В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 68
Текст из файла (страница 68)
е. понерхнасти без края. 6. Для следующих понерхцостсй, заданных параметрически, определите, в какие точки поверхности (граничные или внутренние) отображается граница области д: а) сфера х = Вэ?писоэо, у = Лэшиэшо, х = Всели, (и,о) б д = = ((и, о): 0 ~( и ( (л, 0 ( (о ( (2л); б) конус х = гсоэсо, у = гсйпдб з = г, (г, о) б д = ((г,ср): О ( г ( (а, 0(ср(2л); в) цилиндр х = а сол со, у = а эш ср, х = 6 (а > 0), (ь, у) б д = ((ь, эо): -Ь<6(Ь, 0( р(2л). Нарисуйте данные поверхности и укажите на рисувке образ границы области д.
Явлнются ли этн поверхности простыми'? 7. Дайте определения: а) гладкой поверхности; б) касательной плоскости к поверхности в данной точке. 8. Какан точка поверхности называется пеособой (особой), осли поверхность задана: а) неявно; б) параметрически? 9. Сфорлеулируйте достаточные условии, при которых является гладкой поверхность, заданная: а) явно; б) неявно; в) параметрически. 10. Напишите уравнение касательной плоскости в неособой внутренней точке гладкой поверхности, заданной: а) явно; б) неявно; в) параметрически.
Каковы координаты нормали к поверхности в этой точке? Гл. ХХЬ'. Поверхностные интегралы 350 11. Укажите особые точки сферы и конуса из задания 6. Сущестнуют ли касательные плоскости в этих особых точках? 12. Имеет ли особые точки цилиндр х = а сов уй у = аебп р, 2 = Ь при — Ь ( Ь ( Ь, 0 ( Со ( 2а.? 13. Справедливо ли утверждение: в каждой внутренней точке гладкой по- верхности существует касательная плоскость и нормаль? 14.
Дайте определение площади поверхности. Какая поверхность называет- сл квадрируемой? 15. Сформулируйте теорему о квалрируемости поверхности, заданной па- раметрически, и напишите формулу для вычисления ве площади. 16. Вычислите выражение 2/ЕС вЂ” Ез для сферы, каауса, кругоного цилинд- ра из задания 6.
17. Напишите параметрические уравневия гиперболического парабалоида х2 у2 22 2 = х — у и эллипсоида —, -Ь вЂ” -Ь вЂ”, = 1 и вычислите выражение ал Ь2 ез ,/ЕС вЂ” Р2 длн этих поверхностей. 18. Выведите формулу для вычисления площади поверхности, заданной на- но. При каких условинх она верна? Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности х = и, у = с, = из+из н точке ЛХа(1,1,2).
21 Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме х = зи+ + 2 0+ 1с(из+ из), получиги гн(ЛХа) = (1+Зи21с)[ =1+ 31с, г„(ЛХа) = (1+2и1с)[ = 2+21с. По формуле 1х? = [г„г„.) находим нормаль в точке ЛХо. 1 М = 1 О 3 = — 31 — 21+1с. О 1 2 Составляем уравнение касательной плоскости, проходящей через точку ЛХ0(121,2): — 3(х — 1) — 2(у — 1) + (з — 2) = О, или з — Зх— — 2у+ 3 = О. Дадее, вычислим длину вектора 1х? и его направляющие косинусы: [Хн[~ = 9+4+1 = 14, созсс = — 3/222Г4, созХХ = — 2/тХГ4, сову = 1/ъГ14. А 2. Вычислить площадь Я части гиперболического параболоида з = = ху, вырезанной цилиндром хз + уз = 8.
Ь Площадь 5 вычислим по формуле (13): я = пф+Р*+ее е, =Х/~т~,+'чгее с а где С -- круг ха + уз ( 8. В интеграле перейдем к полцрным координатам; получим ун Площадь поверхности зги 2п 2О2 3= ~4р~ р,/Г~ ренар. о о Вычисляя интеграл, находим Я = 26н. а 3. Найти площадь Я части поверхности 2 = 1 — (хх — 1у2)2~2, отсекасмой плоскостью 2 = О.
!л Для вычисления площади 5 воспользуемся формулой (13). На- ходим = — Зх(ха + ул)~!~, 3„(, 2+ у2)122 л = 11', 1 с 9( ' ~ у!'весь н где С вЂ” область на плоскости Оху, на которую проектируется часть поверхности, отсеченная плоскостью х = О. Границей области С является линия пересечения поверхности с плоскостью 2 = О, т. е.
кривая 0 = 1 — (х2 + у2)212. Отсюда получаем хл + ул = 1, т. е. граница области С --- окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Вычислим интеграл Я, перейдя к полярным координатам х = рсояЧ1, у = раш р, 0 < !р < 2п. Имеем 2п 1 2 .= 1.1..л:м = ц—' ;л —.;. о о + — 1п (Зр + Ь/1 + Орл)~ = — (ЗЛО+ 1п(3+ ЛО)), а 4. Найти площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями х2 + 22 = о2, у2 + 22 = о'. Е~ Сначала вычислим плошадь Я части поверхности Ф первого цилинд- Рис. 64 ра, вырезанной вторым (рис.
64). Параметрические уравнении первого цилиндра имеют вид х = особ!р, у = 6, 2 = о61п!р, О < !р < 2л, — оо < 3 < +со. Гл. ХГг'. Поверхностные интегралы Для того чтобы найти уравиеиие линии пересечения поверхностей, подставим параметрические выражения у и х в уравнение второго цилиндра. Уравнение уз + хз = аз в переменных гр, 6 примет вид йа = аз сова гр, 0 < гр < 2гг. Таким образом, для точек пересечения поверхностей при у ) 0 имеем 6 = а~ совгр~, при у < 0 имеем 6 = — а) сов со~. Область д изменения параметров поверхности Ф запишется следующим образом: д = ((гр, 6): 0 < со < 2тг, — а) созга( < 6 < а) сов|р().
Пользуясь формулами (10), получаем Е = аз япг гр + аа сов го = аз, с=г, г=ю, * а.,ео:г'=.. г.ф.г р-[гг) Вс о~ сог т) В = //а Жр аг1г = а, / гггр / г(И, = 8сР. 9 Π— о ( сог гс) Точно так же вычисляется площадь части второго цилиндра, вырезаииой первым. В результате получаем ответ: 16аз. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Составьте уравнение касательной плосвости к поверхности в точке Мо(го, уо, го): а) х = а сов ояпи, у = Ьяп ияли, г = ссови, Мо(а) Д, ЬГъгЗ, — сггтГ3); б) х = г, у = гяпгр, г = гсов го, Мо( — 1, хГЗГ2, — 1г2); в) х = асовго, у = ав1пво, г = 6, Луо(а)ъг2,а(Я, — 1).
2. Вычислите направляющие косинусы нормали к поверхиости в точке Луог а) х = гевар, у = гв1гггр, с = 6ог, Луо(6ггиГ2,6ггуГ2,6в14); б) х = (1+совр)совсо, У = (1+совр)ьтпгд, г = ЯпУД Мо(1ггъг2; 1ггнГ2, — Ц. 3. Пользуясь явным заданием поверхности, вычислите площадь: а) части гиперболического параболоида аг = ху, заключенной внутри цилиндрах + у = а; 2 2 г б) части эллиптического параболоида 2аг = хг + уг, заключенной внутри цилиндра (хг -г уг)г = 2а,"ху; в) части гиперболического параболоида 'т — 'Г = 2- при г ) О, вырс- .2 2 а лашюй цилиндРам ~т -~- Ут = 1; а Ь г) части поверхности ( — Ч- й) -Ь вЂ” = 1, вырезанной плоскостями гх, г~ 2г (а Ь) с х=О, у=б, г=О; д) части конической поверхности гг = 2ху, отсекаемой плоскостями х-~-у=1, х=О, у=б; е) части конической поверхности г = л,гхе + у'-, заключенной внутри цилиндра х + у = 2х.
4. Пользуясь параметрическим заданием поверхности, вычислите площадгс а) части сферы х -Ь у Ь г = а, заключенной внутри цилиндра х + + гг = Ьг, если О < Ь < а; бу. Поверхностные интегралы первого рода Збз б) части сферы х = Н,соеояци, у = Пешояци, г = Псоеи, ограниченной двумя параллелями и двуми меридианами, т. е. о1 ( о ( ог, и1 <и<иг,' в) части сферы х -~- у + г = о, расположенной ане цилиндров х + уг = хахц г) части цилиндра хе -~- уг = аг при х > О, у > О, вырезанаой плоскостямих-';с=О, х — х=О; д) части гиперболического параболоида г = (хе — у )Х2, заключенной внутри цилиндра (хе+ у )г = (хг — уг); е) части гсликоида т, = с сое со, у = т ешуь е = Ьр, 0 ( г ( и, О (р (2х; ж) поверхности тора х = (Ь+асоегЬ)спасо, у = (Ь+асоеф)япр, г = аешф при 0 < а ( Ь, 0 ( р ( 2~г, 0 ( Ф ( 2г.
5. Вычислите площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями: а) хг -~- у~ = хгХЗ, х ж у -~- г = 2а (а > 0); б) г = „/хг + уг, х + 2г = а (а > 0). 2 2. Поверхностные интегралы первого рода где 5(Ф,) площадь Ф,. Пусть с(, диаметр Ф„д = п1ах с1,. Определение. Число Х называется пределом интегральных сумм Х(Ф„Мг) при с( — ь О, если гг > О Нб > О такое, что для любого разбиения Ф, у которого с( < б, и для любого выбора точек ЛХ; выполняется неравенство ~Х(Фе,ЛХ,) — Х~ < я Предел Х интегральных сумм называется поверхностныл~ интегралом первого рода от функции Х(ЛХ) по поверхности Ф и обозначается ЦХ(ЛХ) ПП Ф ОХ(х,д,г) сБ. Ф или 12 В.Ф.
Бутузов н лр. Основные понятия и теоремы 1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть на квадрируемой поверхности Ф определена функция Х(ЛХ) = Х(х, д, г). Разобьем Ф кусочно гладкими кривыми на и квадрируемых частей: Ф = () Ф,. На каждой части Ф; выберем произвольную г=.1 точку М, и составим интегральную сумму Х(Ф,,М,) = ~У(ЛХ,)П(Ф,), ш1 354 Гл. ХХК Поверхностные интегралы 3 а м е ч а в и е 1. Если поверх вость Ф является графиком пел рерыеяо диффереицируемой функции х = х)х, у), (х, у) Е СЗ, то имеет место равен- ство 11 )) '; г * ) 'я = П )) ', , * ) ', г) ) Л + ) + 4 г* г ) 3) Ф с Замечание 2.
Формулы (2) и (3) остаются справедливыми для ку- сочно гладкой поверхности. 3. Физические приложении поверхностных интегралов первого рода. Пусть Ф вЂ” материальная поверхность с поверхност- ной плотностью р(х, у, х) в точке ЛХ(х, у, г) Е Ф. Тогда справедливы следующие формулы: а) ЛХ = Ор(х,у,г)ЙЯ масса поверхности; Ф б) ЛХ„= Охр(х,у,х)~Б, М, = ~~ур)',х,д,г)ЙЯ, ЛХзх —— Ф Ф = Д хр(х, у, х) ЙЯ -- статические моменты поверхности относитель- но координатных плоскостей Оху, Ох-, Оуг; М - Л1хл ЛХх в) хо = — ~л уо — — — ''" хо = — *-х . —.
координаты центра тпжести М' ЛХ' М поверхности, г) Х, = ~~(у + гз) р)х, у, ) ЙЯ Ф относительно оси Ох; д) Хз- — — О хзр(х, у, г) ЙЯ момент инерции поверхности относи- Ф тельно плоскости Оуг; е) Хо — — фхз -)- дг + хз)р(х, у, х) ЙЯ момент инерции поверхнос- ти относительно начала координат: ж) Р = ХГ„ гз,сл) -- сила притяжения материальной точки ЛХо(хо, ув, хо) массы то материальной поверхностью Ф, где Х; =1т)зо11, 'р(х,д,г)ЙБ, Пе = 1тоО", 'р(х,д,г)ЙБ, Ф е момент инерции поверхности 2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Теорема 2.
Пусть Ф -- гладкая поверхность, не имеющая осоЙых точек, заданнал параметрически уравнениями т = уз(и,))), д = = ф))ьи), = Х(и,и), (и,и) й у, и пусть функция Х)х,у,г) непрерывна на Ф. Тогда существует интегр л (1) и справедливо равенство ХХХ)* у *)гз = //у)г), ), н, ),х), )) 'гв — ге г г; )2) функции Е, С, Хг переменных и, ь определены формулами (10) из 2 1. 42. Поверхностные интегралы первоео рода Р, = "~!но О з Р1х У:2)/22 Ф 1х ха~ у ус~ 2 20) г = )Г(, "/ "- гравитацио!и!ал постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
