В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 66
Текст из файла (страница 66)
АВ 9. Дайте определение односвязной области на плоскости. 51вляется ли односвязной областью: полу плоскость: круговой сектор; круг с выброшенным центром; область Сг из задания 2? др дг) 10. Пусть функции Р?х, у), Я(х, у) и их частные производные — и— ду дх непрерывны в односвязной области С. Сформулируйте необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла Р г?х -~- ьз ду от пути интегрирования, использующее указанные про- АВ изводпые. Пак связано это условие с условиями из задания 8? 11. Пусть г?и(х, у) = Р(х, у) дх Ч- Ц(аг, у) агу в области С. Напишите формулу для вычисления функции и(х, у).
12. Пусть Р = ху, Я = — * —, С15х,у): х Ч- у' < 4). Докажите, что 2 2 — у' выражение Рг?х+ Яду является полным дифференциалом некоторой функции и(х, у) в круге С, и найдите эту функцию. Чему равен интеграл г/г Р дх, -~- О. Ду для любого замкнутого кусочно гладкого контура Л, ь расположенного в области С? Вычислите интеграл / Рг?х ф с) ду, где А( — 1, 1), В(1, 1). АВ Примеры решения задач 1.
Вычислить криволинейный интеграл Г = / (е~щпу — ру) г?х+ (е'сову — р) г1у, АО где кривая АΠ—. верхняя полуокружность ха+уз = ах, .4(а,0), О(0г0) (рис. 59). 25 Введем обозначения: Р = гх впту — ру, Ц = ах сову — р. Дополним кривую интегрированин ЛО до замкнутого контура Г, отрезком ОЛ оси Ох.
Тогда получим О Г = /гРдт. + Двгу — / Рг?к+ О.ду. ь ОА Рес. 59 дЯ дР Так как — — — = р, то по формуле Грина находим дх ду 5г) у //Р у ь О ззя Гл. ХШ. Криволинейные интегралы где область С -- верхняя половина круга радиуса а/2. Поэтому Орс1х йу = р о'(С) = р с: Вычислим интеграл по отрезку ОА оси Ох.
Учитывая, что на этом отрезке Р = О, с1у = О, получим / 1'Д:г + Ц агу = О. Таким образом, 1= —.р. а .ггаг ОА 8 2. Пусть функции и(х, у), о(х, у) и их частные производные первого и второго порядка непрерывны н замкнутой области С, ограниченной гладкой кривой Е. Доказать, что справедлива вторая формула Грина: и, и ~ д„ ди И = Ц д йу, ь дн дн а ди где — производная по направлению внешней нормали Ь, Ьи = ди ди ди ,, + г, а интеграл в левой части есть криволинейный интеграл дхг дуг' первого рода.
гг Сначала докагкем, что ~ е — с11 = Ц (и гли+ — — + — . — ) йх с1у. С7) л а Пусть и = (соя гр, я1пгр) — — единичный вектор внешней нормали к ди ди дгг кривой Ь. Так как — = — соягр+ — агаси, то дн дх ду =и ди 11 ди ди и — с11 = йгг (и — соях+ и — ягпгр) Д1. ди / 1 дх ду ь ь Единичный касательный к Е вектор т = (соло, ягпо), направление которого соответствует положительному направлению обхода контура, получастсп поворотом вектора и на угол л/2 против часовой стрелки Срис. 60). Поэтому и = со+ л/2г соя о = — гйпгр, гйпсг = соя гр. Учитывая эти равенства., с помощью формулы С8) из 8 2 выразим криволинейный интеграл первого рода через криволинейный интеграл второго рода: ~(и — соя со + и — ягп гр) с(1 = )г ( — и — /г1х + (гг — ) с1у.
43. Формула Грина ди ди Вводя обозначения Р = — и —, Ц = ю —, .преобразуем последний инду ' д*' теграл по формуле Грина. Учитывая, что дг2 д Г дид д~и ди ди дх дх (, дх) дха дх дт' дР д 7 дид д'и ди ди ) а ду ду ( ду) дуа ду ду получим ~( — и — )о1х+ (и — )ау = /)~( — — — )ахну = г. од = Ц(иди+ — — + — — )41хо1у. с Таким образом, справедливость равенства (7) доказана. Поменяв в равенстве (7) ролями функции и(х, у) и и(х, у), получим ~и — оИ = О(ивою+ — — + — — )о1хду. (8) ь с Составляя разность раненств (8) и (7), приходим ко второй формуле Грина: ~(и — — о — ) Ж = О(и4ьи — о4зи) о(тду.
Л ь а 3. Вычислить площадь Я фигуры, ограниченной астроидой т = асояз Р, у = Ьв1пв 1, 0 ( 1 ( 2я, Ь Пользуясь формулой (3), находим Зл Я = —, а хдау — удх = — / (ЗаЬсоя' г вш-в+ Зауяш 1 сов 2) о1г = г 4 3 2о' 2/ ь о 3гз.з3г.а Зиуа 2,/ = — / сов т яш 14Г = — ) вш 2гаг = . я 8./ 8 о о 4. Доказать, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить криволинейный интеграл: а) / хдх — уо1у, где А(0,1), В(3,— 4); лв б) / (х4+ 4туз) 41т+ (бхвуа — бу4) 41у, где А( — 2, — 1), В(3,0). .4Н а 4 Ь а) Очевидно, адт — уо(у = Аи, где и = — ' — — '. По формуле (4) 2 2 находим 7 г 1т хдт — уйу = и(В) — и(А) = — — — ~ — — ) = — 3.
2 н 2) Гл. ХШ. Криволинейные интегралы 340 б) Проверим выполнение условия 1У теоремы 6: Р = ел+ 4хрз, 2 2 л д" з де 2 дР де ей = Ох р — 5у, — = 12ху-, — = 12хр-. Таким образом, — = —, дд ' дх др д» ' т. е. условие 112 выполнено. Следовательно, по теореме 6 выражение Р йх + еХ йу является полным дифференциалом, а криволинейный интеграл Х = / Рйх+ Ойр не зависит от пути интегрирования.
ВозьАв мем в качестве пути интегрирования ломаную АЛХВ, где ЛХ( — 2,0). ТогдаАЛХ=((х,р)1х= — 2, — 1<у<0), ЛХВ=((х,у): у=О, — 2< <х<3). Вдоль отрезка АЛХ имеем х = — 2, йх = О, — 1 < р < 0; поэтому о Рйх+ егйд = / (24уг — 5рл) йу = 7. Вдоль отрезка ЛХВ имеем у = АЛ1 -1 =О, йр=О, — 2<х<3; поэтому Рйх+ Я йу = ~хл йх = 55. мв Искомый интеграл по ломаной АЛХВ равен суммчо вычисленных интегралов, т. е. равен 62.
л 5. Дважды дифференцируемая функция и(х, у) называется гарлчоди ди ничеслой в области С, если в этой области чаи = †, + — = О. Докадх2 д112 зать, что если для функции и(х,р), имеющей непрерывные частные производные второго порядка в односвязной области С, и для любого гладкого замкнутого контура Х, лежащего в области С, справедливо гди ди равенство у — й1 = О, где — -. производная по внешней нормали к У дп ' дп ь контуру Хч то и(х, у) -- гармоническая функция в области сч.
2л Пусть и = (сов 1о, япВо) - . единичный вектор внешней нормали к кривой Х,. Так как ди ди ди — = — сов 1о + — чш 1р, дп дх дп то =и ди г 2'ди ди, — сУ = у ( — сов:р+ — вш чо) еД, дп дх дп ь ь Далее, пусть т = (сова, япа) единичный касательный вектор к кривой Хо направление которого соответствует положительному на- правлению обхода контура. Тогда а = — + 1р (см. рис. 60), сова = 2 = — вш1р, яп а = сову, и по формуле (8) из В 2 получим =и . ) =у ди Гч'ди . ди 1 Г ди ди — й1 = у ( — яп а — — сов и) Й = у — — йх + — йр. дп У (,д* дп ' Х У др дх ь ь Ь 28.
Формула Грина 341 ди ди Таким образом, у — — Йх+ — Йу = 0 для любого замкнутого ду дх 1, гладкого контура А, лежащего в односвязной области С, т. с. выполнено условие 1 теоремы 6. По теореме 6 из условия 1 следует условие д Г дих д Гдггх дги дги 1Ъ", т. е. — 11 — — ') = — 11 — '), откуда — + — = О, или г."ьи = О. ' ду'1 ду,) д '1д*)' д ° ду Это и означает, что функпия и(х,у) гармоническая в области С. А ГхЙу — уЙх 6. Вычислить интеграл 1 = у,, где А — замкнутый ку- 1 .- - уа : ь сочно гладкий контур, окружающий начало координат, пробсгаемый в положительном направлении и ограничивающий область С.
,~ Покажем, что интеграл 1 не зависит от выбора контура А, окружа- у т, ющего начало координат. Положим Р = —,, (,1 =,, Тогда лг+у2' х2+уг' дГг дР у — х ,,2 2 — — при х +у фО, дх ду 1хг+ уг)г т, е, условие 1Ъ' теоремы 6 выполнено всюду в области С, за исключением точки 0(0, 0). Область С с выброшенной точкой 0 уже не является односвязной, поэтому утверждение 2' теоремы 6 использовать нельзя (нельзя утверждать, что из условия 11г следует условие 1). Рассмотрим другой кусочно гладкий замкнутый контур 1, окружающий начало координат. Пусть контур 1 лежит внутри (или вне) области С, тогда кривые Л и 1 ограничивают некоторую область й.
Рнс. 61 Применим к атой области формулу Грина. Если кривая 1 лежит внутри С (рис. 61, а), то в формуле Грина обход контура Л совершается против часовой стрелки, а контура 1 — по часовой стрелке. Поэтому ~ Р Йх + Я Йу — ~ Р Йх + Ц Йу = ~~ ( — — — ) Йх Йу = О, ь 1 н откуда 1РЙх ф ДЙу = 1РЙх+ ЦЙу. Гл. ХШ. Криволинейные интегралы 342 Если же криван 1 лежит вне С (рис. 61, б), то в формуле Грина обход контура Ь совершается по часоной стрелке, а контура 1 -- протин ча- совой стрелки. Значит, ~Р41х+ Сйг1у — ~РИх+ ДНУ = О. ь Отсюда снова получаем равенство (9). Если контуры А и 1 пересека- ются в п точках (рис. 61, в), то для каждой из п полученных при этом областей Йь, не содержащих начала координат (оци заштрихованы на рис. 61, в), справедлива формула Грина.
Пользунсь этой формулой, находим 1Р + 1+~Р + =О гл (направления обхода показаны на рис. 61, в). Просумьлировав эти равенства по Й от 1 до и, получим, что сумма интеграла по контуру Е в положительном направлении и интеграла по контуру 1 в отрицательном направлении раппа нулю. Отсюда сиона приходим к равенству (9). Таким образом, интеграл 1 не зависит от выбора кривой Ь.
Вычислив его по единичной окружности х = сов1, .у = в1п1, О < 1 < 2т1, получим 1 згсое21644-е1я24М = 2'г. в сонг 1 4- ешг 4 о 3 а м е ч а н и е. Рассмотренный пример показывает, что если область пе является односвязной, то из условия 1У теоремы 6 может не следовать условие 1. 7. Найти функцию и(х, у), если ди = [у сов ху — 22 вш(хг — дг)] дх + + [хсовху+ 2ув1п(х' — уз)] г1у. 21 Нетрудно убедиться, что для дифференциального выражения выполнено равенство (5). Для вычисления функции и(х, д) воспользуемся формулой (6). Находим и(х.р) = /[Уосовхдо — 2хв1п(х' — дог)]11х+ «о у + ~ [х сов ху + 2у вш(хг — уй)] 41У = ио = [вшхуо + соз(хг — уг)]]' + [вшху + сов(хг — рг)]]и + С = 2 2 = [в1цхдо ж сов(х — до) в1п тода — сов(хо — Уо)] + ,2 2 + [вш ху+ соз(хг — уг) — в1п хуо — соз(хг — дог)] + С = = вшху + сов(хг — дг) + С1, где С1 — — произвольная постояцнан. в 344 Гл.
Х111. Криволинейные интегралы г) ( ', где А(1,0), В(6,8), АВ - — кривая, не проходншая чег хйх-~-уйр „/ г.г 4 рг ' рез начало координат; д) / хйх+ у'йу, где А(1, Ц, В(2,3); г хйхжрйр е) ) ', где точка ЛХг(хну|) лежит на окружности х + гхг л рз мг я'гг + Уз = аг, а точка ЛХг(хг, Уг) ..
на окРУжности хе+ У = Ьг. 29. Выразите следующие криволинейные интегралы через определенный интеграл; а) / Х(х -~- у)(йх -> йу), где А(0,0), В(а,б), а Х(4) непрерывная лв функция; б) ( Х(. гхг+ уз)(хйх -~-уйу), где ЛХг(хи уг), ЛХг(хг, у ), а 1(4) м,мг непрерывная функция. 30.
Выразите криволинейный интеграл / 1о(х) их + ф(у) иу, где ЛХг(хы уг), лг1 мг ЛХг(хг, уг), а со(х) и ф(у) -. непрерывные функции, через сумму определенных интегралон. 31. Найдите функцию и(х, у), если: а) йи = (хе+ 2ху — уг) йх + (х — 2ху — у ) йу; д"4 в'г д"4 "-1г б) Ии= йхж йу. дх"4' др дх" ду цю ГЛАВА Х1Ъ' ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
