В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пусть отображение (3) удовлетворяет таким же условиям, как и в 2 1. Гл. ХП. Кратные интегралы 298 1. Отобралсение (3) взаимно однозначно. П. Функции р(и,о, ш), ф(и,о,ш) и Х(и,о,и) имеют в области т непрерывные частные производные первого порядка. Р(.х,у,г) П1. Якобиан отображеют ' ' отличен от нуля в области т. Р(и, с, ш) Теорема 9. Пусть т и Т замкнутые кубируельые области, функция Х(х, у, г) ограничена в области Т и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек объема нуль, а отображение (3) удовлетворяет условиям 1-1П. Тогда справедливо равенство (формула замены переменных в тройном интеграле) ~ОХ(х,у, г) сХх дуде = = ~~~Х(у(и,о,ш),фили,о,в),Х(и,о,ш)) ' ' дидодш.
3 а м е ч а а и е. Формула замены переменных остается а силе, если условия 1 н 1П нарушаются на множестве точек объема нуль. 4. Криволинейные координаты. Формулы (3) можно рассматривать как формулы перехода к новым, криволинейным координатам (и, и, ш) в области Т.
Поверхности и = сопел, о = сопз4 и ш = связь предстанлнют собой координатные поверхности (вообще говорл, криволинейные) в пространстве (х,у,г). Кривые, на которых две криволинейные координаты имеют постоянные значения и изьиеняется только одна из координат, представляют собой координатные линии.
Рассмотрим два примера наиболее употребительных криволинейных координат. Цилиндрические координаты. Пусть ЛХ(х,у,.г) -- произвольная точка в пространстве (х,у,г), ЛХ' -- проекция точки ЛХ на плоскость (х,у) (рис. 44). Точка М однозначно задается тройкой чисел (р, Ф,г), где (р,ш) полнрные координаты точки ЛХ' на плоскости (х,у), х -- аппликата точки ЛХ. Тройка чисел (р,чз,г) называется цилиндрическими координатами точки М. Переход от прямоугольных координат (х, у, г) к цилиндрическим (р, ш, г) задается формулами х = рсоаФ, у = ра|пш, (О < р < +ос, О < ~р < 2я, — со < г < +со). (4) Ряс.
44 (Иногда в качестве промежутка изменения р боретсн промежуток ХЯ. Тройные интегралы — я < р < я.) Якобиан отображения (4) есть Р(х., д, и) Р(р р,г) = Р. Координатная поверхность р = сопят представляет собой цилиндрическую поверхность отсюда и название "цилиндрические координаты". Сферические координаты. Пусть ЛХ(х,д,г) произвольная точка в пространстве (х,д,г), ЛХ' проекция точки ЛХ на плоскость (х,д) (рис.
45). Точка ЛХ однозначно задается тройкой чисел (чу О, р), где т - расстояние точки ЛХ от точки О (начала координат), д угол между лучами ОЛХ и Ог, р -. полярный угол точки ЛХ' на плоскости (х, д). Тройка чисел (т, д, р) называется сферическими координатали точки ЛХ. Переход от прямоугольных координат (х, д, з) к сферическим (т, О, р) задается формулами х = те)пд соя иг, д = тяшдяшсе, г = тсовд (О < т < +со, .О < д < тб О < р < 2я). (5) Рис. 45 х — хо = атнвш дсояд р, д — де = Ьт" я)п дяпд аг, з — зо =ст сов О (О < т < +со, О < д < т, О < ~р < 2я), где хе, де, зе, а, Ь, с, п, о, 3 — — некоторые числа, выбираемые в каждом конкретном случае из соображений удобства.
Якобиан перехода к обобщенным сферическим координатам имеет вид Р(т, д, р) = абспофтз" ~ я)пз~ ~ Осояа ~ Ояш' ~ рсоа' р. (6) (Иногда в качестве утла д берется угол между лучами ОЛХ и ОЛХ' со знаком плюс, если з > О, и со знаком минус, если х < О. В этом случае — я/2 < д < я/2, а в формулах (5) нужно заменить япчд на сояд, а сов д на я)ад.) Яьобиан отображения (5) есть ' д' = тз яш О (в случае второго Р(т, д, р) способа выбора угла д якобиан равен тз сояд).
Координатная поверхность г = сопят > О представляет собой сферу отсюда и название "сферические координаты". Иногда используются так называемые обобщенные сферические координаты. Они связаны с прямоугольными координатами (х,д, г) формулами Рл. Хтй Кратные интегралы 300 5. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Объем $' кубируемой области Т (кубируемого тела) в пространстве (х,й,э) выражается формулой (7) Если Т = 1(х,у,л): (х,р) Е С, О < г < Д~х,р)), где С квадрируемая область на плоскости (х, у), а 7'(х, р) непрерывная в области С функция (см. рис. 35), то, сводя тройной интеграл к повторному, придем к формуле (9) из 0 1, выражающей объем тела Т через двойной интеграл: р<в э) С о Если область Т заключена между плоскостями х = а и х = 6 и каждое сечение области Т плоскостью х = сопят представляет собой квадрируемую фигуру С(х) с плошадью 5(х) (см.
рис. 43), то, сводя тройной интеграл (7) к повторному по формуле (2) и учитывая, что, / дддг = Я(х), придем к известному выражению объема тела с одл) помощью определенного интеграла; (8) л сцы Переходи в равенстве (7) к новым переменным и, и, ш по формулам (3), получим выражение объема области Т в криволинейных координатах: Г = Я ~ ' ' ~дидтидщ. Величину Л' = дх ду4г, представляющую собой объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами дх, др и дг, естественно называть элементом объема в пр моуголькых координатах х, у, г, а величину Р( ил) Л' = '' ' дидид10 -- элементом объема в криволинейных ко- Р(и, о, и) ардикатах и, и, иь Модуль якобиана ' ' представляет собой коэффициент растяжения объема в точке (и,и,щ) при отображении области т пространства (и,и,ьв) на область Т пространства (х,у,г).
6. Физические приложения тройных интегралов. Пусть Т материальное тело (кубируемая область в пространстве Охуг) с плотностью р(х, д, э). Тогда справедливы следующие формулы; УЯ. Тройные интегралы ЗО1 а) ьп — Ц~р(х,у,г)с(х дуг(г — масса тела; т б) Мил — — ~Цхр(хд у,г) ссхдус(з, Мл, = ~~~ур(х,у,з) дхдудг, т т М,„= ~Цзр(х,у,з) с(хдус(х .. статические моменты тела относит тельно координатных плоскостей Одз, Охх, Оху; в) хо = —, уо = —, го = — координаты центра тяжести пс Зп зп тела; Я > -г 10 ( ) У 7' т 1еи = ~Цг Р(х, у, з) с(х ссу с(г -- моменты инерции тела относительно т координатных плоскостей Оуг., Огт,, Оху; д) 1е = 1, + 1,и, 1„=1,д+ 1„„1л =1ил+ 1,, — моменты инерции тела относительно осей координат Ох, Од, Ох; е) 1о = 1„г + 1, + 1,„= О(' (хз + ух + зз)р(х, у, г) с(х с(ус(г - - мат мент инерции тела относительно начала координат; 1 ж) Сс(хо, Уо, зо) = Уф Р(х, У, з)- с(х с(д сЬ ньютоновский пот т тенциал поля тяготении тела Т в точке (хо, уо, ге); здесь г = (х — хо) + (у — до)з + (х — го)з расстояние между точками М(х,у,з) и Мо(то,уо,го), у гравитационная постоянная; з) Р = 1РюГе,Тлл) -- сила пРитЯжениЯ матеРиальной точки Мо(хо, уо, го) массы спо телом Т, где Р.
= асио — = т ОИР(х, У, г) сй а. сСг, о*. И Еп = 7гпо — = -~тоц~ р(х, у,г)' . с(хс(ус(г, ад. = И дст с се г — ге 1л = 'утпо — — — -~спея'р(х, у з) с1х с(у асз. у.. И Контрольные вопросы и задания 1. Что такое интегральная сумма? Составьте интегральную сумму функции 1(х, д, г) = хе + хуг, соответствующую разбиению области Т((х, у, з): а ( х ( Ь. с ( д ( й, е ( г ( д) на параллелепипеды Тес.
= =((х,д,г): х, с <х<х, ул ~ (у(у,, гс, с(~г(гг) (а=хо< <хс«...х„,=Ь, с=де<ус« -у„=й, е=го<гс«" г~=д) и выбору вершин (х, ы у,, ге с) этих параллелепипедов в качестве промежуточных точек. 302 Гл. ХП. Кратные интегралы 2 3 4 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Дайте определения предела интегральных сумм и тройного интеграла. Докажите, что неограниченнан в пространственной области функция пе интегрируема в этой области. Сформулируйте теоремы об интегрируемости непрерывных и некоторых разрывных функций (теоремы 5 и 6).
В какой из атих теорем существенна замкнутость области, и почему? Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность тройных интегралов. Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для тройного интеграла. Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному, в катаром внутренний интеграл является определенным интегралам. Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к ноиторпому, в котором внутренвий интеграл является двойным. Тройной интеграл Я?(х, у, г) г?хе?уаг, где Т шар, ограниченный т сферой (х + 1) + (у — 1)г + (г + 2) = 9, сведите к повторному двумя способами: а) так, чтобы внутренний интеграл в повторном был определенным интегралом; б) так, чтобы внутренний интеграл в повторном был двойным интегралом.
Сведите тройной интеграл из предыдущего задания к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Напишите формулы перехода к попым переменным в тройном интеграле и сформулируйте условия 1 — 1Н, которым должно удовлетворять отображение. Что прелставляет собой образ параллелепипеда т = ((р,се,г): 0 ( р ( ( 1, 0 ( Эг ( 2тб 0 ( г ( 1) при отображении х = рсоа гг, у = раш гг, г = з. Является ли это отображение взаимно однозначным? Что предстанлнет собой образ параллелепипеда т = ((г,е, р): 0 ( г ( 2, 0 ( У ( я?2, О ( се ( г) при отображении х = с з1п0 салье, у = с е1пиз?п р, г = г созе.
Явлнется ли зто отображение взаимно однозначным? Сформулируйте теорему о замене переменных в тройном интеграле. Что такое криволинейные координаты? Напишите формулы перехода от прямоугааьных координат (х, у, г) к цилиндрическим координатам (р, уг, г). Вычислите якобиан перехода. Что представлнют собой координатные поверхности р = соней гг = сопаФ, г = сопят и координатные линии р., се, г'? Напишите формулы перехода ат прямоугольных координат (х, у, г) к сферическим координатам (г. 9, р). Вычислите нкобиан перехода. Что представлнют собой координатные поверхности г = сапы, у = салаг, р = сопаг и координатные ливии г, у, р? Напишите формулы перехода от прямоугольных коорцинат к обобщенным сферическим координатам.
Вычислите якобиан перехода. Напишите формулу длн вычисления объема тела с помощью тройного интеграла. Получите из этой формулы выражении объема тела с помощью двойного интеграла и определенного интеграла. Что такое элемент объема в прямоутольных координатах? Напишите формулу для вычисления объема тела и криволинейных коарлинатах. Что такое элемент объема в криволинейных координатах? Каков геометрический смысл якобиана отобрагкеиия? 92. Тройнесе интегралы 303 19.
Напишите формулы длл вычисления координат центра тяжести и моментов инерции материального тела. 20. Напишите выражения для ньютоновского потенциала поля тяготения материального тела и состаалнющих силы притяжения этим телом материальной точки. Примеры решения задач 1. Дан тройной интеграл Я 1"(х,д,х) ссхс1дс1х, где Т область, т ограниченная поверхьсостлми х = О, х = тд, д = х, х = 1. Свести данный интеграл к повторносиу двуми способами; а) так, чтобы внутренний интеграл был определенным интегралом с переменной интегрирования х; б) так, чтобы внутренний интеграл был двойным интегралом с переменными интегрирования д и х.
В каждом случае свести тройной интеграл к последовательному вычислению трех опрсделенныд интегралов. а) Область Т представляет собой "криволинейную пирамиду" .40ВС (рис. 46, а), основанием которой являетсн треугольник ОВС О х 1 х О х д а й е Рис. 46 в плоскости (х,д) (обозначим этот треугольник буквой С). Для каждой точки (х,д) области С переменная х изменяетсп от О (значение х н области С) до хд (значение х ца поверхности 3 = хд), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
