = О и х = ь414131сов К Первое решение х = О содержится во втором при 1 = О. Таким образом, параметрические уравнения кривой имеют вид х = ~/4131сов1, р = „(41131)зсоэб Гл. )'11. Графики функций 142 Однако параметр С можно ввести и иначе, полагая, наприыер, у = тС. Тогда приходим к следующим параметрическим уравнениям кривой: '=/ 2| 2|г Ч~' |Н , 2|з Гч- ст " ! 4- ст Дальнейшее исследование кривой проведите самостонтелы|о длн обоих слу- чаен введения параметра С.

3 а м е ч а н и е 2. Кривую, заданную в полярных координатах, мол|но ис- следовать, используя схему, изложенную в этом параграфе. Действитель- но, пусть в полпрной системе координат 1уг, р) кривая задана уравнением р = /С|р). Тогда, выражая декартовы координаты через полярвые: х = р соз уг, у = р з!и уг, получим параметрические ураваения кривой !уг — параметр) х = /!у|) сов уг, у = /(р) в|п |р. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Постройте кривые, заданные следующими уравнениями. 27. х= — (С+Ц~, у= — (С вЂ” Ц . 28.

х=, у= 4 4 1 — Сг ' 1 4- Сг 29. х=, у= ЗО. х = — 5|г + 2|г, у = — З|г ж 2|г. С вЂ” 1 Сг — 1 Сг 4-1 С (С ж 2)г (С вЂ” 2)г 31.х=, у= . 32.х=, у= 4(! — С) С -|-! С-|-1 С вЂ” 1 с сг сг сг ЗЗ. х=, у= 1 4- Сг 1 -Ь Сг Переходя к параметрическим уравнениям, постройте кривые, заланные следующими уравнениями. 34. ха + уз = Заху, где а > 0 !лист Декарта). 35. (х — а)ггхг ж уг) = Ьгхг, где а > О, Ь > 0 Сконхоида Никомеда). Рассмотрите случаи: а) а > Ь; б) а = Ь; в) а < Ь; установите в каждом из них, каков характер особой точки кривой О10, 0). 36.

и~С~ ж угтг = агт~, где а > 0 (встроила). 37. х" + 2хзу = уз. * Полол|ите у = хгС. 38. 4~г = 4х у+ х'. * Полол|иге у = х|С. 39. х| + 2уз = 4х у. 40. х — 2хгу — у = О. 41. х у + у = 1. * Положите у = С/х. 42. хз + уз = Зхг. 43. ул -1- х| = ху'. 44. х| — у" -~- ху = О.

45. х'+ уг = ху Постройте кривые, заданные в полярной системе координат следующими уравнениями. 46. р = 5/|г (О < р <+со). 47. р = 2и сов|ух 48. р=асозд+ Ь (Ь) а) О). 49. р=ажпЗр '1а >О). 50. р=2/т/совЗуг. Г Л А В А Ъ'1П ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ в 1. Интегрируемость функции (по Римвну) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функпия 1(х) определена на сегменте [а, Ь] (где а < Ь). Произвольное разбиение сегмента [а, Ь] точками а = хо < хь « ...

х„= Ь на п частичных сегментов [тч ь,х,] (1= 1,2, ...,п) будем обозначать символом Т[а, Ь] или просто Т. Положим ьхх, = х; — х; ь. Выберем на каждом сегменте [х; ь, х;] произвольную точку ~, и составим сумму: 1 = /1(х) ах. ь 2. Суммы Дарбу. Пусть 1(х) определена и ограничена на [а,Ь]. Для произвольного разбиения Т[а.,Ь] введем обозначения и, = 1пХ 1(х), ЛХ, = впр 1(х) и составиги суммы: 1ь — *О и а = ~ т,йтх„ г=1 и Я = ~ 21,Ахе ю=1 Число 1(х,, Я называется интегральной гульной функции 1(х), соответствующей данному разбиению Т[а, Ь] и данному выбору промежуточных точек с, на сегментах [х, ых,].

Введем обозначение А = снах Ахе 1<~<а Определение. Число1называется пределом интегральныхсу ьн 1(хп Д при А — ь О, если 1й > О ВЬ > О такое, что для всякого разбиения Т[а, Ь], у которого А < д, выполняется неравенство [1(хи Я вЂ” 1[ < < е при любом выборе промежуточных точек ~, на [х, ь, х,]. О и р е дел е н и е. Функция 1(х) называется ингаегрируежой (по Риману) на сегменте [а, Ь], если существует 11тп 1(хи ~,) = 1. в — ~о При этом число 1 называется определенным интегралом от фугпсдии г" (х) по сегменту [а, Ь] и обозначается так: Гл. ггг111. Определенный интеграл 144 Числа э и 5 называются ниркней и верхней суммами [сумлгами Дарбу), соотнетствуюшими данному разбиению Т1а, Ь).

Очевидно, что для фиксированного разбионин Т[аг Ь] и любого выбора промежуточных точек на этом разбиении э < ![хо~,) < 5. Приведем свойства сумм Дарбу. 1'. Для любого фиксированного разбиения — 11(хг ° ьг)) во всем 5 = вир 11[х„~,)). во вселг наборам точек б наборам точек б 2'. Если разбиение Т получено из разбиения Т, добавлением нескольких новых точек (т. е. получено измельчением Т1), то нижняя сумма вз разбиения Тз не меньше нижней суммы э1 разбиения Т„а верхняя сумма Яз разбиения Тг не больше верхней суммы 51 разбиения Т1. э1 < гз, Яз < з1.

3'. Нижняя сумк1а произвольного разбиения не превосходит верхней сухчмы любого другого разбиения. 4'. Пусть 1э) и 1о) "- множества всевозможных ниягних и верхних сумм для любых разбиений [а, Ь[. Числа 1 = ш! 1о), 1 = зпр 1в) но всем разбиениям разбиениям называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу. Нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего: 1 < 1. 5'. Лемма Дарбу: 1пп 5 = 1, л- о !нн э = 1. л- е Я вЂ” г < с. Напомним, что число ш, = Ы, — я1, называется колебанием функции на сегменте [х; 1, х,,[.

Условие (1) можно записать в виде 3. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Теорема 1. Для того чтобы ограниченная на сеглгенте [а,Ь) функция ![х) была интегрируемой на этом сегл1енте, необходимо и достаточно, чтобы 1 = 1. Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на сегл1енте [а,Ь) функция была иятегрируелгой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы Чг > 0 нашлось такое разбиение Т[а, Ь) [хотя бьв одно), для которого 41. Интегрируемосжь функции (ло Р ману) 145 4. Некоторые классы интегрируемых функций. Теорема 3. Непрерывная на сегменте [а,Ь[ функции у(х) интегрируема на этом сегменте. Следствие. Всякая элементарная функция интегрируема ни любом сегменте, целиком лежащем в области определения этой функции (так как она непрерь1вна на этом сегменте).

Теорема 4. Пусть у(х) ограничена на сегменте [а, Ь[. Если Чг > > О существует конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва у(х) и имеющих сумму длин, л1еньшую г, то ?(х) интегрируелщ на сегменте [а, Ь[. Следствие.

Кусочно непрерывная функция (т. е. имеющав на сегменте [а, Ь[ конечное число точек разрыва ь рода) интегрируема на этом сегменте. 3 а и е ч а н и е. Если выполнены условия теоремы 4, то звачение интеграла /1(х) дх ие зависит от значений Г(х) в точках разрыва. Поэтому часто ставят и решают задачу вычисленив интеграла от функции, которая ие определена либо в конечном числе точек сегмента [а, Ь[, либо иа множестве точек, которое можно покрыть конечным числом интервалов сколь угодно малой дливы. При этом считают, что функции ?(х) доопределена в этих точках произвольно, по остается, конечно, ограниченной на сегменте [а,Ь[ и, следовательно,интегрируемой.

Например, строго говоря, интеграл (2) Ыпх не существует, так как в точке х = О функция не определена. Однако 1 интеграл ~Т(х) дх, где о ( зщх С при х=О (С произвольное число), существует и не зависит от выбора С. Поэтому 1 считают, что интеграл (2) также существует и равен /?(х) дх. а Теорема 5. Монотоннав на сегменп1е [а, Ь[ функция у(х) интегрируема на этом сегменте.

Контрольные вопросы и задания 1. Что такое разбиение сегмента [а,Ь[? 2. Что такое интегральнан сумма функции ?(х) на сегменте [а, Ь[2 3. Дайте определение предела интегральных сумм при измельчении разбиений (ьь -4 О) сегмента [а, Ь[. Гл. Ъ111.

Характеристики

Список файлов книги