В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Напишите соответствующие формулы для: а) плоской кривой, заданной параметрически; в декартовых координатах; в полярных координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически. 9. Вычислите интеграл ) 1х+ у) Ж, где й отрезок прямой у =х при 0 ( г. ( х ( 1, и сравните результат с пределам интегральных сумм задания 7. 10. Какие физические прилогкения криволинейного интеграла первого рода вы знаете? 11. В случае плоской (пространственной) материальной кривой напишите формулы для вычисления: а) координат центра тяжести; б)моментов инерции относительно осей коорцинат; в) силы притлжения точки ЛХо массы гво материальной кривой. 12. Для криволинейного интеграла пернаго рода сформулируйте: а) свойства линейности и аддитивности; б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.
Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода /(х~г~+ + ул?з) г?/, где кривая л — астраида хх?з + уз?з = пз?з. А Ь Запишем параметрические уравнения астраиды: з: = асов'1, у = = п вша К О < 1 < 2я. Так как х' = — Зпсовг? гйп?, у' = Зашил 1 сав?, та х" + у" = Оаз совг?в)пз й Отметим, чта х'2+ у'2 = О в четырех тачках 1 = О, л/2, л, Зя,?2, т.
е. астраида является кусочно гладкой кривой. 21. Криволинейные интегралы пероого рода 321 зУ2 ыпег з 727 о б о первого рода /т77хз+ уз Гп, я (хз + р2)ЯУ2 = Г 2(хз — рз) х = тсовГр, р = гвзпГр. = 12а~72 [ — — '' б 2. Вычислить криволинейный интеграл где В кривая, заданная уравнением Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой Е примет вид г = а сов 2.р, Гр б Ф = 17р: — л,Г4 < Гр < л,Г4, ЗлГГ4 < Гр < 5лГГ4).
Для вычисления интеграла применим формулу (6). Так как ~l*т+у = = е, Г + ' = 7Е~3~22е, то Г 7+р л 1 ге~~1 ~3 . 2тг !. яеа «Г'7 ) 1+Зя1п227рд(нГЗвш27р) = 2ая+ — 117(иГЗ+2). а 27773 1 ,ГЗ вЂ” зГ'7 3. Найти массу 7п материальной криной Л, заданной уравнением у = 1пх, где 1 < х < е, если линейная плотность ее в каждой точке пропорциональна квадрату абсциссы, т. е. р(х,зр) = йхз. й По формуле для массы т имеем пз = /Йхз ГД. Для вычисления ь криволинейного интеграла воспользуемся равенством (5). Так как —. (*7=,Г.-',=2" '.- е Гг ги 7тх хгл и 11+ 2)272~ н 111+ 2)272 2Я) х 3 1 3 1 4.
Вычислить криволинейный интеграл 1 = /(х+ у) ГД, где Е меньшая часть окружности ь 2 х, +р +2 =Л р=х, ограниченная точками А(0, О, Л) и ВГЛГГ2, ЛГГ2, ЛГ7т772). 11 В.Ф. Бутузов н лр. Для вычисления криволинейного интеграла применим формулу (4). Получим 2л (х ~ + у ~ ) Гц — ~а~~з1сояь 1+ 21п 1) За ! соя 1 вш 1( 711 = Ь о л7'2 = 12а Г / (сов'1 вш1+ яшв1 соя1) 711 = о Гл. ХШ. Криволинейные интегралы 322 еь Запишем параметрические уравнения данной части окруучьности в =ь,у=ь, =улу — уо,у(!(л/2.( Й' уу( 4ьг Ки(2 1+ 1+,, =, и по формуле 17) находим Вг 21г наг о о 5. Найти координаты хо, уо, еа центра тяжести первого полувитка материальной винтовой линии Л, заданного уравнениями х = а созга у = ауйв 3, х = Ьт, О < т < л, если ее линейная плотность постоянна и ранна р. еь Масса т равна / р Ж. Вычислим зтот интеграл по формуле 17).
Так уть ууууу* = 'ьу, ь.л уь =, ьь'. е = р/ тгаг+Ьгь1ь = лрь'аг+Ьг. Значения хо, Уо о находим по форо мулам хо = — /хй, уо = — /уь11, ео = — /гьП. р г р р г т,/ уи/ уи ь А ь Каждый из этих интегралов вычисляем с помошью равенства 17): л н хо = Р /асоа1,Га-'+ Ьгй1 = О, уо = Р lазшр,lог+ Ьгг11 = —, тй тй уу о 'о гв = ~ /Ьтьгаг+ Ьгь)т = —. а т 2 о 6. Найти момент инерции 1 относительно диаметра окружности А, заданной уравнением хг + у- = о-, если ее линейная плотность есть р = 1.
Л Зафиксируем какой-нибудь диаметр окружности. Имеем где й(х, у) - - расстояние от точки ЛХ(х, у) 6 Е до диаметра. Перейдем к полярным координатам: х = г сов го, у = = гашьру О < ьр < 2л. Тогда уравнение окружности Л примет вид г = а. Рнс. 53 Пусть диаметр лежит на прямой, образУьощей Угол ьРо с осью Ох, где 5оо 6 ~О, л) 1Рис. 53). ПРи атом еь1х,у) = ьь1асоаьр;аа1пьр) = а~ 31ьь1ьр — иго)~ 41. Криволинейные интегралы первого рода 323 Пользуясь формулой (6) и учитывая, что 4го+ гп = а, находим 2н 2н 2 .
2 г11 1 = / аг гйп (ьо — уо)а дЧо = аз/ ~- — — соз(2оо — 2ьоо)) 11оо = поз. д ,/12 2 о о Т. Пусть с = (и(х, у), о(х, у) ) -- скорость плоского потока несжимаемой жидкости в точке ЛХ(х, у). Найти количество С жидкости, вытекаюгцей за единицу времени из области С, ограниченной гладкиьл контуроил 1,. Ь Разобьелл кривую Ь на п, частичных дуг. Пусть пл единичный вектор внешней нормали к кривой Л в точке 1ч'ь(гь,уь) (т. е. вектор пь направлен во вне области С), ~г2 Яь~ -- количество жидкости, вышедшей (вошедшей) за единицу времени через дугу длины глгл из области (в область) С (рис. 54). Так как ~г.'2Яь~ есть площадь параллелограмма со сторонами гл1л и )сь), где сь = (иы оь), иг,.
= и(сыул), оь = о(С1,,01.), то ЬЯь = Мь(сьпь). Рис. 54 Если скалярное произведение (сьпь) положительно, то жидкость вытекает из области С (гль„1ь ) 0), а если отрицательно, то втекает в С (Ьч)ь ( О). Далее, составим сум- е му ~~ (сапа)гл1л и перейдем к пределу при игах(глгь) — + О. Получим Ь=1 ь1 = /(сп) Н1, где п — единичный вектор внешней нормали в точке в ЛХ(х., у) б Л. А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Вычислите криволинейные интегралы первого рода: а) /(х+ у) йй гле Ь гранина треугольника с вершинами А(1,0), В(0, Ц, С(0, 0); б) /угу где л арка пнклонды х = а(1 — е1п1), у = а(1 — сонг), ь 0 (1( 2хп в) /е" "' ~" Ж, где 1 -- гранина кругового сектора ((г, р): 0 ( г ( а, ь 0 ( 22 ( и1'4), г н 22 — полярные координаты; г) / Ьгхг+ угой где 1 окружность хг Ч-у = ах; ь д) /г Ж, где 1 - коническая винтовая линия х = 1 соей у = 1е1пй г = й ь 11" Гл.
ХХХХ. Криволинейные ингнегралы 324 О ( 1 ( го; г л Хх +гХ +х- =„, 2 л е 2 е) ( х гй, где Л -- окрулгность ~ '(х+у+л=б. 2. Найдите ллассу материальной кривой Л с линейной плотностью р(х, у, х), если: а) Хг х=е соей у=с чпй л=е л, 0(1(1пЗ; р(хул)= = ро б) Хы х = Зй у = 31', л = 21 от точки О(0,0,0) до точки А(3,3,2), р(х,у,х) = ро; хх ув) К -- половина дуги эллипса — + — = 1, длл которой у < О, р(х, у) = 9 4 У' г)Хых=й у=112, с=114, 0<1<1, р(х,у,л)= Хйгуг.
2 ' 3 3. Найдите координаты центра тяжести: а) однородной меньшей дуги окружности х + ул = 4, соединяющей точки А(2, 0) и В( — 1. ъ'3); б) контура однородного сферического треугольника хл -~- ул 4- хх = а, х ) О, у ) О, л ) О. 4. Найдите статические моменты дуги Х астроиды хилз 4- у ' л = гл ' з, х 3 ) О, у ) О, относительно осей координат, если ее линейная плотность р(х,'у) =1' 5.
Найдите полярный момент инерции однородной кривой Х плотности ре относительно точки О(0, 0), если: а) Л контур квадрата ((х, у): швх(!х(, Щ = а); б) Х контур правильного однородного треугольника плотности ро с вершинами в точках, заданных полярными координатами Р(а,О), Я(а, 2хХ3), Л(а, 4хХЗ) .
6. Найдите моменты инерции относительно осей координат одного витка однородной винтовой линии х = сов й у = в1п й л = 1Х(2х), 0 < 1 ( 2л., если ее плотность ранна ро. 7. Найдите проекции на оси координат силы, с которой материальная однородная полуокрулкность х + ул = ал, у ) О, массы ЛХ притнгивает материальную точку О(0, 0) массы ги. 3 2.
Криволинейные интегралы второго рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть АВ простая спрямляемая незамкнутая криван, заданная параметрически: х = гр(1), у = 6(1), о < 4 < Д (А = А(р(гх),ф(о))г В = В(гр(З),ф(ХХ))). (1) Пусть на кривой АВ заданы две функции, Р(х, у) и О(х, у). Разобьем сегмент (о,)41 ца и частей точками о = бо < 1г « ... 1„= Д. При этак| кривая АВ разобьетсн на о частей точками А = ЛХо, ЛХлг ЛХл, ... й2.
Криволинейные интегралы второго рода 325 ..., Мв = В в направлении от А к В. Пусть (хь, уь) -- координаты точки ЛХь, Ьхь =хь — хь — ы Льуь =уй — уь — ы 4хьь . длина дуги Мь, Мь, Ы = шах ль1ь. На каждой дуге ЛХь ~ЛХь возьмем некоторую точку 1<в<в 1уь(сь, ць) и составим две интегральные суммы; в п Хь(Л|ь, 1дь) = ~~' РЯю ць)Ьх~, Хг(М~, ЛХь) = ~~~ О(Рь, ц~)Ьуь. ь=1 ь=1 (Хв,,(ЛХь, 1хь) — 1,„( < е.
Если существует 1пп 1„, (Мь, Хь) = 1, то он называется криволиса — ~0 нейным интегралом второго рода и обозначается следующим образом; 11 — — / Р(х.,у) дх, АВ АВ Сумма 11 + 12 называется общим криволинейным интегралам второго рода и обозначается так: (2) Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой АВ изменяется и знак интеграла, т, е.
/ Р(х, у) дх = — / Р(х, у) дх, / Фх у) дд = — / О(х, у) дд АВ Если АВ замкнутая кривая (замкнутый контур), т. е. точка А совпадает с точкой В, то для нее можно указать два направления обхода от А к В. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой Х, назовем положительным, а противоположное ему отрицательным. Интеграл (2) по замкнутому контуру Х, в положительном направлении обозначают так; ~Р1х, д) ах+ Хьз(х, д) ау. ь Аналогично вводится криволинейный интеграл второго рода / Р(х,у,г) дх+ С2(х,д, г) ду+ ВОг,у, г) дг (3) .АВ Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
