В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Арифлеплические операции над числами 3 3. Арифметические операции над вещественными числами Основные понятия 1. Сложение и умножение рациональных чисел. Для рациональных чисел известны следующие правила сложения и умножения: 7И1 Пи 7П17Н + 7йгП1 тл тг логтг П1 Пг 711Пг 711 7Н пг Пл Определим операции сложения и умножения для любых вещественных чисел. 2. Сложение вещественных чисел. Пусть х и д произвольные вещественные числа, а хл и дл любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (2) хл ( х, дл ( д. Далее силлвол (хл + дл)„ будет означать, что числа хл и ул складываются по правилу (1) сложения рациональных чисел.
Рассмотрим ллножество ((хл + ул)7) всевозможных сумм рациональных чисел хл и ул, удовлетворяющих условию (2). Это множество ограничено сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань. Суллзлой вещественных чисел х и у называется ацр((хл -Л- ул)„). 3.
Умножение вещественных чисел. Пусть т и у. — произвольные положительные вещественные числа, а хл и ул .- любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам О < хл < х, О < дл < у. Далее символ (хлу,)„будет означать, что числа х, и ул перемножаются по правилу (1) умножения рациональных чисел. Рассмотрим множество ((хлу,)„) всевозхложных произнедений таких рациональных чисел. Это множество ограничено сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань. Произведением положительных вещественных чисел х и д называется ацр((хлул)7). Произведение вещественных чисел любого знака определим следующими правилами: 1') х О=О.х=О; )х! . )у(, если знаки х и у одинаковы, 2') ху = ~ — ~х~ .
~у~, если знаки х и у различны. Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте правила сложения н умаожеаня двух любых вещественных чисел. Докажите, что множества ((хл ж ул),) и ((хлул), ), фигурирующие в этих правилах, ограничены сверху. Гл. 1. Вещественные числа 12 2. Докажите, что правило сложения вещественных чисел обладает свойствами: а) х+ у = у+ х (переместительное свойство); б) (х+ у) + е = = х -~-(у -~- ) (сочетательноо свойство). 3. Докажите, что правило умножения вещественных чисел обладает свойствами: а) ху = ух (переместительное свойство); б) (хд)е = х(уе) (сочетательяое свойство). Примеры решения задач 1.
Доказать, что сложение двух рациональных чисел по правилу сложения вещественных чисел дает тот же результат, что и сложение их по правилу (1) для рациональных чисел. Ь Пусть х и д — . произвольные рациональные числа, (х+д)„их сумма, полученная по правилу сложения рациональных чисел, (х + + у) .- сумма, полученная по правилу сложения вещественных чисел, т. е, х+ у =апр((хз + уе)е), где хе ну, -. любые рациональные чиода, удовлетворяющие неравенствам х~ < х, у~ < д. Нужно доказать, что х+ у = (х+ д)„, или - р((х +у ).) = (х+у)' Для этого согласно определению точной верхней грани множества нужно показать, что: 1') Ч(х~ + уз), е ((х~ + уз)е): (хе + дз), < (х -Ь у)е; 2') Чх < (х Ч- у)е э(х~ + д~)„ Е ((хз + уз)„): (хе + уз)„ > х. Так как хе < х и д~ < у, то (х~ + уе), < (х + у)„(для рациональных чисел это свойство неравенств известно).
Следовательно, условие 1') выполняется. Покажем, что выполнено условие 2'). Пусть х произвольное число, меньшее (х + у), Между числами х и (х+ у)„найдется рациональное число а (см. пример 1 2 1): х < < а < (х+ у), Положим б = (х+ у), — а (вычитание производитсн по правилу вычитания рациональных чисел). Тогда а = (х+ у)„— б, и так как д > О, то существует такое натуральное и, что 2/и < б. Рассмотрим теперь рациональные числа хз = х — 1(п и уз = р— — 1(п.
Так как хе < х и де < у, то (те + у~)е с ((хе + де)е), При этом (х, + уе) „= (х + у)е — 2/и > (х + у), — б = а, поскольку 2/и < б. Итак, (хе + у~)„> а > х, т, е (хе + у~)„> х. '1ем самым мы показали, что выполнено условие 2'). л 2.
Доказать, что Чх: х+ (-х) = О. Ь Пусть ха и уе — любые рациональные числа,. удовлетворяющие неравенствам хз < х, де < — х. Нужно доказать, что апр((хе + уз)„) = =О,т.ел 1') У(хе + Уз)„ 6 ((хз + Уз)„): (хе + дз)„ < О; 2') Чхй < О Л(х~ + уе), б ((хе + уз)е): (хз + уз)„ > х. Так как уз < — х, то †> х (это легко установить, используя правило сравнения вещественных чисел; см.
упр, 8 к 2 1). Из неравенств хе < х и х < -уе в силу транзитивцости знака < следует, что Я1. Метод математической индукции х1 < — уг и, значит, (хг + уг) „< О. Тем самым выполнено условие 1'). Покажем, что выполнено условие 2'). Пусть х - — произвольное отрицательное число. Так как -х > О, то найдется такое натуральное по что 11110а < — х, т. е. — 1/10а > х. Представим число х в виде бесконечной десятичной дроби (будем для определенности считать, что х > 0): Х = ХО, Х1Хг...Ха..
Из правила сравнения веществегшых чисел следует, что :Г1 = ХО, .Х1ХЗ... Ха < Х, 1 Уг = — ХО, Х1Хг... Ха — — < 10в Тем самым (хг + уг)г Е ((хг + у1)э ). При атом (хг + уг), = — 11110а > > х, т. е. мы доказали, что выполнено условие 2'). д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 12. Докалэите, что умножение двух рациональных чисел по правилу умно- 'кения вещественных чисел дает тот эке результат, что и умнолэение их по правилу (Ц длн рациональных чисел.
13. Докажите, что чх: т+ О = х. 14. Докажите, что чх,у существует единственное число з такое, что х = = у -~- з (в называется разностью чисел х и у: з = х — у). 15. Докагките, что чх: х 1 = х. 16. Докажите, что чх ф О Лх': хх' = 1. 17. Докажите, что чх и чу ~ 0 существует единственное число в такое, что х = ув (з называется частным чисел х и у: = хг'у). 18.
Докажите, что чх, у, з: (х -~- у)з = хз -Ь уз. 19. Докажите, что если х > у, то ч'% х+ в > у+ в. 20. Докажите, что если х > у, то Чх > О: хв > уж 21. Докажите справедливость неравевств: а) (х + у! ~ (~х! -~- (у); б) (х — у~ 3 >~ ! — ~Ы. 22. Пусть Х, У непустые ограниченные множества вещественных чисел, а Т вЂ” множество всевозможных сумм х + у, где х Е Х, у Е У.
Докажите, что мвоэкество Т ограничено и что: а) вирТ = вирХ+ виру'; б) шГТ = шГХ+ ш1У. 23. Пусть Х, У непустые ограниченные множества неотрицательных вещественных чисел, а В . множество всевозможных произведений ху, где х Е Х, у Е Г. Докагките, что множество В ограничено и что: а) впрВ = впрХ впр1'1 б) шГВ = АХ шг" 1'. 24. Вычислите три первые значащие цифры суммы: а) — + игЗ; б) ьгЗ+ ъ'7.
1 7 25. Найдите три первых десятичных знака произведения: а) — чг3; б) чгЗ х 1 х ч/7. 26. Пусть А и В непустые множества вещественных чисел, у которых каждое число из А меньше любого числа из В и для любого в > О существуют х Е А и у Е В такие, что у — х < в. Докажите, что чир А = = шГВ. Гл. Б Вещественные числа 2 4.
Метод математической индукции Основные понятия Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа п начиная с оо, достаточно доказать, что: а) это утверждение верно для и = по, б) если данное утверждение справедливо для некоторого натураль- ПОГО ЧИСЛа Й > По, тО ОНО ВЕРНО таКячс И ДЛЯ СЛЕДУ1ОЩЕГО НатУРаЛЬНОГО числа Й+ 1. Такой метод доказательства называется методом математической индукции.
Контрольные вопросы 1. В чем состоит метод математической индукции? 2. Методам математической индукции докажите, что Уо. Е 1'ч1: и ( 2" Примеры решения задач 1. Доказать, что чуп е 1ч' и ~Ух > — 1 справедливо неравенство (неравенство Бернулли) (1 + х)о > 1 + тех. (Ц гл докажем неравенство (Ц лчетодом математической индукции. если о = 1, то неравенство (Ц справедливо, поскольку обращается в верное равенство. Предположим, что соотношение (Ц справедливо для натурального числа Й и Ух > — 1; (1+ х)ь > 1+ йх. (2) Так как х > — 1, то 1+ х > О.
Умножим неравенство (2) на положи- тельное число 1+ х: (1+ х)ь4' > 1+ Их+ х+ 1хз. Отбрасываи неотрицательное слагаемое 1ехз в правой части, получаем неравенство (1 + х)ь" ~ > 1 + (у + Цх. Мы доказали, что неравенство (Ц справедливо для натурального числа й+ 1 и Чх > — 1. Тем самым доказано, что соотношение (Ц справедливо Уо Е 1'ч' и Чх > — 1. а 2. Доказать, что для любых п положительных чисел у1,уз, ..., у„, удонлетворяющих условию У1Уз" Уо = 1 имеет место соотношение (4) у1 + уз + " + у. > п.
Я4. Метод математической индукции Ь При п = 1 из условия (3) следует, что дз — — 1. Поэтому соотношение (4) выполнено. Пусть при и = )5 из условия (3) следует соотношение (4) и пусть Й + 1 положительных чисел уы уа, ..., Ууо дььз удовлетворяют условию (3). Докажем, что для них выполнено соотношение (4). Если все эти числа равны 1, то их сумма равна У+ 1 и соотношение (4) имеет лзесто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
