В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 65
Текст из файла (страница 65)
=-»Х 1г — о) длр — »У — Уо) дг ь Пх — о)г + (У вЂ” Уо)' -ь ( — ео)г)гу" лх — хо) дг — »г — го) дх Ви — — у1 Пх хо) Л»У Уо) е»г о) ) у ь В =т1 »у — уо) йх — »х — хо) луу Их — хо)' + »у — уо)г + ( — о)г)гуг ь Если ввести векторы г = лх — то, р — ро, г — го) и й1 = Ул)х, е»р, »1г), то вектор магнитной индукции В = В, »+ Ви 1+ В, й можно записать в Х уд» .г) ,г ь Отметим, что направление обхода контура Х совпадает с направлени- ем тока в контуре.
а 7. Привести пример, показывающий, что для криволинейных интегралов второго рода неверна, вообще говоря, формула среднего значения / РУх, р) л)х = Р(х*, у') / »Хх, где АВ -- гладкая кривая, Р(х, у) --- непрерывная вдоль АВ функция, (х*,лд*) некоторая точка кривой АВ. »' Рассмотрим полуокружность уха + рг = 1, х < О) с направлением обхода от точки А(0, 1) к точке В»0, — Ц. На полуокружности АВ зададим непрерывную функцию РУх, р) = у. Пользуясь параметрическими уравнениями кривой АВ т, = сов»и р = згп», яу»2 < 1 < Злу»»2, вычислим криволинейные интегралы, входящие в формулу среднего Гл.
ХШ. Криволинейные интегралы 332 значения: 2 АВ АВ гг)2 Зн12 г)х = / ( — зш 1) г)1 = О. АВ л)2 Следовательно, не сушествует такого промежуточного значения Р(х', у') непрерывной подынтегральной функции Р(хг у) = у, для которого / Р(х,у) ггх, = Ргхн*,у') / ггх. Д Ав Ав Задачи и упражнения для самостоятельной работы В упр. 8-18 вычислите криволинейные интегралы второго рода. Для незамкнутых кривых, заданных параметрически туравнеггием у = 1)х)), направление обхода соответствует возрастанию параметра т 1переменггой х).
8. / хну — уйх, гце 010,0), АГ1,2), если: а) ОА отрезок прямой; ОА б) ОА дуга параболы, осью которой является ось Оу; а) ОА ломаная линия, состоящая из отрезка ОВ оси От. и отрезка ВА, параллельного оси Оу. 9. / хнах — уйу, где ОА кривые из пп. а), б) и н) упр. 8. ОА 10. / Гх — 2ху) йх+ (уг — 2ху) йу, где В дуга параболы: у = хг, — 1 ( ь ( х ( 1. 11. / г'х + уг) йх+ тх~ — уг) гту, где В .-- кривая у = 1 — )1 — х), 0 < х < 2. хг уг 12.
~(х Ч- у) йх Ч- )лг — у) йу, где Ь эллипс —, Ь вЂ” = 1. а- Ьг 13. /12 — у)йхл-хггу, где К арка циклоиды т = г — гйпй у = 1 — соей 0 ( г ( 2гг. г Гх -~- у) йх — )х — у) йу 14. у, где Л окружность хг -Ь уг = 1. хг -~-уг ь г йх -~- йу 10. лгг ', где В -- гРаница квадРата с веРшинами А(1, 0), В10г Ц, ь Ст — 1, 0)., лг10, — Ц. 16. /уйг ж гйу-гхг1г, где Ь . виток винтовой линии х = соей у = ашй г.
0 ( г ( 2гг. 17. / гГу — г) йг+ гГг — Х) ду Ч- (Х вЂ” у) йг, ГдЕ В ОКружНОСтЬ Х' + уг ж ь Ч- гг = а, у = х 18 о, о Е 10, я,Г2); обход окруягности совершается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки 12а, — 2а, 0), а > О. 53. Формула Грина 333 18. /у'Ах+ л~4у+ х'~1ьц где Л кривая Вивиани хл+ уз + с~ = а~, х + уз = ох (х ) О, а ) 0), пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть из точки (2а, О, 0). 19.
Пусть Г(ЛХ) сила, с которой материальная точка массы ои помощенвая в вачало координат 0(0, 0), притягинает точку массы 1, находящуюся в точке ЛХ(х, у). Найти работу силы притяжения Г при перемещении материальной точки массы 1 вдоль кривой АВ, где АВ часть аллипса х + ~ = 1, при х ) О, у ) О, А(0,3), В(2,0). 20. Пусть с = (-ху,ул/2) скорость плоского потока жидкости в точке ЛХ(х, у).
Вычислить количество жидкости, вытекающее за единицу времени из области С = ((х, у): — 1 ( х ( 1, х~ ( у ( Ц. 21. Вычислить работу силы Г вдоль кривой АВ, если: а) Г = (у, -х), АВ окру'кность хл + ул = 1, пробегаемая по ходу часовой стрелки от точки А( — 1/уг2, — 1/~/2) до точки В(1/т/2,1/уг2); б) Г = (щ — х,у), АВ -- виток винтовой линии х = асоьй у = 531п1, х = сй 0 ( 1 ( 2л, А(о,0,0), В(а, О, 2лс).
22. Вычислить работу силы Г вдоль замкнутого контура Л в положительном направлении, если: а) Г = (х — у, 2х+ у), Л треугольник с вершинами А(1, 1), В(3,3), С(3, — Ц; б) Г = (х+ у, у — х), Л - эллипс 5х' — бху+ 5у' = 8. '3 3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрировании Основные понятия и теоремы 1. Понятие простой области.
На рис. 56, а изображена замкнутая область Сы ограниченная снизу и сверху кусочно гладкими у у Рнс. 56 кривыми у = уь(х) и у = уз(х), а слева и справа отрезками прямых х = а и х = Ь. Напомним, что такая область называотсн у-трапециевидной (отрезкн прямых могут вырождаться в точку). Аналогично определяется х-трапециевидная область (рис. 56, б). Гл.
ХШ. Криволинейные интегралы 334 2. Формула Грина. Теорема 5. Пусть функции Р(х,у) и 1,7(аду) и ах частные про- дР д1г изводные — и — непрерывны в простой области С. ду дх Тогда справедливо равенство гдв криволинейный интеграл берется по границе А области С в поло- жатвльнол7 направлении. Форгиула (1) называетсн форллулой Грина. Она связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области.
3 а м е ч а н и е 1. Формула Грина справедлива не только для простой области, но и для любой ограниченной области с кусочно гладкой границей. 3 а и е ч а н не 2. Полагая в формуле Грина 47 = т, Р = О, а затем Яд = О, Р = — д и учитывал, что Одхду равен площади Я области С, получим выражения площади фигуры через криволинейные интегралы по ее границе: (2) Пусть о и д произвольные числа такие, что о+д = 1. Умножая первое из равенств (2) на о, а второе на д и складывая, получим еще одну формулу длн площади: Я = )1 охду — дудх ь (о-~-д = Ц.
Наиболее употребительна эта формула прн о = д = 1/2: 1 и = — ~>хду — удх. 2 л' (3) Замкнутую область С назовем простой, если ее можно разбить на конечное число как х-трапециевидных, так и у-трапециевидных областей. Предполагается, что при каждом разбиении никакие две об/ ласти нс имеют общих внутренних точек. Примерами простых облас4/ тей являются круг, прямоугольник, кольцо. На рис. 57, а показано раза л биение кольца на у-трапециевидные, Рас. 37 на рис.
57, б - на х-трапециевидные области 1стрелками указано положительное направление обхода границы кольца). бЗ. Формула Грина зза ди = Рдх+ Цду. При этом для любой кусочно гладкой кривой АВ, лежащей в области С, имеет место равенство / Рдх+ 1г'ду= и(В) — и!А). (4) лв 2'. Пусть С вЂ” односвязная область, а функции Р и бг имеют в дР дО области С непрерывные частные производные — и —. ду дх ' Тогда каждое из условий ! — !П эквивалентно следующему условию: 3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования на плоскости. В 4 2 был рассмотрен пример, в котором криволинейный интеграл второго рода по трем различным кривым, соединяющим две данные точки А и В, ил1ел одно и то же значение. Можно доказать (см.
ниже замечание 2 к теореме 6), что этот интеграл имеет то же самое значение для любой кусочно гладкой кривой, соединяющей точки .4 и В. В таком случае говорят, что криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования (т. е. не зависит от выбора кривой, соединяющей две данные точки, а зависит только от самих этих точек). В формулируемой ниже теореме 6 об условиях независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования используется понятие односвязной области. Определение. Область С на плоскости называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области С.
Примерами односвязных областей служат круг, прямоутольник; пример неодносвязцой области -- кольцо. Теорема 6. 1'. Пусть функции Р(х, у) и Ц(х,у) непрерывны в области С. Тогда следуюигие три условия эквиваленгпны (т, е, из каждого из них следуют два других). 1. Для любого замкнутого кусочно гладкого контура Ь, расположенного в области С, справедливо равенство ~Р дх + сг ду = О. ь П.
Для любых двух точек А и В в обласпш С криволинейный интеграл ~ Рс1х+Я~ду не зависит от пунш интегрирования, распололв женного в области С. П1. Выражение Р(х, у) дх + Я(хц у) ду является полным дифференциалом, т. е. в области С существует функция и(М) = и(х, у) такая, что Гл. ХШ. Криволинейные интегралы 336 11?. В области С еыпалняетсн равенства дР дЯ ду дх ' (6) Замечание 1. функция и1х, у) из условия П1 может быть найдена па формуле Контрольные вопросы и задания 1. Какая область называется: у-трапециевидной; х-трапециевидной; простой'? 2. Покажите, что область С = Цх,у): — 1 ( х ( 1, хг ( у ( 1) является простой.
Удалив из области С круг хг + ) у — †/ ( †, получим об- 2/ 16 пасть Сы Покажите, что область Со также является простой. Укажите положительное направление обхода гранины области Сы 3. Напишите формулу Грина и сформулируйте условии, при которых ана верна. 4. Пусть С - -. у-трапециевидная область, Ь -- ее граница, функция Р?х, у) др и ее частная производная — непрерывны в области С. Докажите„что ду ггдР справедливо раиеастио Π— йхйу = — ~Рйх.. ду со г.
5. Напишите формулу для вычислеаия площади Я простой области с помощью криволинейного интеграла па ее границе Е. Верна ли формула Я = )~ — йу — — йх? ох 1у 5 5 ь ьи л'1 и?,' у) = 1 Рдх'+6)йу+С, о о оо) где интеграл в правой части представляет собой криволинейный интеграл второго рода по произвольной кривой А, лелоащей в области С и соедианющей какую-нибудь фиксированную точх ку )хо,уо) с точкой 1х,у), а С -- произвольная Рис.
58 постоннпан. В качестнс кривой А часто бывает удобно брать ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат 1рис. 58). Тогда Ы оо) ?ж о) у и1х,у) = / Рйх+ / огйу+ С = /Р?х, уо) йх+ /Я1х,у) йу+ С. 16) ?оо ло1 Ы оо1 о оо 3 а м е ч а н и е 2. Лля рассмотренного в примере 1 из 2 2 криволинейного интеграла 1 = / 2хус?х+ х йу имеем Р = 2ху, ог = х, — = 2х, — = 2х. , др дг2 ду 'до др дс) Таким образом, — = — и, следовательно, интеграл 1 не зависит ат пути ду дх интегрирования. гго. Формула Грина 337 6.
Что означает утверждение: криволинейный интеграл / Рдх+ Яг?у не зависит от пути интегрирования? АВ 7. Что означает утверждение: выражение Рг?х Ч-Яг5гд явлнетси полным дифференциалам в области С? 8. Пусть функции Гг(х, у) и Я(х, у) непрерывны в области С. Сформулируйте два необходимых и достаточных условия независимости криволинейного интеграла / Рг?х+ 9г5у от пути интегриронания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
