В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если жо среди указанных чисел есть хотя бы одно, отличное от 1, то обязательно найдется еще одно число, не равное 1. При этом если одно число больше 1, то другое меньше 1. Не умаляя общности, предположим, что дь > 1, двхз < 1. Произведение й чисел дыдз,",дь-ыуыдвх~ в силу условия (3) равно 1. Поэтому по индуктивному предположению Уз + У + " + Уы- + Ууукь > ". Отсюда получаем Уз + Уа + ".
+ Указ + деды > 1+ Уу + дуни или Уч + Уз + " + Уз-',з > гс + 1 + Уь + Уь--з Уьдьчз = « + 1 + (1 — д„,)(дь — «) > 5 + 1, т. е. соотношение (4) выполнено при и = «+ 1. Таким образом, для любых н положительных чисел, удовлетворяющих условию (3), выполнено соотношение (4). а Задачи и упражнения для самостоятельной работы Применяя метод математической индукции, докажите, что Чяз П Х справелливы следующие равенства: 27. 1 -~- 2 Ч- 3 -Ь ...
Ч- и, = 0,5п (п -~- 1). 28. 1 Ч-2з -~-3 Ч- ... + и = — п(и+ 1)(2п+ 1). 6 29 1з + 2з+ Зз+ . + нз = 0 25пз(н+ 1)з Методом математической надукпни докажите справедливость следующих аерааепств: 80 1 З 2п — ~ < ' г'4'"'' Ъ 81. 1+ 1 + 1 + ... + — > /и (я > 2) ч'2 ч'3 чей 88, х' " хз+ " "х" > (ухзх~...х„при зм > О, «с = 1, ...,п (среднее геометрнческое и неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического).
зь. Ч ° ч ~...~,ксоедо+ з ° о у 0. ГЛАВА П ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ й 1. Ограниченные н неограниченные последовательности. Предел последовательности Основные понятия и теоремы Если каждому натуральному числу и поставлено в соответствие некоторое число х„, то говорят, что определена числовая последовательность (или просто последовательность) хм хг., хз, ..., х„, ... Вратко ее обозначают символом 1х„) или (х„). Число,г„называется члекол~ (элвльвнтом) последовательности, а гь номером члена. Последовательности 1х„+ у„)., )хк — у„), )хьу„), )х„/у„) называются соответственно сул мой, разностью, произведением и частным последовательностей )х„) и )у„) 1для частного у„ ф О).
Определение. Последовательность )х„) называется ограниченной, осли эМ > О такое, что чУп ~х„~ < М. С геометрической точки зрения это означает, что все члены последовательности находятся в некоторой окрестности (Ы-окрестности) точки х = О. Определение. Последовательность 1х„) называется кеогра ничекной, если чу > О Вп: )х„,! > М. Определение. Число а называется пределом последовательности 1х„), если чв > О ВАг Е зч' такое, что чп > Х (хк — а~ < г. Обозначение: 1пп хо = а. к -чОй С геометрической точки зрения это означает, что в любой г-окрестности точки а, находятся все члены последовательности начиная с некоторого номера (зависящего, вообще говори, от г) или, что то же самое, вне любой -окрестности точки а находится лишь конечное число членов последовательности.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, расходящейся. Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Т е о р е м а 2 (необходимое условие сходимости последовательности). Сходяигаяся последовательность ограничена. ?1. Предел последовательности Контрольные вопросы и задания Примеры решения задач 1. Сформулировать на языке кв — Хе определение того, что число а не является пределом последовательности 1х„) ?а ф !ьщ хо)ь и дать о 'ос геометрическую интерпретацию этого определения. ?у По определению предела последовательности а = 1пп х„, если и- сс 1.
3. ог 6. 7. 9. 10. 11. 12. Сформулируйте определения: а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности; в) предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений. Эььвивалеььтььо ли определение предела последовательности такому определению: 1пп х„= а, если ь?е > 0 ЛК > 0 (ьье обязательно натуральвое) такое, что ь?гь > Л )х„— ьь~ < е? Покажите на примере, что номер Х, фигурирующий в определении предеаа последовательности, зависит, вообще говори, от е.
Пусть последовательность 1х„) и число а удовлетворяют условию: з?ьь такой, что ь?е > 0 и ь?а > Х )х„— а~ < е. Всякая ли сходящаяся к а последовательность удовлетворяет этому условию? Какова геометрическая интерпретация этого условин'? Пусть 1пп х„ = а.
а) Могут ли все члены последовательности быть положительными ?отрицательными), если а = 0'? б) Может ли последовательность иметь бесконечно много отрицательных 1равььььх нуюо) членов, если: а > 0; о, ф- О? в) Докажите, что 1ьш х„ьь = а, !ьш х лз = а. Х г) Докажите, что )х„) ограничена. Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно много члеььов последовательности !х„). Следует ли из этого условия, что: а) 1пп х„= = а; б) никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности 1х„): в) 1х„) ограничена? Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности 1х„). Следует ли отсюда, что: а) 1пп х„= од б) 1х„) ограничена'? Какая последовательность называется: а) сходнщейсн; б) расходящейся? Пусть последовательность )х„) является ограниченной 1ььеограничеььной).
Следует ли из этого условия, что она сходится ?расходится)'? Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной, если: а) из нее удалить конечное число членов, а оставшиеся заново перенумеровать в порядке их следовании; б) к ней добавить конечное число членов, перенумеровав члены последовательности н порядке их следования; в) в ней изменить произволыьым образом конечное числа членов? Докажите, что сходлщаяся последовательность имеет только один продев.
Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности. Гл. П. Предел поеледоеетелъноети Че > 0 ВХ такое, что Уп > Х: ~х„— а~ < е. Пользуясь правилом по- строения отрицаний, получаем; а ф- !1щ х„, если Ве > 0 такое, что ЧХ Дп>Х: !х„— а~)е. Более подробно это можно записать так: а ~ 1ше хо, если Ве > 0 и- х. такое, что дляХ=1 Впч >1: ~х„, — а!>е, дляХ=2 Ви >2: !х„,— а!>е, для Х = 100 Ли~ее > 100; ~хаос — а) > е, Таким образом, а ~ 1пп х„, если существуют е > 0 и последовал — ~ ее тельность номеров ~пи) (Х = 1,2,3, ...) таких, что пте > Х и ~х„ — а~ >е. Геометрическая интерпретация этого определения: а ф 1пп х„, и — ~ж если существует некоторая е-окрестность точки а, вне которой находится бесконечно много членов последовательности.
А 1'" 2. Доказать, что последовательность хе = 2Щ О це ограничена. 21 В силу определения неограниченной последовательности нужно показать, что ЧИ > 0 Ви Е Х, для которого ~х„~ > 31, Зададим произвольное М > 0 и возьмем любое четное число и,, удовлетворяющее неравенству п > !оцз ЛХ. Для такого п имеем 2о .
21оелм М что и требовалось доказать. а 3. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, 5. 3" что 1вп = 5. л — ~=с Зо — 2 Ь Зададим произвольное е > 0 и рассмотрим модуль разности между и-м членом последовательности и числом 5; 3н 10 3п 2 3н 2' В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер Х такой, что Мп > Х выполняется неравенство < е. (1) Для отыскания номера Х решим неравенство 11) относительно п. Получим и, > !оде( — + 2).
(2) Из неравенства (2) следует, что в качестве Х можно взять целую часть числа 1ойз! — + 2): /10 Х = ~!одз( — -к 2)~. 4 д Предел последовательности В самом деле, если и > дс, то и ~ )[1ояз ( — + 2)! + 1 > 1ояз ( — + 2), т. е. справедливо неравенство 12), а значит, Чп > Дс выполняетсл и неравенство 11). (Отметим, что при е > 10 имеем Х = [1обз( — + 2/! = Г10 = О, и поэтому неравенство 11) справедливо оп Е Х.) Итак, длн произвольного я > О мы указали такой номер Х = 1одз( — + 2)!, что Чп > Х выполняется неравенство =[ з( Г10 з~ е 3и 3" — — 5 <е.
Это и означает по определению предела последовательности, что 5.3" 11ш „=5, и и-и~ 3" — 2 4. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что 1пп = О. 1 и-'. ос ьГьй й Зададим произвольное а > О. Нужно указать номер дс такой, что Чи > Х выполняетсн неравенство (3) 1/т/и! < ш Мы не будем стремиться к тому, чтобы найти наименьший номер Дс, .начиная с которого выполннется неравенство 13).
Укажем номер "с запасом", решая более простое неравенство 14) 2/и < е. Так как Чп е Х и. '> п1п/4) 1докансите это), то оп е Х справедливо неравенство 1/ о'и. '< 2/и, (5) и поэтому неравенство 13) является следствием неравенства 14). Решая относительно п неравенство 14), получаем 16) ас > 2/ш Положим Х = 12/е1 Если п > Х, то и > 12Я + 1 > 2/е, т, о, выполняется неравенство 16), а следовательно, неравенства 14) и 13).
Таким образом, Чя > О ЛХ 1Дс = 12/ф такой, что Ь~ > Дс 1/т/п1 < ш Тем самым доказано, что 1пп — = О. а 1 -о Ъ~п.' Рассмотренные примеры показывают, каким образом следует доказывать, что !пн хи = а, пользуясь определением предела последои — ~ос вательности. Надо составить выражение ~х„— а~ и подобрать 1ссли Гл.
П. Предел последооателъпости 20 это целесообразно) последовательность 1р,„) такую, что, во-перных, ллп (хи — а! < у„и, во-лзторыхл неравенство (7) д < л при произвольном с достаточно просто решается относительно и. Пусть решение неравенства (7) имеет вид п > 7(с),. где 7"(6) > О. Тогда в качестве Л" лиожно взять (7'(с)) (если при этом окажется, что (7" (6)) = О, то неравенства (7) справеддиво лдлл). Таким образом, Утл > Х = (7(с)1 будет выполнено неравенство /хи — а~ < 6, а это и означает по определению предела последовательности, что 1шл хи = а. и 'ш 5.
Известно, что 1шл хи = О и хи > О ллп. Доказать, что пРи а > О 1пп х =О. лз По Условию 1пп хи = О, т. е. 'ллл > О Л)тл такое, что ллтл > Хл и — л лли справедливо неравенство )х„( < лл, (8) Требуется доказать: 'те > О ЛХ такое, что ллтл > )т' !х„~ < 6, илил что равносильно, !х„! < е'!". (9) ЗаДаДим пРоизвольное 6 > О и положим сл — — елл (лл > О). Длн этого ел ЛХл такое, что Чи > Хл справедливо неравенство (8), т. е, !х„~ < 6 лг Таким образом, Чп > Х = Хл справедливо неравенство (9). Тем самым доказано, что 1пп х„'= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
