В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Определенный интеграл 146 4. Что такое определенный интеграл? 5. Какая функция называется интегрируемой? б. Докажите, что неограниченная функция неиптегрируема. 7. Интегрируема ли функция 1(х) = 1ггх: на сегменте [1, 2]; на сегменте [ — 1 1]? 8. Интегрируема ли функция ?(х) = 18х сгдх: на сегменте [я?б, х]4~; на сегменте [ — 1, 1]? 9.
Интегрируема зи функция 1" (х) = е О'. на сегменте [ — 3, — 2]:, ва сегменте ( — 1,0]; на сегменте [ — 1, Ц? 10. Всякан ли ограниченная функция ннтегрируема? Обоснуйте ответ примерами. 11. Что такое ни княя и верхняя суммы (суммы Дарбу)? 12, Перечислите свойства сумм Дарбу. 13.
Сформулируйте необходимые и достаточные условии интегрируемости (два варианта). 14. Назовите извествые вам классы интегрируемых функций. Приведите примеры функций из этих классов. 15. Придумайте пример монотонной на сегменте [а, Ь] функции, имеющей бесконечно много точек разрыва. Интегрируема ли такая функция на [а, Ь]'? Примеры решения задач 1. Постоянная функцин ?(х) = С интегрируема на [а, Ь], так как для любых разбиений и любого выбора точек ~; интегральные суммы имеют одно и то же значение и п 1(х,,5,) = ~ У(Р?1~, = С ~ ~х, = С(Ь - ).
г=-1 ?=1 Отсюда /Сг?х = 1ип 1(х„й,) = С(Ь вЂ” а). л- о 2. Доказать, что функция Дирихле ( О, если х иррационально, 11(х) = ] ] 1, если х рациональна, не интегрируема на любом сегменте [а, Ь]. ?1 В самом деле, на любом сколь угодно малом сегменте [хг ых,] найдутся как рациональная, так и иррациональнан точка. Если на всех сегментах выбрать рациональные ~н то 1(х,,(,) = Ь вЂ” а; если же все ~, иррациональны, то 1(х„с,) = О. Чередуя такие выборы при 21 — > -э О, получаем, что предел 1 не существует.
Значит, функция Дирихле нс иптсгрируема. А 3. Проверить, что для функции ?(х) = 1+ х на сегменте [ — 1,4] выполнено условие (1) теоремы 2, и вычислить 1 = [ (1+ х) ох как — 1 уй Интеерируемоеть функции (по Р ману) 147 о е = ~ ~пг.Ьх, = о ~ (-"".") —:. = г —.! П о — [г — 1) — = —, ~[1 — 1), 5 .
5 25 и и иг г=1 г=1 а = ~'(- " -.'.) Б Д 5 25х г.— = —,~ г. и пг Я = ~54;Ьт; г=.1 Отсюда о о 25 гг . . 1 25 25 Я вЂ” е = — [,г г — ~[г — 1)) = — п = — < е, ие [, ) пг и г=г если п > 25/е, т. е. при таком числе п точек разбиения сегмента [ — 1,4] выполнено неравенство [1). Значит, по теореме 2 интеграл У = / [1 + ж) дх существует. — 1 Чтобы вычислить его как предел интегральных сумм, можно рассмотреть любую гюследовательность интегральных сумм, у которой гл -л О, поскольку из существования интеграла следует, что предел любой последовательности интегральных сумм при измельчении разбиения существует и равен 1.
Возьмем, например, последовательность интегральных сумм, соответствуюгцую разбиениям сегмента [ — 1,4) на п равных частей [п = 1,2, ...) н выбору в качестве точек,е, правых копцов частичных сегментов. В этом случае для возрастающей функции 1(х) = = 1 + х интегральная сумма равна верхней су мме Я = ~ —, г, от- - 3 —.е куда получаем г=-1 4 о 1 = / [1 -ь т) г4х = 1пп ~ ~— г = !пп о ггк па и гго 2пе 2 — 1 г .=. 1 Итак, / (1+ х) г4х = 25,72. а — 1 предел интегральных сумм. г5 Согласно теореме 2 для произвольного е > О нужно указать такое разбиение сегмента [ — 1,4), при котором Я вЂ” е < ж Разобьем сегмент [ — 1,4[ на и равных частей.
На каждом сегмен- оИ вЂ” Ц о11 те [х,. 1,жг) = ~ — 1+, — 1+ — ~ непрерывная функция 1+ х П достигает точной нижней грани на левом конце сегмента, а точной верхней .- на правом. Поэтому 148 Гл. Ъ111. Определенный интеграл 4. Доказать, что функция Римана ][ О, если х иррационально, [1/и, если х = нг/и, где т и п (в > 1) взаимно простые целые числа, интегрируема на любом сегменте [а, Ь]. гл Снова воспользуемся теоремой 2. Зададим произвольное г > О.
Тогда функция р[х) удовлетворяет неравенствам 2[6 ) 'Р[~) только в некотором конечном числе Лг точек. Это вытекает из следующих соображений. Все рациональные точки сегмента [а, Ь], т. е, точки вида т/и, можно зануьлеровать в такон1 порядке: сначала точки вида т/1, затем т/2, затем т/3 и т. д, Соответствующие значения функции 1е(х) в этих точках равны 1/1, 1/2, 1/3, ..., т. е, уменьшаются с переходом к каждой следующей группе точек., причем точек каждого вида имеется конечное число. Таким образом, в число указанных Х точек попадут такие, для которых 216 — а) — > 6 , откуда п < . Ясно, что таких точек конечное и. 216 — и) ' число (пусть оно равно Х).
Покроем эти Х точек конечной системой попарно непересекающихся сегментов с общей суммой длин, меньшей э/2, Длины этих сегэ|ентов обозначим ллх',. Получилось некоторое разбиение [а, Ь]. На сегментах с длинал1и 11х', колебания иг,'. функции р[х) не больше 1, поскольку 11х Е [а, Ь] О < ег[х) < 1. Имеется также некоторое конечное число остальных сегментов [обозначим их длины 11хд).
Колебания игр е функции ~р[х) на этих сегментах не превышают . Поэтому для 2(6 — а) полученного разбиения справедливы оцевки 5 — е = ~ иг,глхн = ~~ иг;'лхх';+~ иг,"глх," < 1 ~ агах,'+ , Е~." ,—;+ 2„'., ( — ) =' Итак, по заданному е > О нашлось разбиение сегмента [а, 6], для которого о — е < ш следовательно, по теореме 2 функция Римана ее[х) интегрируема на любом сегменте [а, 6]. а дх 5. Вычислить соег х(1 ж 13 гх) е 14 Этот интеграл принадлежит к типу интегралов, рассмотренных в замечании к теореме 4, поскольку [ 1 при О < х < я/2, я/2 < х < н, У[ )= сингх(14- гхгх) ) не определена при х = л/2. 22.
Свойства определенного интеграла Доопределин эту функцию в точке л/2, например, по непрерывности, т. е. полаган /(л/2) = 1, мы получим /(х) = 1 !/х е [О, гг), и, следовательно, искомый интеграл равен л. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Длн данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю Я и нижнюю л суммы Дарбу при разбиении сегментов на и равных частей: а)/(х)=хг, 2(х(3; б)/(х)=2", 0<х<10. 2.
Вычислите определенные интегралы как пределы интегральаых сумм: г а) /х" !2х (удобно разбить сегмент [ — 1,2] на равные части); — ! б) / — Р (удобно выбрать Р, = 'х, г:х,); г х ! з в) / х !2х (удобно выбрать точки деления х, так, чтобы они образовали геометрическую прогрессию). 3. Докажите, что функция /(х) = 1/х — [1/х] при т ф 0 и /(0) = 0 интегрируема на сегменте [О, Ц.
4. Докажите, что функция /(х) = асп(жп(х/х» интегрируема на сегменте [О, Ц. 2 2. Свойства определенного интеграла Основные понятия и теоремы 1. Свойства определенного интеграла. 1'. По определению //(х) дх = О. ь а 2ь. По определению //(х) йх = — / /(х) ь(х. и ь 3'. Линейность интеграла. Если /(х) и д(х) интегрируелгы на [а, Ь], о и ~3 любые вещественные числа, то функция о/(х) -~- од(х) также интегрируема на [а, Ь], причем ь ь ь /(. (х)и "д(х» =-1~(х) 'Ч (х) а Я а 4'. Если /(х) интегрируема на [а! Ь), то функция [/(х)[ также интегрируема на [а,Ь), причем ь ь (/'У(*) й*( < /'[У(х)[йх (. < Ь). а и Гл.
Ъ111. Определенный интеграл 150 ~1(х)д(х) дх = р~д(х) д . а а Следствие 1. Если в форльуле (1) положить д(х) = 1, то /ф(х) дх = 1л(б — а), р 6 [т, М]. а (2) ь 1 Число р = — [ г(х) дх называется средним экачениелс функции б- 1 1(х) на сегменте [а, б]. Следствие 2.
Если вьтолкекы условия теорелсы 6 и функция ф(х) непрерывна, то Зс 6 [а, б] такое, что ~~(х)д(х) дх = 1 (С) ~д(х) дх. и а 5'. Если ф(х) и д(х) интегрируемы на [а, б], то функция ф(х)д(х) также интегрируема на [а, б]. 6'. Если 1'(х) интегрируема на [аз б], то она интегрируема также на любом отрезке [с,с(] С [а.,б]. 7'. Аддитивкость интеграла.
Если ф(х) интегрируема на [а,с] и [с, б], то она интегрируема также на [а, б], причем с ь ь 1 1™~ = 1™)~. а с л При зтом точка с может быть произвольно расположена относительно а и б. В дальнейших свойствах 8'.-10' полагаем а < б. 8'. Если ф(х) интегрируема на [а,.б] и г"(х) > О, то [ г(х) дх > О. а 9'.
Если ф(х) и д(х) интегрируемы на [а,б] и ф(х) > д(х) 7х 6 ь ь 6 [, б], то 1ах) ах > 19(х) д'- а а 10'. Если ф(х) непрерывна на [а, б], ф(х) > О, ф(х) ф 0 на [а, б], то ЛЛ > 0 такое, что ~~(х) дх > Ь. а 2. Формулы среднего значения. Тео реги а 6. Пусть ф(х) и у(х) иктегрируелгы ка [опб], 9(х) > 0 (д(х) ( 0) Чх 6 [а,б], Х1 = зпрф(х), т = пК Дх). ~п ь~ бьь~ Тогда существует число р С- [т, М] такое, что у 2. Свойства определенного интеграла 151 Следствие 3.
Если 1(х) непрерывна на [а, Ь), то йй С [а.,Ь) токов, что ь У~(.)' = ~( )(' - .) (4) Контрольные вопросы и задания 1. Перечислите свойства определенного интеграла. 2. Следует ли из ивтегрируемости суммы интегрируемость слагаемых? Ответ обоснуйте примерами. 3. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и частного двух функций. 4.
Интегрируема ли сумма двух функций, если одно слагаемое ннтегрируемо, а другое нет? 5. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведении и частного двух функций. б. Интегрирусма ли сумма двух неинтегрируеыых функций' ? Ответ обоснуйте примерами. 7. Рассмотрито аналогичные вопросы для разности, произведении и частного двух неинтегрируемых функций. 8. Известно, что [?(х)[ интегрируемая функция. Что можно сказать об интегрируемости ?(х)? Приведите примеры. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
