В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В ~ 4 гл. Х была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции з = Дх,у), (х,у) с С. Задание поверхности уравнением (1), а также уравнением х = У(у,а) (1') или уравнением (1о) называется явным. Поверхность может быть задана уравнением г(хьу,з) = О, (2) х +уз+с — Л =О задает сферу радиуса Л с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: (З) х = ~р(и,о), у = ф(и,о), з = Х(и,о), (и,о) 6 д, (4) где,р, ф, т - непрерывные функции в области д. Переменные и и о называются параметрами.
По формулам (4) каждой точке (и,о) области д ставится в соответствие некоторая точка (х, у, з) трехмерного пространства. Множество этих точек и образует поверхность. Например, уравнения х = Ла1писоао, у = Ла1пиа1по, з = Лсоаи, (и,о) Е д = ((и,о): О < и < л, О < о < 2л) (6) задают ту же самую сферу, что н уравнение (3). Уравнения (4) можно записать в векторном виде г = р(и,о) 1+ ф(и,о)1+ г(и,о) 1с, (и, о) с д, (6) не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное за- дание). При этом поверхность представляет собой множество всех то- чек, координаты которых удовлетворяют уравнению (2).
Например, уравнение Гл. Х1К Поверхностные интегралы 346 где т = х1+ у)+ г14 --- радиус-вектор точки ЛХ(х,у, г), а (1,Л,14)-- ортогональный базис. В дальнейшем, рассматривая поверхности, заданные параметрически уравнениями (4), буцем считать выполненными следующие условия. 1. Область д ограничена и замкнута; ее границей является кусочно гладкая кривая без самопсресечений. 11. Функции уо, ф и Х непрерывно дифференцируемы (т.
е. имеют непрерывные частные производные первого порядка) в области д. НЕ Различным вну тренним точкам (и, и) области д соответствуют различные точки (х, у, г) поверхности. Если условие, аналогичное П1, выполнено также для граничных точек области д, то поверхность будем называть простой. Множество точек поверхности, соответствующих граничным точкам области д., образует в этом случае границу (или край) поверхности. На рис. 62 изображена часть конической поверхности х = исоао, у = иа1пи, 0'А то Рис. 62 г = и, (и,и) Е д = 11и,и); О < а < и ( 5, .О < и < к), краем которой является замкнутый контур А'В'С'1У, соответствующий прялюугольнику АВСР границе области д. Точки поверхности, не принадлежащие краю, называются ее внутренними точками.
Если же условие типа Н1 не выполнено для граничных точек области д, то поверхность может не иметь края (в таком случае она называется замкнутой). Примерокл такой поверхности является сфера, заданная уравнениями (5). 3 а м е ч а н и е. Определение внутренних н граничных точек поверхности можне ввести еще и так: точка Лй поверхности называется внутренней, если существует окрестность гочки ЛХ такая, что множество точек этой окрестности, яс принадлежащих поверхности, являетсн несвязным; точка поверхности, пс являющаяся внутренней, называется граничной. 2.
Понятие гладкой поверхности. Пусть поверхность Ф залана либо явно, либо неявно, либо парамотрнчески. Будем называть поверхность Ф гладкой, если для любой ее внутренней точки существует такан окрестность, которая вырезает часть поверхности Ф, 4 П Площадь поверхности 1Л7 = (Г. (ЛХо), Г„(ЛХо), Пл(ЛХо) ) является вектором нормали к поверхности Ф в точке ЛХо.
Пусть поверхность Ф задана параметрически уравненинми (4), или, что то же самое, уравнением (6). Точка Мо(р(и,и), Ф(и,о), х(и,и)) называется неособой точкой поверхности Ф, если в этой точке векторы г» = 1Р (и,о) +14 и(и,и) + 1схи(и, и), ги =1 р„(и,о) +зф»(и.,и) + 1схи(и,и) псколлинеарны (линейно независимы). В противном случае точка Мо называется особой.
Простая поверхность, пс имеющая особых точек, является гладкой. Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф в неособой внутренней точке Х»Х(р(и, и), ф(ип и), .х(и, и)) имеет вид 4(х — то) + В(У вЂ” йо) 4- С(х — хо) = О, где то = р(и,о), йо = Ф(и.,и), -о = х(и о): О Рис. бз Фи Хи В Хи ~Р» С Ри 4» (6) х ' х, р. ' ри Ф, Вектор 1Л7 = (г г„) = 1 А -~-д В + 1сС есть вектор нормали к поверхности Ф в точке ЛХ. Векторы г„ и ги, отложенные от точки ЛХ, лежат в касательной плоскости (рис. 63). допускающую явное представление вида (1) или (1') или (1о) где Х-- непрерывно дифференцируемая функция. Из этого определения следует, что в каждой внутренней точке гладкой поверхности существует касательная плоскость и нормаль (слп ~ 4 гл. Х).
Если поверхность Ф задана явно уравнением (1) и функция Х(х, у) непрерывно дифференцируема в области С, то поверхность, очевидно, является гладкой. Уравнение касательной плоскости и координаты вектора нормали в данной точке поверхности Ф приведены в ч 4 гл. Х. Пусть поверхность Ф задана неявно уравнением (2) и пусть функция г"(х, д, х) непрерывно дифференцируема. Точка ЛХо(хо, по, хо) поверхности Ф называется неособой, если в этой точке Е~ + Х'„~ + г'з ф О.
В противном случае точка называется особой. Если поверхность не содерлсит особых точек, то она является гладкой. Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф в неособой внутренней точке ЛХо(хо, уа, хо) имеет вид Хх(ЛХо)(х ао) + -~у(ЛХо)(»' По) + Хл(ЛХо)(х хо) = О. Вектор 348 Гл. ХХК Поверхностные интегралы 3.
Понятие площади поверхности. Пусть Ф -- гладкан ограниченнан поверхность. Разобьем ее с помощью кусочно гладких кривых на конечное число и частей Ф, (г = 1, 2, ..., и) так, чтобы каждая часть Фч однозначно проектировалась на касательную плоскость, проведенную в любой точке этой части (предполагаетсн, что такое разбиение нозможно). На кавчдой части Ф, возьмем произвольную точку ЛХ, и проведем через нее касательную плоскость к поверхности. Обозначим через 5, площадь проекции Ф, на касательную плоскость (эта проекция ограничена кусочно гладкими кривыми и потому квадриэ руема).
Составим сумму 5(ФО М,) = ~ Яь Пусть д, -. диаметр ФО д = глах д,. ю=-ч 1<гак Определение. Число Я называетсн пределом сумм Я(Фч, ЛХ ) при д -э О, если Ие > О Чд > О такое, что длн любого разбиения поверхности Ф, у которого д. < Б, и длн любого выбора точек ЛХ, выполняется неравенство ~Я(ФьЛХ,) — Я) < е. Если существует 11пч 5(ФО М,) = 5, то поверхность Ф называетсн г-че кеадрируемой а число Я .-- площадью поверхности Ф.
3 а и е ч а н и е 1. Поверхность, составленная из нескольких гладких поверхностей, называется кусочно гладкой. Если каждан иэ этих гладких поверхностей ввадрируема, то сумма их площадей принимается за площадь кусочно гладкой поверхности.
3 а м е ч а н и е 2. Определение плошади естественным образом распространнетсн на поверхности, нс имеющие касательной плоскости и нормали в конечном числе внутренних точек. Примером такой поверхности нвлветсв коническая поверхность, которая не имеет касательной плоскости в своей вершине. 4. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла. Теорема 1. Гладкая парал~етрически гадакнал поверхность, не имеющая особых точещ кеадрируема, и ее площадь Я выражается формулой (9) д где А, В и С определяются по формуле (8). 3 а меча н ие 1. При наличии конечного числа особых точек формула (9) остаетсн в силе.
3 а м е ч а н и е 2. Введем функции В = гг = дд~(и.о) ж Фг(и,о) ж Хг(и,о). С = г„= дд,(и, е) 4- чд„.(и, г) ж Х„.(и, о)., (10) Г = (г„г,) = ю„эд,, 4- гыу1„+ Х,Х„,. Справедливо равенство Аг 4-В 4-Сг = ВС вЂ” г", д Е Площадь поверхности 349 и поэтому формулу (9) можно записать в виде е=?) 'ео-е е,е,. (12) 3 а м е ч а н и е 3. Понерхпость, определенную явно уравнением (Ц, можно рассматривать как заланную параметричесьи роль параметров играют х и у. Параметрические уранненин (4) длн такой поверхности можно записать в виде х = и,, у = ьь з = 7(и, о), (и, о) б С.
Если область С удовлетворяет условию 1 и. 1, а функция 7" (х, у) непрерывно дифференцируема в области С, то, используя равенство (12), получим формулу для площади поверхности, заданной явно, (13) Контрольные вопросы и задания 1. Назовите способы задания поверхности. Длн каждого способа приведите пример. 2. Напишите уравнения поверхности в параметрическом и в векторном виде.
Какие требования накладываются на параметрические уравнения поверхности? 3. Напишите параметрические уравнения сферы, конуса, круглого цилиндра. 4. Какал поверхность называется простой? Что называют границей или краем поверхности'? Явлнется ли простой поверхностью часть эллиптического параболоида х = и, у = о, х = и ч-ьз, (и.,о) б д = ((и,с)с 0 < ( и + о ( а )? Что является границей этой поверхности? 5. Приведите пример замкнутой поверхности, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
